MP 2011 Maths Cours 2 Fonctions limites continuite

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MP 2011 Maths Cours 2 Fonctions limites continuite
IUT de Montpellier
Département Mesures Physiques
Mathématiques
MP 1. Semestre 1. Cours. Chapitre 2 : Analyse
Analyse (1) : fonctions d’une variable réelle
continuité, limites, asymptotes
dérivées, variations
Application : courbes paramétriques
1. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Une fonction d’une variable réelle (fonction numérique) associe à tout réel d’un domaine D (le domaine
de définition) une valeur réelle notée y ou f(x)
♦ Graphe, courbe représentative :
Dans un repère (O;i,j), chaque couple (x,f(x)) représente un point M.
L'ensemble de ces points est la Courbe représentative (ou graphe) de f .
♦ Parité :
f est paire : Df est centré en 0 et …………………………………………………….
f est impaire : Df est centré en 0 et ……………………………………………………
♦ Périodicité :
Tout réel non nul T vérifiant : ∀x réel, f(x+T)=f(x) est une période de f. La période de f est le plus petit des
réels T (>0) précédents. Par exemple : t→
→cos(ω
ωt+ϕ
ϕ) a pour période : ………..
la courbe est alors globalement invariante par les translations de vecteur Ti :
il suffit donc de la connaître sur un intervalle de longueur T.
♦ Monotonie
f est strictement croissante sur un intervalle I si : …………………………………..
(Quand x prend des valeurs croissantes, f(x) aussi)
Le taux d'accroissement ∆y/∆x est donc >0 sur I.
Elle est dite croissante (au sens large), si la deuxième inégalité est large : f(x) ≤ f(x').
On définit de même f décroissante. Une fonction croissante, ou décroissante est dite monotone.
Si f et g sont monotones sur I , gο
οf est aussi monotone sur I
De plus, ……………………………………………………………………………………….
.
♦ Extremum :
x0 est un minimum local de f si, au voisinage de x0 les valeurs de f sont supérieures à f(x0)
C’est à dire :
il existe un intervalle I contenant x0, tel que : ∀ x ∈ I , f(x) ≥ f(x0)
On définit de la même façon un maximum local.
Lorsque l’inégalité est vraie pour Df tout entier , le point x0 est un extremum global.
( Il faut bien distinguer l’extremum x0 et la valeur extrémale f(x0)).
♦ Axe et centre de symétrie :
Un intervalle I=[a,b] est centré en α=(a+b)/2. On montre que :
la droite ( x=α ) est axe de symétrie de Γf ssi : …………………………..
le point O(α,f(α)) est centre de symétrie
ssi : …………………………….
Ceci équivaut à prouver que le nouvelle équation Y=ϕ
ϕ(X) de la même courbe, mais dans le repère (O′;i,j),
avec O’(x0=α,y0=f(α)), , est donnée par une fonction ϕ paire ou impaire. Pour trouver l'expression de ϕ :
exprimer x et y en fonction de X et Y dans y=f(x), sachant que X=x-x0 , Y=y-y0.
Exemple : Démontrer ainsi que la courbe de h: x → ln(x2-4x+15) admet la droite (x=2) pour axe de symétrie.
Dj. E. 2010-2011
IUT de Montpellier
Département Mesures Physiques
Mathématiques
2. Plan d’étude d’une fonction. Branches infinies.
(1) Déterminer le domaine de définition. Parité, périodicité, en déduire l’intervalle d’étude.
(2) Calculer la dérivée, étudier son signe (pour ça : factoriser). Points particuliers, tangentes.
(3) Branches infinies.
x→ x0 ; f(x) → ∞ : ……………………………..
x→ x0 ; f(x) → u : ……………………………..
x→ ∞ ; f(x) → a : ……………………………..
x→ ∞ ; f(x) → ∞ : étudier le rapport f(x)/x :
f(x)/x → 0 : ……………………………...
f(x)/x → ∞ : ……………………………...
f(x)/x → a :: étudier f(x)-ax :
si f(x) - ax → b réel : ……………………………..
sinon, on a juste y = ax est ………………………….
(4) Tableau de variations. Il doit être cohérent avec les résultats précédents.
(5) Tracé de la courbe. On s’aide du calcul de quelques valeurs. Les résultats précédents s’y retrouvent.
