serie 7

TD 7 Revision partiel
Université Paris 7
Code 51BE02MT
Les étoiles signient;
1. les questions avec une seule étoile sont les questions au niveau de contrôle
continue.
2. Les questions avec deux étoiles sont les questions au niveau du partiel. Si
vous pouvez les faire, vous aurez plus que 10 à l'examen
3. Les questions avec trois étoiles sont les questions plus dures. Si vous
pouvez les faire, vous aurez plus que 15 à l'examen
Soit a > 0 et u0 > 0, on denit la suite (un ) par un+1 = f (un )
ou f (x) = 12 (x + xa ).
Probleme 1.
** Montrer que la suite converge vers
√
a.
* Que ce passe-t-il si u0 < 0 ? (ne pas refaire toute l'etude, repondre avec
un argument en une ligne)
1
** Soit (vn ) une suite telle que |vn+1 −`| ≤ 10
|vn −`|, montrer que |vn+1 −l| ≤
−n
10 |v0 − `|. Que peut-on dire de la convergence de (vn ) ? Qu'est ce que
cela veut dire en terme de nombre de decimales correctes de vn par rapport
1
?
a ` ? Et avec 100
√
* Montrer que f 0 est continue sur ]0, +∞[ et calculer f 0 ( a).
√
*** En utilisant la denition de la continuite de f 0 en a, le theoreme
des
√
accroissement nis et la denition de la convergence
de
u
vers
a
montrer
n
√
√
que ∀ > 0, ∃N > 0 | ∀n > N, |un+1 − a| < |un − a|.
* Faire un developpement limite a l'ordre 2 de f en
√
a.
On dit qu'une suite wn convergente vers ` a une vitesse de convergence
−`|
quadratique si ∃C > 0 tel que |w|wn+1
≤ C|wn − `|. En terme de nombre
n −`|
de decimal correcte du un par rapport a ` cela veut dire que wn+1 a grosso
modo (cela depend de la valeur de C ) le double de decimales corrects par
rapport a wn (c'est enorme compare a ce qu'on obtient dans la question
3).
*** En utilisant la denition
√ d'un developpement limite, la denition de la
convergence de un vers a et la question precedente, montrer qu'a partir
d'un certain rang, un a une vitesse de √convergence quadratique. C'est a
√
− a|
√
dire ∃C > 0, ∃N > 0 | ∀n > N, |u|un+1
≤ C|un − a|.
n − a|
1
Bonus : Donner une borne inferieure sur C .
(**). Soit u0 , on denit la suite (un ) par un+1 = (1 − un )2 . Etudier
la convergence de un en fonction de u0 .
Exercice 2
Exercice 3
ecos(x)
(**).
• Calculer le developpement limite a l'ordre 3 en 0 de
• Calculer le developpement limite a l'ordre 3 en 1 de
• Calculer le developpement limite a l'ordre 3 en
Exercice 4
x
de ln(sin x)
(**). Calculer avec un developpement limite
` = lim
x→+∞
Donner un equivalent de
Exercice 5
π
3
√
ln(x + 1)
ln(x)
ln(x + 1)
ln(x)
x
x
−`
(**). Calculer
2
ex − cos(x)
x→0
sin2 (x)
lim
√
cos(x) − 1 − x2
x→0
sin(x4 )
lim
.
Soit a un réel strictement positif, et soit f une fonction continue
de R dans R telle que l'on ait ∀x, y ∈ R
Exercice 6.
|f (x) − f (y)| ≥ a|x − y|
* Montrer que f est injective.
** En deduire qu'elle est strictement monotone.
** En utilisant le theoreme de la bijection montrer que f est une bijection de
R dans R.
(**). Soit f : [0, 1] → R une fonction continue telle que f (0) = f (1),
et soit p ≥ 1 un entier xé. Montrer qu'il existe un réel xp ∈ [0, 1] tel que
Exercice 7
1
f (xp + ) = f (xp )
p
Exercice 8 (***). Soit f une application réelle continue et dérivable sur ]a, b[
telle que f 0 (x) ait une limite quand x → b− ; alors f se prolonge en une fonction
continue et dérivable à gauche au point b.
On utilisera la caracterisation suivante de la limite d'une fonction : limx→y f (x)
existe si et seulement si pour toute suite xn de cauchy convergente vers y , la
suite f (xn ) est de cauchy. Ainsi que le theoreme des accroissements nis pour
prouver la continuite a gauche de f .
Pour la derivabilite a gauche en b, on utilisera la denition de la derivabilite
en b, le theoreme des accroissements nis, et la caracterisation de la limite d'une
fonction par les suites.
2