Semaine 18 (du 11/02 au 15/02) - Pagesperso

ECS1 HOCHE, Programme de la semaine 18, du 11 au 15 février 2013
I Fonctions réelles d'une variable réelle.
: limites et inégalités, limites usuelles : voir le programme précédent.
:
1)
Limites
2)
Développements limités
: voir programme précédent.
: dénition, utilisation de T.Y.. Unicité+dénition de la partie principale d'un DL. DL
1
1
d'une fonction paire, d'une fonction impaire. DLn (0) de (x →
) et (x →
).
1−x
1+x
Si f a un DLn (0), alors, pour p < n, f a DLp (0) dont la partie principale est obtenue en tronquant la partie principale
du DLn (0) de f .
Interprétation : Interprétation de DL0 (0). Interprétation de DL1 (0)
Opération sur les DLn(0) : DLn (0) d'une somme, d'un produit, d'une composée (vu en détail sur des exemples et
Formule de Taylor-Young
Développement limité en 0
1
th. général admis). Calcul du DL de l'inverse d'une fonction ne s'annulant pas en 0 (en utilisant le DL de (x →
)).
1−x
Développement limité en x0 ∈ R : On écrit g(h) = f (x0 + h) et on fait le DLn (0) de g . On écrit alors :
f (x0 + h) = a0 + a1 h · · · + an hn + hn ε(h) ou bien f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + (x − x0 )n ε1 (x)
x0 ∈ R : Signication des premiers
termes d'un DL. Utilisation d'un DL pour l'étude de la limite, de la dérivée en un point et de la position locale de la
courbe par rapport à sa tangente.
Développements généralisés en ±∞ Dénition. Exemples et utilisation pour la recherche d'une asymptote et de
la position de la courbe par rapport à son asymptote. Attention : l'étude générale des développements asymptotiques
est hors programme. On travaille sur des exemples....
3) Comparaison de fonctions. Dénition de : f (x) = o (g(x)) et de f (x) ∼ (g(x)). Propriétés usuelles (opérax→a
x→a
tions licites/illicites, composition licites/illicites) et équivalents usuels. Limites usuelles (+th. de croissances comparées)
traduites en ces termes (voir formulaire).
Application des DL à l'étude locale d'une courbe au voisinage d'un point
II Etude globale d'une fonction sur un intervalle
2
: Soit (a, b) ∈ R et soit f une fonction croissante sur ]a, b[. Alors f admet une
f = sup(f ) et si f n'est pas majorée, alors lim f = +∞.
limite en b− . Plus précisément : si f est majorée, lim
−
−
Théorème de la limite monotone
b
b
]a,b[
Résultat analogue si f décroissante. Résultats analogues en a si f monotone.
Corollaire : si f monotone sur ]a, b[, et si c ∈]a, b[, alors lim f (x) et lim f (x) existent. De plus si f est croissante on
x→c
x→c
x<c
x>c
a : lim f (x) = sup(f ) ≤ f (c) ≤ lim f (x) = inf(f ). Résultat analogue si f est décroissante.
x→c
x→c
]a,c[
x<c
]c,b[
x>c
. Trois énoncés ont été donnés (et démontrés) :
Th1 : si f continue sur [a, b] et f (a) × f (b) ≤ 0, alors ∃c ∈ [a, b] tel que f (c) = 0.
Th2 : si f est continue sur I , alors : ∀(a, b) ∈ I 2 , toute valeur comprise entre f (a) et f (b) est atteinte par f .
Th3 : si f est continue sur I et ne s'annule en aucun point de I , alors f garde un signe constant sur I .
Théorèmes admis : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
L'image d'un segment par une fonction continue est un segment. (Autrement dit : si f est continue sur [a, b], alors
il existe des réels m et M tels que f ([a, b]) = [m, M ]. Ou encore : si f est continue sur [a, b], alors f ([a, b]) est un
intervalle et de plus f est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes.
Théorème de la bijection monotone : soit f continue et strictement monotone sur un intervalle I . Alors J = f (I)
est un intervalle dont les bornes sont données par les valeurs/limites aux bornes de I et elle sont de mêmes natures
(ouvertes/fermées) que les bornes correspondantes de I . De plus f réalise une bijection de I vers J dont la réciproque
f −1 est elle même continue, strictement monotone et de même monotonie que f . Enn le graphe de f −1 est symétrique
du graphe de f par rapport à la première bissectrice.
Théorème des valeurs intermédiaires
Résultats dont les démonstrations sont exigibles
1. Théorème d'existence d'une limite par encadrement.
2. DL(0) de exp, sin, cos, tan,
(x → (1 + x)a ), (x →
√
1 + x)
et
(x → ln(1 + x))
et
(x →
1
).
1−x
3. Unicité de la partie principale d'un DL.
4.
(
)
(
)
(
)
f ∼ g ⇔ f − g = o(g) ⇔ g − f = o(f )
a
5. Si
a
f1 ∼ g1
a
et
a
f2 ∼ g2 alors f1 f2 ∼ g1 g2 ;
a
a
en revanche, en général, on ne peut pas additionner des équivalents (donner
exemples).
6. Si
lim u(x) = 0+
x→a
conclure si
7. Si
f
ou si
lim u(x) = +∞
x→a
et si
u(x) ∼ v(x)
x→a
alors on a :
ln(u(x)) ∼ ln(v(x)).
x→a
En revanche, on ne peut pas
lim u(x) = 1
x→a
est croissante sur
]a, b[
alors
f
admet une limite en
b−
qui vaut
+∞
si
f
(f )
non majorée et sup
si
f
majorée.
]a,b[
8. Les élèves doivent savoir au moins dans les grandes lignes la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires, et en
déduire une méthode d'approximation d'un zéro de
f
(dichotomie).