3. Interprétation graphique de transformations sur f ou x :
Soit f une fonction numérique définie sur I, et Γf sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère
r r
orthonormé (O ; i , j ) . Si g est une nouvelle fonction obtenue à partir de f par une transformation simple, sa
courbe représentative peut se déduire de celle de f :
g(x) =
Transformation passant de Cf à Cg :
f(x)+a
f(x+a)
f(-x)
- f(x)
f(λ
λx)
λf(x)
4. RAPPELS :
par factorisation, on montre :
Limite à l'infini d’un polynôme P(x)=an.xn+an-1.xn-1+....a1.x1+a0 pour |x|→+∞.
un polynôme se comporte à l’infini comme son terme de plus haut degré.
Limite à l'infini d’un rapport de polynômes :
Un rapport de polynômes se comporte à l’infini comme le rapport des termes de plus haut degré.
Equation d'une tangente à une courbe en un point d'abscisse x0 : …………………………
Maniement des intervalles :
Pour ε>0, | x-x0 | < ε traduit que la distance entre ces deux valeurs est inférieure à ε .
ε a le sens d'une précision.
x0 - ε < x < x0 + ε
| x-x0 | < ε peut se dire aussi :
x=x0 à ε près
x appartient à l'intervalle ] x0 - ε , x0 + ε[
x0 appartient à l'intervalle ] x - ε , x + ε[
Dj. E. 2010-2011
IUT de Montpellier
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D.U.T Mesures Physiques 1ére année Mathématiques. Cours. Chapitre 2. Analyse(2) I.U.T de MONTPELLIER
Analyse (2) : NOTIONS SUR LES LIMITES
1) Limite finie en un point x0
L’étude des limites répond à la question : comment se comporte f(x) pour x voisin de x0 ?
Soit l un réel. On dit que « l est la limite de f(x) quand x tend vers x0 »
si
…..
Ce qui signifie :
n'importe quel voisinage de l contient toutes les valeurs f(x), pourvu que x soit assez proche de x0.
lim ( f ( x )) = l
La limite, quand elle existe, est unique .
On note ceci :
x → x0
Attention : la valeur de la fonction au point x0 n’est pas nécessairement égale à la limite :
la fonction f(x)=x/|x| n’est pas définie en 0, pourtant elle y admet une limite à droite, égale à 1 , et une limite
à gauche, égale à -1.
Si f a une limite l en x0, , elle y a également une limite à droite et à gauche, égales à l
Corollaire : si f a une limite à droite et à gauche de x0 et si ces limites sont différentes, f n’a pas de limite en x0
Théorèmes :
Voici les principaux résultats qui permettront d’étudier les limites :
Positivité :
…………
Corollaire :
La limite d’une fonction positive est un réel positif ou nul (Prendre f=0 dans le théorème).
Remarque importante : même si on a f(x) < g(x) pour tout x, l’inégalité sur les limites reste large : Il n’y a pas
conservation des inégalités strictes par passage à la limite .
Théorème d’encadrement ou « des gendarmes » :
…………………………..
Exemple : Etude de f(x) = sin(x)/x en 0. La fonction étant paire, il suffit d’étudier la limite à droite.
On a pour 0≤ x ≤ π/2 : sin(x) ≤ x ≤ tan(x) d’où sin(x)/x ≤ 1 et cos(x) ≤ sin(x)/x .
i.e : cos(x) ≤ sin(x)/x ≤ 1. Comme lim(cos(x))=1 on conclut : lim(sin(x)/x)=1. Admis et à connaître désormais.
Remarque : La limite en 0 existe, alors que f n’y est pas définie !
Cela incite à « prolonger »le domaine en 0, en posant f(0)=1 (prolongement par continuité).
Opérations élémentaires sur les limites :
Si f et g ont respectivement pour limite l et l’ en x0 :
lim ( f ( x ) + g ( x ) ) = l + l '
x → x0
lim ( f ( x ). g ( x ) ) = l. l '
x→ x
0
lim ( λf ( x )) = λ. l
x → x0
f ( x)
l
lim (
)=
l'
x → x g( x)
( si l' ≠ 0 )
0
Exemple : étude de f(x) = (tan(x))/x en 0. …………
…………….
Théorème 4 : Composition : Supposons g définie sur J et f(I) ⊂ J :
Si lim ( f ( x ) ) = l et lim ( g ( x ) ) = L alors lim ( g o f ( x ) ) = L
x → x0
x →l
x → x0
Exemple : Etude de f(x)=
1 − cos( x)
x²
en 0. On posera u=x/2. Quand x→0, u→0. f(x) = [2sin2(u)]/(4u2) =
1/2.(g(u))2 , où lim(F(u)) = lim( [sin(u)/u]² ) = 1. D’où lim(f(x)) = 1/2.
Dj. E. 2010-2011
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Règle de L’Hospital
Si f et g sont définies sur I, dérivables sur I (sauf peut-être en x0), avec f(x0) = g(x0) = 0 on a :
f ' (x) 
f(x) 
Lim 
= lim 
x→x0  g(x)  x→x0  g '(x) 
Exemple :
…………………….. Encore faut-il y penser...
2) Limite infinie et limite à l’infini
♦ Limite infinie en x0 :
f a pour limite +∞
∞ quand x tend vers x0 si : ∀ A > 0 , ∃ α > 0 , |x-x0| < α ⇒ f(x) > A
f(x) est aussi grand que l’on veut de l, pourvu que x soit assez proche de x0
Géométriquement : il y a une …..............
♦ Limite finie en +∞
∞ ou -∞
∞
f a une limite finie l en +∞ si : ∀ ε > 0 , ∃ A > 0 , x > A ⇒ | f(x)- l | < ε
f est aussi proche que l’on veut de l, pourvu que x soit assez grand
Géométriquement : il y a une ………….
♦ limite infinie en +∞
∞ ou -∞
∞:
f a pour limite +∞
∞ quand x tend vers +∞
∞ si : ∀ A > 0 , ∃ X > 0 , x > X ⇒ f(x) > A
Géométriquement : il peut y avoir éventuellement ……………….
Changement de variable : à l'infini, il est souvent pratique de se ramener à une étude en 0+ ou 0- en effectuant
un changement de variable: on pose u = 1/x. Car :
1
lim f ( x) = lim f ( )
x→∞
u →0 u
3) Formes indéterminées :
Les formes indéterminées usuelles sont :
On les traite par différentes techniques : factorisation (le plus souvent !!), limites usuelles, produit par la quantité
conjuguée, rêgle de l’Hospital, reconnaissance d’un taux de variation …
4) Limites usuelles et équivalents :
Enfin, il est très important de connaître les résultats :
lim ( x n e x ) = ...
x → −∞
lim ( x ln( x )) = .....
x→0
lim (
x→0
sin( x )
) = ....
x
ex
) = ....
x → +∞ x n
ln( x )
lim (
) = .....
x → +∞
x
ln(1 + u )
lim (
) = ....
u→0
u
lim (
et
Les 2 premières lignes se traduisent en ordre de grandeurs : « l’exponentielle l’emporte sur les polynômes », et
« les polynômes l’emportent sur le logarithme».
La 3ème donne des équivalents :
Deux fonctions sont équivalentes au voisinage d’un point x0 (ou à l’infini) si la limite de leur rapport vaut 1
La troisième ligne donne donc des équivalents très utilisés en Physique :
Pour x petit , sin(x) équivaut à x et ln(1+u) équivaut à u
Dj. E. 2010-2011
IUT de Montpellier
Département Mesures Physiques
Mathématiques
D.U.T Mesures Physiques 1ére année Mathématiques. Cours. Chapitre 2. Analyse(3) I.U.T de MONTPELLIER
Analyse (3)
CONTINUITE
La continuité est reliée à la fois à une idée statique : une courbe « d’un seul tenant » et une idée
dynamique: « pas de variations brutales ».
a) Définition : f est continue en x0 si la limite de f(x),quand x tend vers x0 , existe et vaut f(x0).
f est dite continue sur un intervalle I si f est continue en tout point de I
Prolongement par continuité :
Supposons f définie et continue sur I , sauf en un point x0. Si la limite de f(x), quand x tend vers x0,
existe et vaut l , on prolonge f à I tout entier, en prenant l comme valeur en x0 :
 ∀x ∈ I \ {x 0 }, ϕ ( x ) = f ( x )

La nouvelle fonction ϕ : I→ℜ définie par:
ϕ ( x 0 ) = l
est, elle, continue sur I tout entier, on dit que c’est un prolongement par continuité de f à I.
Exemple : f(x)=sin(x)/x en 0. Par contre f(x) = |x|/x n’admet pas de prolongement par continuité en 0.
b) Propriétés :
si f et g sont continues en x0, les fonctions f+g , λ.f , f.g , f/g sont continues en x0 .
( pour f/g, on suppose g(x0)≠0 )
Ce théorème s’étend à la continuité sur un intervalle.
Cas d’une fonction composée :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J (c’est à dire qu’on a f(I) ⊂ J ) et
soit g continue sur J, alors La composée gof est continue sur I
c) Fonctions usuelles
Nous admettrons que :
♦ Les fonctions polynômes, les fractions rationnelles (rapports de polynômes)
♦ Les fonctions trigonométriques usuelles
♦ Les fonction logarithmes et exponentielles
sont continues sur leur domaine de définition !
La continuité de l'immense majorité des fonctions que nous étudierons s’en déduit par somme, produit,
quotient et composition.
d) Théorème des valeurs intermédiaires :
Si, sur l'intervalle I, f continue atteint deux valeurs α et β, elle prend également toute valeur intermédiaire :
∀ y ∈ [ α,β
β ] , ∃ x ∈ I , f(x) = y .
Conséquence : une fonction continue qui change de signe sur un intervalle s’annule pour au moins une
valeur de cet intervalle :
f continue sur [ a , b ] 
 ⇒ ∃ c ∈ ]a , b [ , f ( c ) = 0
f ( a ) f (b ) 〈 0

Moralité :
Dans cette situation, l’équation f(x)=0 a au moins une solution dans ]a,b[.
Exemple :
Etudions f(x)=x3-x+3 un calcul rapide montre f(-2) < 0 et f(-1) > 0, l’équation
3
x -x+3=0 a donc au moins une solution dans l’intervalle [-2;-1].
D’où le principe du calcul par dichotomie.
Autre conséquence : on peut reformuler ainsi la proposition du corollaire :
Une fonction continue garde un signe constant sur tout intervalle où elle ne s’annule pas.
Dj. E. 2010-2011
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e) Cas d’une fonction strictement monotone (théorème de bijection) :
Soit f une telle fonction sur I , notons J=f(I), pour tout y de J l’équation y=f(x) a nécessairement une
solution (au moins) x dans I (par définition de J), mais de plus cette solution est unique ( f strictement
monotone sur un intervalle ). Nous avons une bijection :
f continue et strictement monotone sur un intervalle I réalise une bijection de I sur f(I).
Ainsi f est bijective, et on peut parler de f-1 , fonction réciproque, qui associe à tout u de f(I) l’unique
valeur v dans I telle que f(v)=u :
f-1 (y) = x ssi f(x) = y
Propriétés :
♦ f-1 : est définie sur J=f(I), et à valeurs dans I
♦ f -1 : est continue
♦ f -1 : est strictement monotone, et de même sens de variation que f
♦ la courbe représentant f -1 est la symétrique de celle de f par rapport à la diagonale y=x
♦ Si f est dérivable sur I, et si f ’ ≠0 dans I, alors f-1 est aussi dérivable sur J, avec :
∀u ∈ J, ( f
♦
–1
−1
)' (u) =
1
f '( f
−1
(u))
–1
f(f (y)) = y et f (f(x))=x
Exemples :
♦ La fonction Exponentielle est continue et strictement croissante de ]-∞ , +∞ [ sur ]0, +∞[.
Elle admet donc, d’après le théorème, une fonction réciproque, elle aussi continue, strictement
croissante, de ]0, +∞ [ sur ]-∞ , +∞ [: cette fonction est le Logarithme népérien.
♦ La fonction sinus est continue, strictement croissante, de [-π/2,π/2] sur [-1,1], il existe
donc une application réciproque, Arcsinus, de [-1,1] sur [-π/2,π/2] , qui associe à tout réel x de [-1,1]
l’unique mesure d’angle y de [-π/2,π/2] dont le sinus vaut x.
 Sin( y ) =
π
y = Arc sin( x ) ⇔ 
 y ∈ [− 2
Elle est définie par : (pour x∈[-1,1])
x
,
π
2
]
De la même façon, cos(x), croissante de [0, π] sur [-1,1], y admet une fonction réciproque arccos, et tan(x),
croissante de ]-π/2, π/2[ sur , y admet une fonction réciproque arctan.
MEMENTO FONCTIONS TRIGO INVERSES :
Pour x∈
∈[-1,1], y = arcsin(x) signifie :
-π
π/2 ≤ y ≤ +π
π/2 et sin(y) = x
Pour x∈
∈[-1,1], y = arccos(x) signifie :
0 ≤ y ≤ π et cos(y) = x
Pour x réel, y = arctan(x) signifie :
-π
π/2 ≤ y ≤ +π
π/2 et tan(y) = x
A visualiser sur des figures !!!
f) Extrema d'une fonction continue
L’image, par une fonction continue, d’un intervalle fermé est un intervalle fermé :
f continue sur [a, b] ⇒ ∃ m, M , réels , f([a, b]) = [m, M]
donc : f est bornée sur I et atteint ses bornes
Il y a donc une valeur c dans [a,b] où f atteint son minimum m , et une valeur c’ dans [a,b] où f atteint son
maximum M :
f([a, b]) = [m, M] = [ f(c) , f(c’) ]
Ceci n'est plus vrai si : f non continue, ou si l'intervalle d'étude n'est pas fermé : par exemple f(x) = 1/x n'atteint
pas de maximum sur ]0,1].
Dj. E. 2010-2011