Chapitre 2 Dé nition de la logique propositionnelle
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Chapitre 2 Dé nition de la logique propositionnelle
Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de la logique propositionnelle Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de la logique propositionnelle Contenu de ce chapitre I Syntaxe de la logique propositionnelle I I I Sémantique de la logique propositionnelle I I Dénitions inductives Preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence Algorithmique de la logique propositionnelle (première approche) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de la logique propositionnelle Contenu de ce chapitre I Syntaxe de la logique propositionnelle I I I Sémantique de la logique propositionnelle I I Dénitions inductives Preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence Algorithmique de la logique propositionnelle (première approche) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de la logique propositionnelle Contenu de ce chapitre I Syntaxe de la logique propositionnelle I I I Sémantique de la logique propositionnelle I I Dénitions inductives Preuves par induction Dénition de fonctions par récurrence Algorithmique de la logique propositionnelle (première approche) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Vers une dénition de la syntaxe Première Idée On dénit les formules selon les diérents cas de leur forme. Une formule propositionnelle I I I I peut être une variable propositionnelle ¬p , où p est une formule (p ∧ q ), où p et q sont des formules (p ∨ q ), où p et q sont des formules Une précision importante : Seulement les chaînes de caractères ainsi formées sont des formules. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Vers une dénition de la syntaxe Première Idée On dénit les formules selon les diérents cas de leur forme. Une formule propositionnelle I I I I peut être une variable propositionnelle ¬p , où p est une formule (p ∧ q ), où p et q sont des formules (p ∨ q ), où p et q sont des formules Une précision importante : Seulement les chaînes de caractères ainsi formées sont des formules. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Vers une dénition de la syntaxe Première Idée On dénit les formules selon les diérents cas de leur forme. Une formule propositionnelle I I I I peut être une variable propositionnelle ¬p , où p est une formule (p ∧ q ), où p et q sont des formules (p ∨ q ), où p et q sont des formules Une précision importante : Seulement les chaînes de caractères ainsi formées sont des formules. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Exemples de formules propositionnelles Sont des formules : I I I I x (car variable propositionnelle) ¬x (car négation d'une formule) y (car variable propositionnelle) (¬x ∧ y ) (car conjonction de deux formules) Ne sont pas des formules (dans le sens stricte) : I ((x I x ∨y Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Exemples de formules propositionnelles Sont des formules : I I I I x (car variable propositionnelle) ¬x (car négation d'une formule) y (car variable propositionnelle) (¬x ∧ y ) (car conjonction de deux formules) Ne sont pas des formules (dans le sens stricte) : I ((x I x ∨y Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Exemples de formules propositionnelles Sont des formules : I I I I x (car variable propositionnelle) ¬x (car négation d'une formule) y (car variable propositionnelle) (¬x ∧ y ) (car conjonction de deux formules) Ne sont pas des formules (dans le sens stricte) : I ((x I x ∨y Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Exemples de formules propositionnelles Sont des formules : I I I I x (car variable propositionnelle) ¬x (car négation d'une formule) y (car variable propositionnelle) (¬x ∧ y ) (car conjonction de deux formules) Ne sont pas des formules (dans le sens stricte) : I ((x I x ∨y Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Exemples de formules propositionnelles Sont des formules : I I I I x (car variable propositionnelle) ¬x (car négation d'une formule) y (car variable propositionnelle) (¬x ∧ y ) (car conjonction de deux formules) Ne sont pas des formules (dans le sens stricte) : I ((x I x ∨y Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Exemples de formules propositionnelles Sont des formules : I I I I x (car variable propositionnelle) ¬x (car négation d'une formule) y (car variable propositionnelle) (¬x ∧ y ) (car conjonction de deux formules) Ne sont pas des formules (dans le sens stricte) : I ((x I x ∨y Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Exemples de formules propositionnelles Sont des formules : I I I I x (car variable propositionnelle) ¬x (car négation d'une formule) y (car variable propositionnelle) (¬x ∧ y ) (car conjonction de deux formules) Ne sont pas des formules (dans le sens stricte) : I ((x I x ∨y Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Les variables propositionnelles On choisit d'abord un ensemble de variables propositionnelles : V := {x , x1 , x2 , x3 , . . . , y , y1 , y2 , . . . , z , z1 , z2 , z3 , . . .} Nous admettons également les décorations habituelles des variables propositionnelles comme par exemple x 0 , y 00 . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Tentative de dénition L'ensemble Form des formules propositionnelles est déni comme l'ensemble de chaînes de caractères tel que : 1. V ⊆ Form 2. Si p ∈ Form alors ¬p ∈ Form 3. Si p, q ∈ Form alors (p ∧ q ) ∈ Form 4. Si p, q ∈ Form alors (p ∨ q ) ∈ Form Nous appelons ces quatre conditions (1) - (4) les propriétés de clôture des formules propositionnelles. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Le problème de la tentative de dénition Il y a plusieurs ensembles Form qui satisfont la description : I L'ensemble des formules propositionnelles dans le sens de la description informelle au-dessus. I L'ensemble de toutes les chaînes de caractères. Cet ensemble contient aussi la chaîne (( I L'ensemble de toutes les chaînes de caractères qui ont le même nombre de ( que de ) Mais cet ensemble contient aussi la chaîne ()() Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Le problème de la tentative de dénition Il y a plusieurs ensembles Form qui satisfont la description : I L'ensemble des formules propositionnelles dans le sens de la description informelle au-dessus. I L'ensemble de toutes les chaînes de caractères. Cet ensemble contient aussi la chaîne (( I L'ensemble de toutes les chaînes de caractères qui ont le même nombre de ( que de ) Mais cet ensemble contient aussi la chaîne ()() Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Le problème de la tentative de dénition Il y a plusieurs ensembles Form qui satisfont la description : I L'ensemble des formules propositionnelles dans le sens de la description informelle au-dessus. I L'ensemble de toutes les chaînes de caractères. Cet ensemble contient aussi la chaîne (( I L'ensemble de toutes les chaînes de caractères qui ont le même nombre de ( que de ) Mais cet ensemble contient aussi la chaîne ()() Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles La racine du problème Notre tentative de dénition prend en compte I le cas de base (les variables propositionnelles) I et les constructions autorisées (¬, ∧, ∨) mais ne prend absolument pas en compte la restriction qu'une chaîne qui ne peut pas être construite selon les règles précédentes n'est pas une formule. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles La bonne dénition Denition L'ensemble Form des formules propositionnelles est le plus petit ensemble de chaînes de caractères tel que : 1. V ⊆ Form 2. Si p ∈ Form alors ¬p ∈ Form 3. Si p, q ∈ Form alors (p ∧ q ) ∈ Form 4. Si p, q ∈ Form alors (p ∨ q ) ∈ Form Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Dénitions inductives Le principe I I On a certaines propriétés de clôture (ici : les quatre propriétés de clôture des formules propositionnelles) On dénit un ensemble (ici : Form) comme étant le plus petit ensemble ayant ces propriétés de clôture. Qu'est-ce que c'est le plus petit ensemble ? Si un ensemble X satisfait toutes les propriétés de clôture des formules propositionnelles, alors Form ⊆ X . As-t-on le droit d'écrire une telle dénition ? 1. Est-ce qu'il existe eectivement (au moins) un tel plus petit ensemble ? 2. Cet ensemble, est-il unique ? Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Dénitions inductives Le principe I I On a certaines propriétés de clôture (ici : les quatre propriétés de clôture des formules propositionnelles) On dénit un ensemble (ici : Form) comme étant le plus petit ensemble ayant ces propriétés de clôture. Qu'est-ce que c'est le plus petit ensemble ? Si un ensemble X satisfait toutes les propriétés de clôture des formules propositionnelles, alors Form ⊆ X . As-t-on le droit d'écrire une telle dénition ? 1. Est-ce qu'il existe eectivement (au moins) un tel plus petit ensemble ? 2. Cet ensemble, est-il unique ? Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Dénitions inductives Le principe I I On a certaines propriétés de clôture (ici : les quatre propriétés de clôture des formules propositionnelles) On dénit un ensemble (ici : Form) comme étant le plus petit ensemble ayant ces propriétés de clôture. Qu'est-ce que c'est le plus petit ensemble ? Si un ensemble X satisfait toutes les propriétés de clôture des formules propositionnelles, alors Form ⊆ X . As-t-on le droit d'écrire une telle dénition ? 1. Est-ce qu'il existe eectivement (au moins) un tel plus petit ensemble ? 2. Cet ensemble, est-il unique ? Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Existence d'un plus petit ensemble I I I I I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée. Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ? Ensembles {0, 1} et {2, 3} Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer). En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Existence d'un plus petit ensemble I I I I I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée. Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ? Ensembles {0, 1} et {2, 3} Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer). En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Existence d'un plus petit ensemble I I I I I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée. Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ? Ensembles {0, 1} et {2, 3} Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer). En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Existence d'un plus petit ensemble I I I I I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée. Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ? Ensembles {0, 1} et {2, 3} Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer). En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Existence d'un plus petit ensemble I I I I I A priori, il n'est pas évident qu'il existe un plus petit ensemble avec une certaine propriété donnée. Exemple : le plus petit ensemble d'entiers qui contient au moins deux éléments ? Ensembles {0, 1} et {2, 3} Dans notre cas, il y a un plus petit ensemble (mais on ne va pas le montrer). En bref : c'est dû au fait qu'il s'agit ici de propriétés de clôture. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Unicité du plus petit ensemble I I I I Supposons que E1 et E2 sont des plus petits ensembles avec une propriété donnée. Donc, E1 ⊆ E2 et aussi E2 ⊆ E1 Conséquence : E1 = E2 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Unicité du plus petit ensemble I I I I Supposons que E1 et E2 sont des plus petits ensembles avec une propriété donnée. Donc, E1 ⊆ E2 et aussi E2 ⊆ E1 Conséquence : E1 = E2 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Unicité du plus petit ensemble I I I I Supposons que E1 et E2 sont des plus petits ensembles avec une propriété donnée. Donc, E1 ⊆ E2 et aussi E2 ⊆ E1 Conséquence : E1 = E2 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Unicité du plus petit ensemble I I I I Supposons que E1 et E2 sont des plus petits ensembles avec une propriété donnée. Donc, E1 ⊆ E2 et aussi E2 ⊆ E1 Conséquence : E1 = E2 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Dénitions inductive I I I Notre dénition de la syntaxe de la logique propositionnelle est une dénition inductive. On verra d'autres exemples de dénitions inductives. Ici on ne s'intéresse pas à étudier les dénition inductives en général, il sut de dire qu'elles sont toujours de la forme le plus petit ensemble qui satisfait certaines propriétés de clôture. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Dénitions inductive I I I Notre dénition de la syntaxe de la logique propositionnelle est une dénition inductive. On verra d'autres exemples de dénitions inductives. Ici on ne s'intéresse pas à étudier les dénition inductives en général, il sut de dire qu'elles sont toujours de la forme le plus petit ensemble qui satisfait certaines propriétés de clôture. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Dénitions inductive I I I Notre dénition de la syntaxe de la logique propositionnelle est une dénition inductive. On verra d'autres exemples de dénitions inductives. Ici on ne s'intéresse pas à étudier les dénition inductives en général, il sut de dire qu'elles sont toujours de la forme le plus petit ensemble qui satisfait certaines propriétés de clôture. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Syntaxe Abstraite Syntaxe abstraite de (x ∧ (y ∨ ¬z )) : ∧ x ∨ y ¬ z Structure de la formule. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Syntaxe des formules propositionnelles Encodage de l'implication On peut encoder l'implication de la manière suivante: (p ⇒ q ) := (¬p ∨ q ) (p ⇔ q ) := ((p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p )) On l'utilisera comme suit: si p alors q q si p q seulement si p q uniquement si p q si et seulement si p p⇒q p⇒q p⇐q p⇐q p⇔q Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Preuves par induction : Un exemple Théorème : Toute formule propositionnelle a le même nombre de parenthèses ouvrantes que de parenthèses fermantes. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Notation dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w . |w |) dénote le nombre de parenthèses fermantes de w . I Par exemple, |(x ∧ y )|( = 1 I Pareil pour des autres symboles : |w |¬ , etc. À montrer : pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) . I I |w |( Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Notation dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w . |w |) dénote le nombre de parenthèses fermantes de w . I Par exemple, |(x ∧ y )|( = 1 I Pareil pour des autres symboles : |w |¬ , etc. À montrer : pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) . I I |w |( Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Notation dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w . |w |) dénote le nombre de parenthèses fermantes de w . I Par exemple, |(x ∧ y )|( = 1 I Pareil pour des autres symboles : |w |¬ , etc. À montrer : pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) . I I |w |( Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Notation dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w . |w |) dénote le nombre de parenthèses fermantes de w . I Par exemple, |(x ∧ y )|( = 1 I Pareil pour des autres symboles : |w |¬ , etc. À montrer : pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) . I I |w |( Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Notation dénote le nombre de parenthèses ouvrantes de w . |w |) dénote le nombre de parenthèses fermantes de w . I Par exemple, |(x ∧ y )|( = 1 I Pareil pour des autres symboles : |w |¬ , etc. À montrer : pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) . I I |w |( Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Le principe d'une preuve par induction structurelle Le principe est illustré ici sur l'exemple des formules propositionnelles : Théorème : Soit P une propriété des chaînes de caractères. Si les énoncés suivants sont vrais : I tout élément de V a la propriété P , I si p satisfait P alors ¬p satisfait P , I si p et q satisfont P alors (p ∧ q ) satisfait P , I si p et q satisfont P alors (p ∨ q ) satisfait P , alors tous les éléments de Form satisfont P . Exemple de propriété P : avoir le même nombre de ( que de ). Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Comment rédiger une preuve par induction structurelle ? À montrer : pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) . (1) Cas des variables : À montrer : |w |( = |w |) pour tout w ∈ V . Démonstration : Si w ∈ V alors |w |( = 0 et |w |) = 0, donc |w |( = |w |) . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Comment rédiger une preuve par induction structurelle ? À montrer : pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) . (1) Cas des variables : À montrer : |w |( = |w |) pour tout w ∈ V . Démonstration : Si w ∈ V alors |w |( = 0 et |w |) = 0, donc |w |( = |w |) . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Comment rédiger une preuve par induction structurelle ? À montrer : pour tout w ∈ Form, |w |( = |w |) . (1) Cas des variables : À montrer : |w |( = |w |) pour tout w ∈ V . Démonstration : Si w ∈ V alors |w |( = 0 et |w |) = 0, donc |w |( = |w |) . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (2) (2) Cas de la négation : Soit p ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) . À montrer : |¬p|( = |¬p|) . Démonstration : |¬p |( = = = |p |( |p |) |¬p |) par dénition | · |( par hypothèse d'induction par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (2) (2) Cas de la négation : Soit p ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) . À montrer : |¬p|( = |¬p|) . Démonstration : |¬p |( = = = |p |( |p |) |¬p |) par dénition | · |( par hypothèse d'induction par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (2) (2) Cas de la négation : Soit p ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) . À montrer : |¬p|( = |¬p|) . Démonstration : |¬p |( = = = |p |( |p |) |¬p |) par dénition | · |( par hypothèse d'induction par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (2) (2) Cas de la négation : Soit p ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) . À montrer : |¬p|( = |¬p|) . Démonstration : |¬p |( = = = |p |( |p |) |¬p |) par dénition | · |( par hypothèse d'induction par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (2) (2) Cas de la négation : Soit p ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) . À montrer : |¬p|( = |¬p|) . Démonstration : |¬p |( = = = |p |( |p |) |¬p |) par dénition | · |( par hypothèse d'induction par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (3) (3) Cas de la conjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|) Démonstration : |(p ∧ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∧ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (3) (3) Cas de la conjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|) Démonstration : |(p ∧ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∧ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (3) (3) Cas de la conjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|) Démonstration : |(p ∧ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∧ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (3) (3) Cas de la conjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|) Démonstration : |(p ∧ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∧ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (3) (3) Cas de la conjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∧ q )|( = |(p ∧ q )|) Démonstration : |(p ∧ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∧ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (4) (4) Cas de la disjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|) Démonstration : |(p ∨ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∨ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (4) (4) Cas de la disjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|) Démonstration : |(p ∨ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∨ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (4) (4) Cas de la disjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|) Démonstration : |(p ∨ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∨ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (4) (4) Cas de la disjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|) Démonstration : |(p ∨ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∨ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Rédaction d'une preuve par induction (4) (4) Cas de la disjonction : Soient p, q ∈ Form. Hypothèse d'induction : |p|( = |p|) et |q |( = |q |) À montrer : |(p ∨ q )|( = |(p ∨ q )|) Démonstration : |(p ∨ q )|( = = = 1 + |p|( + |q |( par dénition | · |( |p |) + |q |) + 1 par hypothèse d'induction |(p ∨ q )|) par dénition | · |) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Remarques I I I I On utilise le théorème sur le principe des preuves par induction structurelle. Toujours dire clairement quelles sont les hypothèses, et qu'est-ce qu'il faut montrer. Justier les étapes du raisonnement. Parfois (mais pas toujours !) ,le cas ∨ et le cas ∧ sont très similaires. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Remarques I I I I On utilise le théorème sur le principe des preuves par induction structurelle. Toujours dire clairement quelles sont les hypothèses, et qu'est-ce qu'il faut montrer. Justier les étapes du raisonnement. Parfois (mais pas toujours !) ,le cas ∨ et le cas ∧ sont très similaires. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Remarques I I I I On utilise le théorème sur le principe des preuves par induction structurelle. Toujours dire clairement quelles sont les hypothèses, et qu'est-ce qu'il faut montrer. Justier les étapes du raisonnement. Parfois (mais pas toujours !) ,le cas ∨ et le cas ∧ sont très similaires. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Remarques I I I I On utilise le théorème sur le principe des preuves par induction structurelle. Toujours dire clairement quelles sont les hypothèses, et qu'est-ce qu'il faut montrer. Justier les étapes du raisonnement. Parfois (mais pas toujours !) ,le cas ∨ et le cas ∧ sont très similaires. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Retour au théorème Soit P une propriété des chaînes de caractères. Si les énoncés suivants sont vrais : I tout élément de V a la propriété P , I si p satisfait P alors ¬p satisfait P , I si p et q satisfont P alors (p ∧ q ) satisfait P , I si p et q satisfont P alors (p ∨ q ) satisfait P , alors tous les éléments de Form satisfont P . Théorème : Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Démonstration I I I I Soit X l'ensemble des chaînes de caractères avec la propriété P . L'ensemble X satisfait les propriétés de clôture des formules propositionnelles (hypothèse du théorème) Donc Form ⊆ X car Form est le plus petit ensemble de chaînes de caractères qui satisfait ces propriétés. Autrement dit, tout élément de Form a la propriété P . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Démonstration I I I I Soit X l'ensemble des chaînes de caractères avec la propriété P . L'ensemble X satisfait les propriétés de clôture des formules propositionnelles (hypothèse du théorème) Donc Form ⊆ X car Form est le plus petit ensemble de chaînes de caractères qui satisfait ces propriétés. Autrement dit, tout élément de Form a la propriété P . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Démonstration I I I I Soit X l'ensemble des chaînes de caractères avec la propriété P . L'ensemble X satisfait les propriétés de clôture des formules propositionnelles (hypothèse du théorème) Donc Form ⊆ X car Form est le plus petit ensemble de chaînes de caractères qui satisfait ces propriétés. Autrement dit, tout élément de Form a la propriété P . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Preuves par induction Démonstration I I I I Soit X l'ensemble des chaînes de caractères avec la propriété P . L'ensemble X satisfait les propriétés de clôture des formules propositionnelles (hypothèse du théorème) Donc Form ⊆ X car Form est le plus petit ensemble de chaînes de caractères qui satisfait ces propriétés. Autrement dit, tout élément de Form a la propriété P . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition d'une fonction I I Une méthode pour dénir une fonction : par une expression close. Par exemple, la fonction qui envoie un argument, qui est un nombre naturel, vers l'argument incrémenté de 1 : f (x ) := x + 1 I I La variable x est le paramètre formel de la fonction. Pour appliquer une telle fonction : remplacer dans l'expression le paramètre formel par le paramètre actuel, puis évaluer l'expression. Sur l'exemple : f (5) = 5 + 1 = 6 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition d'une fonction I I Une méthode pour dénir une fonction : par une expression close. Par exemple, la fonction qui envoie un argument, qui est un nombre naturel, vers l'argument incrémenté de 1 : f (x ) := x + 1 I I La variable x est le paramètre formel de la fonction. Pour appliquer une telle fonction : remplacer dans l'expression le paramètre formel par le paramètre actuel, puis évaluer l'expression. Sur l'exemple : f (5) = 5 + 1 = 6 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition d'une fonction I I Une méthode pour dénir une fonction : par une expression close. Par exemple, la fonction qui envoie un argument, qui est un nombre naturel, vers l'argument incrémenté de 1 : f (x ) := x + 1 I I La variable x est le paramètre formel de la fonction. Pour appliquer une telle fonction : remplacer dans l'expression le paramètre formel par le paramètre actuel, puis évaluer l'expression. Sur l'exemple : f (5) = 5 + 1 = 6 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition d'une fonction I I Une méthode pour dénir une fonction : par une expression close. Par exemple, la fonction qui envoie un argument, qui est un nombre naturel, vers l'argument incrémenté de 1 : f (x ) := x + 1 I I La variable x est le paramètre formel de la fonction. Pour appliquer une telle fonction : remplacer dans l'expression le paramètre formel par le paramètre actuel, puis évaluer l'expression. Sur l'exemple : f (5) = 5 + 1 = 6 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition de fonctions sur Form I I I Problème : comment dénir une fonction sur un ensemble qui est déni par induction ? Exemple : comment dénir la fonction qui donne la longueur d'une formule, ou le nombre de parenthèses ? En général, l'évaluation d'une telle fonction appliquée à une formule dépend de la structure de la formule. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition de fonctions sur Form I I I Problème : comment dénir une fonction sur un ensemble qui est déni par induction ? Exemple : comment dénir la fonction qui donne la longueur d'une formule, ou le nombre de parenthèses ? En général, l'évaluation d'une telle fonction appliquée à une formule dépend de la structure de la formule. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition de fonctions sur Form I I I Problème : comment dénir une fonction sur un ensemble qui est déni par induction ? Exemple : comment dénir la fonction qui donne la longueur d'une formule, ou le nombre de parenthèses ? En général, l'évaluation d'une telle fonction appliquée à une formule dépend de la structure de la formule. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition par récurrence On peut dénir une fonction avec domaine Form comme suit : 1. on donne le résultat de la fonction appliquée à un élément quelconque de V , 2. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme ¬p, sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p, 3. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p ∧ q ), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q , 4. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p ∨ q ), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition par récurrence On peut dénir une fonction avec domaine Form comme suit : 1. on donne le résultat de la fonction appliquée à un élément quelconque de V , 2. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme ¬p, sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p, 3. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p ∧ q ), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q , 4. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p ∨ q ), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition par récurrence On peut dénir une fonction avec domaine Form comme suit : 1. on donne le résultat de la fonction appliquée à un élément quelconque de V , 2. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme ¬p, sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p, 3. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p ∧ q ), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q , 4. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p ∨ q ), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Dénition par récurrence On peut dénir une fonction avec domaine Form comme suit : 1. on donne le résultat de la fonction appliquée à un élément quelconque de V , 2. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme ¬p, sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p, 3. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p ∧ q ), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q , 4. on donne le résultat de la fonction appliquée à une formule de la forme (p ∨ q ), sachant quel est le résultat de la fonction appliquée à p et le résultat de la fonction appliquée à q . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple récurrence : length La fonction length est dénie comme suit : 1. length(x ) = 1 si x ∈ V 2. length(¬p) = 1 + length(p) 3. length((p ∧ q )) = 3 + length(p) + length(q ) 4. length((p ∨ q )) = 3 + length(p) + length(q ) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple récurrence : length Évaluation : length((x1 ∧ ¬x2 )) = = = = = 3 + length(x1 ) + length(¬x2 ) 3 + 1 + length(¬x2 ) 3 + 1 + 1 + length(x2 ) 3+1+1+1 6 (3) (1) ( 2) (1) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple récurrence : length Évaluation : length((x1 ∧ ¬x2 )) = = = = = 3 + length(x1 ) + length(¬x2 ) 3 + 1 + length(¬x2 ) 3 + 1 + 1 + length(x2 ) 3+1+1+1 6 (3) (1) ( 2) (1) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple récurrence : length Évaluation : length((x1 ∧ ¬x2 )) = = = = = 3 + length(x1 ) + length(¬x2 ) 3 + 1 + length(¬x2 ) 3 + 1 + 1 + length(x2 ) 3+1+1+1 6 (3) (1) ( 2) (1) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple récurrence : length Évaluation : length((x1 ∧ ¬x2 )) = = = = = 3 + length(x1 ) + length(¬x2 ) 3 + 1 + length(¬x2 ) 3 + 1 + 1 + length(x2 ) 3+1+1+1 6 (3) (1) (2) (1) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple récurrence : length Évaluation : length((x1 ∧ ¬x2 )) = = = = = 3 + length(x1 ) + length(¬x2 ) 3 + 1 + length(¬x2 ) 3 + 1 + 1 + length(x2 ) 3+1+1+1 6 (3) (1) (2) (1) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple récurrence : length Évaluation : length((x1 ∧ ¬x2 )) = = = = = 3 + length(x1 ) + length(¬x2 ) 3 + 1 + length(¬x2 ) 3 + 1 + 1 + length(x2 ) 3+1+1+1 6 (3) (1) (2) (1) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple de récurrence : V Notre deuxième exemple est la fonction V , dénie comme suit : 1. V(x ) = {x } si x ∈ V 2. V(¬p) = V(p) 3. V((p ∧ q )) = V(p) ∪ V(q ) 4. V((p ∨ q )) = V(p) ∪ V(q ) V(p ) est l'ensemble des variables de p. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple de récurrence : V Notre deuxième exemple est la fonction V , dénie comme suit : 1. V(x ) = {x } si x ∈ V 2. V(¬p) = V(p) 3. V((p ∧ q )) = V(p) ∪ V(q ) 4. V((p ∨ q )) = V(p) ∪ V(q ) V(p ) est l'ensemble des variables de p. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple de récurrence : V Évaluation : V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 ))) = = = = V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3) {x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4) {x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 } (1), (1) {x1 , x2 , x3 } Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple de récurrence : V Évaluation : V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 ))) = = = = V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3) {x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4) {x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 } (1), (1) {x1 , x2 , x3 } Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple de récurrence : V Évaluation : V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 ))) = = = = V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3) {x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4) {x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 } (1), (1) {x1 , x2 , x3 } Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple de récurrence : V Évaluation : V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 ))) = = = = V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3) {x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4) {x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 } (1), (1) {x1 , x2 , x3 } Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Exemple de récurrence : V Évaluation : V((x1 ∧ (x2 ∨ x3 ))) = = = = V(x1 ) ∪ V((x2 ∨ x3 )) (3) {x1 } ∪ V(x2 ) ∪ V(x3 ) (1), (4) {x1 } ∪ {x2 } ∪ {x3 } (1), (1) {x1 , x2 , x3 } Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Une subtilité I I I I Une fonction doit toujours associer à un argument donné un seul résultat. On doit donc assurer que la dénition récursive d'une fonction garantit bien cette unicité du résultat. En principe, la même formule pourrait être construite de deux façon diérentes. Dans ce cas, la dénition de la fonction risque de donner deux valeurs diérentes selon la construction considérée. Heureusement, cette diculté n'existe pas pour notre dénition des formules propositionnelles : théorème de lecture unique (démonstration omise). Mais attention dans le cas général des ensembles dénis par induction. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Une subtilité I I I I Une fonction doit toujours associer à un argument donné un seul résultat. On doit donc assurer que la dénition récursive d'une fonction garantit bien cette unicité du résultat. En principe, la même formule pourrait être construite de deux façon diérentes. Dans ce cas, la dénition de la fonction risque de donner deux valeurs diérentes selon la construction considérée. Heureusement, cette diculté n'existe pas pour notre dénition des formules propositionnelles : théorème de lecture unique (démonstration omise). Mais attention dans le cas général des ensembles dénis par induction. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Une subtilité I I I I Une fonction doit toujours associer à un argument donné un seul résultat. On doit donc assurer que la dénition récursive d'une fonction garantit bien cette unicité du résultat. En principe, la même formule pourrait être construite de deux façon diérentes. Dans ce cas, la dénition de la fonction risque de donner deux valeurs diérentes selon la construction considérée. Heureusement, cette diculté n'existe pas pour notre dénition des formules propositionnelles : théorème de lecture unique (démonstration omise). Mais attention dans le cas général des ensembles dénis par induction. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Une subtilité I I I I Une fonction doit toujours associer à un argument donné un seul résultat. On doit donc assurer que la dénition récursive d'une fonction garantit bien cette unicité du résultat. En principe, la même formule pourrait être construite de deux façon diérentes. Dans ce cas, la dénition de la fonction risque de donner deux valeurs diérentes selon la construction considérée. Heureusement, cette diculté n'existe pas pour notre dénition des formules propositionnelles : théorème de lecture unique (démonstration omise). Mais attention dans le cas général des ensembles dénis par induction. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Récurrence et induction I I I Un ensemble peut être déni par induction: on dit comment construire un nouvel élément de l'ensemble à partir des éléments plus primitifs. Il y donc un sens ascendant . Les fonctions peuvent être dénies par récurrence : on déni le résultat d'une fonction appliquée sur un argument composé en faisant référence au résultat de la fonction sur des arguments plus simples. Il y a donc un sens descendant . Finalement, une propriété de tous les éléments d'un ensemble qui est déni par induction est normalement démontrée par induction structurelle. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Récurrence et induction I I I Un ensemble peut être déni par induction: on dit comment construire un nouvel élément de l'ensemble à partir des éléments plus primitifs. Il y donc un sens ascendant . Les fonctions peuvent être dénies par récurrence : on déni le résultat d'une fonction appliquée sur un argument composé en faisant référence au résultat de la fonction sur des arguments plus simples. Il y a donc un sens descendant . Finalement, une propriété de tous les éléments d'un ensemble qui est déni par induction est normalement démontrée par induction structurelle. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Dénition de fonctions par récurrence Récurrence et induction I I I Un ensemble peut être déni par induction: on dit comment construire un nouvel élément de l'ensemble à partir des éléments plus primitifs. Il y donc un sens ascendant . Les fonctions peuvent être dénies par récurrence : on déni le résultat d'une fonction appliquée sur un argument composé en faisant référence au résultat de la fonction sur des arguments plus simples. Il y a donc un sens descendant . Finalement, une propriété de tous les éléments d'un ensemble qui est déni par induction est normalement démontrée par induction structurelle. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Aectations Valeurs de vérités : 0 et 1. Denition Une aectation est une fonction v : V → {0, 1} Le support d'une aectation v est déni comme supp(v ) = {x ∈ V | v (x ) = 1} Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Aectations Valeurs de vérités : 0 et 1. Denition Une aectation est une fonction v : V → {0, 1} Le support d'une aectation v est déni comme supp(v ) = {x ∈ V | v (x ) = 1} Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Il existe des dénitions diérentes I I I Pour 0 : False, , . . . Pour 1 : True, tt, . . . Les aectations sont parfois dénies comme des fonctions partielles. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Il existe des dénitions diérentes I I I Pour 0 : False, , . . . Pour 1 : True, tt, . . . Les aectations sont parfois dénies comme des fonctions partielles. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Notation pour les aectations I Nous écrivons [x1 7→ 1, x2 7→ 1, x3 7→ 1, . . . , x 7→ 1] n pour l'aectation qui aux variables x1 , . . . , x associe la valeur 1, et qui associe à toute autre variable la valeur 0. On peut aussi admettre des x 7→ 0 mais ça ne sert à rien. On ne peut pas écrire toutes les aectations de cette façon. n I I i Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Notation pour les aectations I Nous écrivons [x1 7→ 1, x2 7→ 1, x3 7→ 1, . . . , x 7→ 1] n pour l'aectation qui aux variables x1 , . . . , x associe la valeur 1, et qui associe à toute autre variable la valeur 0. On peut aussi admettre des x 7→ 0 mais ça ne sert à rien. On ne peut pas écrire toutes les aectations de cette façon. n I I i Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Notation pour les aectations I Nous écrivons [x1 7→ 1, x2 7→ 1, x3 7→ 1, . . . , x 7→ 1] n pour l'aectation qui aux variables x1 , . . . , x associe la valeur 1, et qui associe à toute autre variable la valeur 0. On peut aussi admettre des x 7→ 0 mais ça ne sert à rien. On ne peut pas écrire toutes les aectations de cette façon. n I I i Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemple aectation [x1 7→ 1, x2 7→ 0, x3 7→ 1] est l'aectation qui associe à x1 et x3 la valeur 1, et à toute autre variable la valeur 0. Son support est {x1 , x3 }. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Interprétation d'un formule L'interprétation [[p]]v d'une formule p par rapport à l'aectation v est dénie par récurrence sur la structure de p: [[x ]]v = [[¬p ]]v = [[(p ∧ q )]]v [[(p ∨ q )]]v v(x ) = = 0 1 0 1 0 1 si [[p]]v = 1 si [[p]]v = 0 si [[p]]v = 0 ou [[q ]]v = 0 si [[p]]v = 1 et [[q ]]v = 1 si [[p]]v = 0 et [[q ]]v = 0 si [[p]]v = 1 ou [[q ]]v = 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Interprétation d'un formule L'interprétation [[p]]v d'une formule p par rapport à l'aectation v est dénie par récurrence sur la structure de p: [[x ]]v = [[¬p ]]v = [[(p ∧ q )]]v [[(p ∨ q )]]v v(x ) = = 0 1 0 1 0 1 si [[p]]v = 1 si [[p]]v = 0 si [[p]]v = 0 ou [[q ]]v = 0 si [[p]]v = 1 et [[q ]]v = 1 si [[p]]v = 0 et [[q ]]v = 0 si [[p]]v = 1 ou [[q ]]v = 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Interprétation d'un formule L'interprétation [[p]]v d'une formule p par rapport à l'aectation v est dénie par récurrence sur la structure de p: [[x ]]v = [[¬p ]]v = [[(p ∧ q )]]v [[(p ∨ q )]]v v(x ) = = 0 1 0 1 0 1 si [[p]]v = 1 si [[p]]v = 0 si [[p]]v = 0 ou [[q ]]v = 0 si [[p]]v = 1 et [[q ]]v = 1 si [[p]]v = 0 et [[q ]]v = 0 si [[p]]v = 1 ou [[q ]]v = 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Interprétation d'un formule L'interprétation [[p]]v d'une formule p par rapport à l'aectation v est dénie par récurrence sur la structure de p: [[x ]]v = [[¬p ]]v = [[(p ∧ q )]]v [[(p ∨ q )]]v v(x ) = = 0 1 0 1 0 1 si [[p]]v = 1 si [[p]]v = 0 si [[p]]v = 0 ou [[q ]]v = 0 si [[p]]v = 1 et [[q ]]v = 1 si [[p]]v = 0 et [[q ]]v = 0 si [[p]]v = 1 ou [[q ]]v = 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples Pour l'aectation v1 = [y 7→ 1] on a que I [[x ]]v1 = 0 (car v1 (x ) = 0) I [[y ]]v1 = 1 (car v1 (y ) = 1) I Donc : [[(x ∧ y )]]v1 = 0 I et [[(x ∨ y )]]v1 = 1. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples Pour l'aectation v1 = [y 7→ 1] on a que I [[x ]]v1 = 0 (car v1 (x ) = 0) I [[y ]]v1 = 1 (car v1 (y ) = 1) I Donc : [[(x ∧ y )]]v1 = 0 I et [[(x ∨ y )]]v1 = 1. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples Pour l'aectation v1 = [y 7→ 1] on a que I [[x ]]v1 = 0 (car v1 (x ) = 0) I [[y ]]v1 = 1 (car v1 (y ) = 1) I Donc : [[(x ∧ y )]]v1 = 0 I et [[(x ∨ y )]]v1 = 1. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples Pour l'aectation v1 = [y 7→ 1] on a que I [[x ]]v1 = 0 (car v1 (x ) = 0) I [[y ]]v1 = 1 (car v1 (y ) = 1) I Donc : [[(x ∧ y )]]v1 = 0 I et [[(x ∨ y )]]v1 = 1. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Stratégie d'interprétation Soient p et q des formules propositionnelles et v une aectation, alors Théorème : [[(p ∧ q )]]v = [[(p ∨ q )]]v = 0 [[q ]]v 1 si [[p]]v = 0 si [[p]]v = 1 si [[p]]v = 1 [[q ]]v si [[p ]]v = 0 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Démonstration Nous démontrons seulement le premier des deux énoncés; le second se montre de façon analogue. Il y deux cas, selon la valeur de [[p]]v : Cas [[p]]v = 0: Nous avons à montrer que dans ce cas [[(p ∧ q )]]v = 0. C'est une conséquence immédiate de la dénition. Cas [[p]]v = 1: Nous avons à montrer que dans ce cas [[(p ∧ q )]]v = [[q ]]v . Il y a deux cas, selon la valeur de [[q ]]v : Cas [[q ]]v = 0: Nous avons [[(p ∧ q )]]v = 0 = [[q ]]v Cas [[q ]]v = 1: Nous avons [[(p ∧ q )]]v = 1 = [[q ]]v Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Démonstration Nous démontrons seulement le premier des deux énoncés; le second se montre de façon analogue. Il y deux cas, selon la valeur de [[p]]v : Cas [[p]]v = 0: Nous avons à montrer que dans ce cas [[(p ∧ q )]]v = 0. C'est une conséquence immédiate de la dénition. Cas [[p]]v = 1: Nous avons à montrer que dans ce cas [[(p ∧ q )]]v = [[q ]]v . Il y a deux cas, selon la valeur de [[q ]]v : Cas [[q ]]v = 0: Nous avons [[(p ∧ q )]]v = 0 = [[q ]]v Cas [[q ]]v = 1: Nous avons [[(p ∧ q )]]v = 1 = [[q ]]v Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Démonstration Nous démontrons seulement le premier des deux énoncés; le second se montre de façon analogue. Il y deux cas, selon la valeur de [[p]]v : Cas [[p]]v = 0: Nous avons à montrer que dans ce cas [[(p ∧ q )]]v = 0. C'est une conséquence immédiate de la dénition. Cas [[p]]v = 1: Nous avons à montrer que dans ce cas [[(p ∧ q )]]v = [[q ]]v . Il y a deux cas, selon la valeur de [[q ]]v : Cas [[q ]]v = 0: Nous avons [[(p ∧ q )]]v = 0 = [[q ]]v Cas [[q ]]v = 1: Nous avons [[(p ∧ q )]]v = 1 = [[q ]]v Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Démonstration Nous démontrons seulement le premier des deux énoncés; le second se montre de façon analogue. Il y deux cas, selon la valeur de [[p]]v : Cas [[p]]v = 0: Nous avons à montrer que dans ce cas [[(p ∧ q )]]v = 0. C'est une conséquence immédiate de la dénition. Cas [[p]]v = 1: Nous avons à montrer que dans ce cas [[(p ∧ q )]]v = [[q ]]v . Il y a deux cas, selon la valeur de [[q ]]v : Cas [[q ]]v = 0: Nous avons [[(p ∧ q )]]v = 0 = [[q ]]v Cas [[q ]]v = 1: Nous avons [[(p ∧ q )]]v = 1 = [[q ]]v Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle L'intérêt de ce théorème I I Pour évaluer [[(p ∧ q )]]v on évalue d'abord [[p]]v , et selon le résultat obtenu il se peut qu'il ne soit plus nécessaire d'évaluer [[q ]]v , ce qui est bon à savoir quand q est une très grande expression. On aurait pu donner une variante du théorème dans laquelle on interprète d'abord q au lieu de p, ou encore des variantes avec des critères plus sophistiqués (par exemple: on commence avec l'interprétation de la formule parmi p, q qui est est la plus petite). Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle L'intérêt de ce théorème I I Pour évaluer [[(p ∧ q )]]v on évalue d'abord [[p]]v , et selon le résultat obtenu il se peut qu'il ne soit plus nécessaire d'évaluer [[q ]]v , ce qui est bon à savoir quand q est une très grande expression. On aurait pu donner une variante du théorème dans laquelle on interprète d'abord q au lieu de p, ou encore des variantes avec des critères plus sophistiqués (par exemple: on commence avec l'interprétation de la formule parmi p, q qui est est la plus petite). Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Évaluation et interprétation En général, une application d'une fonction à des arguments est évaluée. I Plus spéciquement, une formule propositionnelle est interprétée par rapport à une aectation. L'interprétation de p par rapport à v est obtenue par l'évaluation de [[p]]v . I Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Dénition Soit p une formule propositionnelle. I On écrit v |= p si [[p ]]v = 1, et on dit p est vraie par rapport à v . I On écrit v 6|= p si [[p ]]v = 0, et on dit p est fausse par rapport à v . I On dit que p est satisfaisable s'il existe une aectation v telle que v |= p. I On dit que p est falsiable s'il existe une aectation v telle que v 6|= p. I On écrit |= p si v |= p pour toute aectation v , et on dit que p est valide (ou une tautologie). I On dit que p est contradictoire si v 6|= p pour toute aectation v . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Dénition Soit p une formule propositionnelle. I On écrit v |= p si [[p ]]v = 1, et on dit p est vraie par rapport à v . I On écrit v 6|= p si [[p ]]v = 0, et on dit p est fausse par rapport à v . I On dit que p est satisfaisable s'il existe une aectation v telle que v |= p. I On dit que p est falsiable s'il existe une aectation v telle que v 6|= p. I On écrit |= p si v |= p pour toute aectation v , et on dit que p est valide (ou une tautologie). I On dit que p est contradictoire si v 6|= p pour toute aectation v . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Dénition Soit p une formule propositionnelle. I On écrit v |= p si [[p ]]v = 1, et on dit p est vraie par rapport à v . I On écrit v 6|= p si [[p ]]v = 0, et on dit p est fausse par rapport à v . I On dit que p est satisfaisable s'il existe une aectation v telle que v |= p. I On dit que p est falsiable s'il existe une aectation v telle que v 6|= p. I On écrit |= p si v |= p pour toute aectation v , et on dit que p est valide (ou une tautologie). I On dit que p est contradictoire si v 6|= p pour toute aectation v . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Dénition Soit p une formule propositionnelle. I On écrit v |= p si [[p ]]v = 1, et on dit p est vraie par rapport à v . I On écrit v 6|= p si [[p ]]v = 0, et on dit p est fausse par rapport à v . I On dit que p est satisfaisable s'il existe une aectation v telle que v |= p. I On dit que p est falsiable s'il existe une aectation v telle que v 6|= p. I On écrit |= p si v |= p pour toute aectation v , et on dit que p est valide (ou une tautologie). I On dit que p est contradictoire si v 6|= p pour toute aectation v . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Dénition Soit p une formule propositionnelle. I On écrit v |= p si [[p ]]v = 1, et on dit p est vraie par rapport à v . I On écrit v 6|= p si [[p ]]v = 0, et on dit p est fausse par rapport à v . I On dit que p est satisfaisable s'il existe une aectation v telle que v |= p. I On dit que p est falsiable s'il existe une aectation v telle que v 6|= p. I On écrit |= p si v |= p pour toute aectation v , et on dit que p est valide (ou une tautologie). I On dit que p est contradictoire si v 6|= p pour toute aectation v . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Dénition Soit p une formule propositionnelle. I On écrit v |= p si [[p ]]v = 1, et on dit p est vraie par rapport à v . I On écrit v 6|= p si [[p ]]v = 0, et on dit p est fausse par rapport à v . I On dit que p est satisfaisable s'il existe une aectation v telle que v |= p. I On dit que p est falsiable s'il existe une aectation v telle que v 6|= p. I On écrit |= p si v |= p pour toute aectation v , et on dit que p est valide (ou une tautologie). I On dit que p est contradictoire si v 6|= p pour toute aectation v . Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples La formule (x ∨ y ) est I satisfaisable (elle est vraie par rapport à [x 7→ 1]) I falsiable (elle est fausse par rapport à []) I pas une tautologie I pas contradictoire Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples La formule (x ∨ y ) est I satisfaisable (elle est vraie par rapport à [x 7→ 1]) I falsiable (elle est fausse par rapport à []) I pas une tautologie I pas contradictoire Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples La formule (x ∨ y ) est I satisfaisable (elle est vraie par rapport à [x 7→ 1]) I falsiable (elle est fausse par rapport à []) I pas une tautologie I pas contradictoire Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples La formule (x ∨ y ) est I satisfaisable (elle est vraie par rapport à [x 7→ 1]) I falsiable (elle est fausse par rapport à []) I pas une tautologie I pas contradictoire Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples I I est une tautologie. (x ∧ ¬x ) est contradictoire. (x ∨ ¬x ) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Exemples I I est une tautologie. (x ∧ ¬x ) est contradictoire. (x ∨ ¬x ) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Proposition : Une formule p est valide si et seulement si ¬p n'est pas satisfaisable. Démonstration : On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide ssi v |= p pour toute aectation v ssi [[p]]v = 1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v = 0 pour toute aectation v ssi v |= ¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Proposition : Une formule p est valide si et seulement si ¬p n'est pas satisfaisable. Démonstration : On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide ssi v |= p pour toute aectation v ssi [[p]]v = 1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v = 0 pour toute aectation v ssi v |= ¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Proposition : Une formule p est valide si et seulement si ¬p n'est pas satisfaisable. Démonstration : On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide ssi v |= p pour toute aectation v ssi [[p]]v = 1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v = 0 pour toute aectation v ssi v |= ¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Proposition : Une formule p est valide si et seulement si ¬p n'est pas satisfaisable. Démonstration : On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide ssi v |= p pour toute aectation v ssi [[p]]v = 1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v = 0 pour toute aectation v ssi v |= ¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Proposition : Une formule p est valide si et seulement si ¬p n'est pas satisfaisable. Démonstration : On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide ssi v |= p pour toute aectation v ssi [[p]]v = 1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v = 0 pour toute aectation v ssi v |= ¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Proposition : Une formule p est valide si et seulement si ¬p n'est pas satisfaisable. Démonstration : On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide ssi v |= p pour toute aectation v ssi [[p]]v = 1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v = 0 pour toute aectation v ssi v |= ¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Proposition : Une formule p est valide si et seulement si ¬p n'est pas satisfaisable. Démonstration : On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide ssi v |= p pour toute aectation v ssi [[p]]v = 1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v = 0 pour toute aectation v ssi v |= ¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Notions de sémantique Ne pas confondre les notations: I Une formule est vraie ou fausse toujours par rapport à une aectation. I Une formule peut être satisfaisable ou falsiable tout court. Il n'y a pas de satisfaisable par une aectation . I Une formule peut être valide ou contradictoire. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Sémantique de la logique propositionnelle Proposition : est valide. (Exercice !) ¬p Une formule p est contradictoire si et seulement si Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Décider validité etc. I I I Pour savoir si une formule propositionnelle donnée est satisfaisable ou valide il faut donc en principe évaluer la formule sur toutes les aectations possibles. Problème : il y a un nombre inni d'aectations possibles car il y a un nombre inni de variables propositionnelles ! Heureusement, le théorème suivant dit que seulement les variables qui aparaissent dans les formules sont pertinentes. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Décider validité etc. I I I Pour savoir si une formule propositionnelle donnée est satisfaisable ou valide il faut donc en principe évaluer la formule sur toutes les aectations possibles. Problème : il y a un nombre inni d'aectations possibles car il y a un nombre inni de variables propositionnelles ! Heureusement, le théorème suivant dit que seulement les variables qui aparaissent dans les formules sont pertinentes. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Décider validité etc. I I I Pour savoir si une formule propositionnelle donnée est satisfaisable ou valide il faut donc en principe évaluer la formule sur toutes les aectations possibles. Problème : il y a un nombre inni d'aectations possibles car il y a un nombre inni de variables propositionnelles ! Heureusement, le théorème suivant dit que seulement les variables qui aparaissent dans les formules sont pertinentes. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques D'abord une proposition Soit p une formule propositionnelle et v1 , v2 des aectations telles que v1 (x ) = v2 (x ) pour toute variable x ∈ V(p). Alors [[p]]v1 = [[p]]v2 . Exercice (sera fait en TD) ! Proposition : Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Le théorème de coïncidence Une formule p est 1. satisfaisable si et seulement s'il existe une aectation v telle que supp(v ) ⊆ V(p) et v |= p. 2. valide si et seulement si v |= p pour toute aectation v avec supp(v ) ⊆ V(p ). Théorème : Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Démonstration du premier énoncé Si v |= p avec supp(v ) ⊆ V(p) alors p est, par dénition satisfaisable. Si p est satisfaisable il y a une aectation w telle que w |= p. Nous construisons une nouvelle aectation v comme suit: w (x ) si x ∈ V(p ) v (x ) = 0 si x 6∈ V(p) On a que supp(v ) ⊆ V(p), et v |= p par la proposition précédente. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Démonstration du premier énoncé Si v |= p avec supp(v ) ⊆ V(p) alors p est, par dénition satisfaisable. Si p est satisfaisable il y a une aectation w telle que w |= p. Nous construisons une nouvelle aectation v comme suit: w (x ) si x ∈ V(p ) v (x ) = 0 si x 6∈ V(p) On a que supp(v ) ⊆ V(p), et v |= p par la proposition précédente. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Démonstration du premier énoncé Si v |= p avec supp(v ) ⊆ V(p) alors p est, par dénition satisfaisable. Si p est satisfaisable il y a une aectation w telle que w |= p. Nous construisons une nouvelle aectation v comme suit: w (x ) si x ∈ V(p ) v (x ) = 0 si x 6∈ V(p) On a que supp(v ) ⊆ V(p), et v |= p par la proposition précédente. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Une méthode pour décider satisfaisabilité 1. Calculer V(p) 2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v ) ⊆ V(p ) 3. Évaluer [[p]]v pour toute aectation v ∈ A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v = 1 on sait que p est satisfaisable, si on n'en trouve pas alors p n'est pas satisfaisable. Combien d'aectations est-ce qu'il y a tester, si la formule a n variables ? Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Une méthode pour décider satisfaisabilité 1. Calculer V(p) 2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v ) ⊆ V(p ) 3. Évaluer [[p]]v pour toute aectation v ∈ A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v = 1 on sait que p est satisfaisable, si on n'en trouve pas alors p n'est pas satisfaisable. Combien d'aectations est-ce qu'il y a tester, si la formule a n variables ? Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Une méthode pour décider satisfaisabilité 1. Calculer V(p) 2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v ) ⊆ V(p ) 3. Évaluer [[p]]v pour toute aectation v ∈ A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v = 1 on sait que p est satisfaisable, si on n'en trouve pas alors p n'est pas satisfaisable. Combien d'aectations est-ce qu'il y a tester, si la formule a n variables ? Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Une méthode pour décider satisfaisabilité 1. Calculer V(p) 2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v ) ⊆ V(p ) 3. Évaluer [[p]]v pour toute aectation v ∈ A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v = 1 on sait que p est satisfaisable, si on n'en trouve pas alors p n'est pas satisfaisable. Combien d'aectations est-ce qu'il y a tester, si la formule a n variables ? Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Décider validité d'une formule 1. Calculer V(p) 2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v ) ⊆ V(p ) 3. Évaluer [[p]]v pour tout v ∈ A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v = 0 on sait que p n'est pas valide, si on n'en trouve pas alors p est valide. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Décider validité d'une formule 1. Calculer V(p) 2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v ) ⊆ V(p ) 3. Évaluer [[p]]v pour tout v ∈ A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v = 0 on sait que p n'est pas valide, si on n'en trouve pas alors p est valide. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Décider validité d'une formule 1. Calculer V(p) 2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v ) ⊆ V(p ) 3. Évaluer [[p]]v pour tout v ∈ A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v = 0 on sait que p n'est pas valide, si on n'en trouve pas alors p est valide. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Tables de vérité x1 x2 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 (1) (2) (3) ¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 )) (4) (5) (6) (7) ¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4) (5) ∨ (6) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Tables de vérité x1 x2 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 (1) (2) (3) ¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 )) (4) (5) (6) (7) ¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4) (5) ∨ (6) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Tables de vérité x1 x2 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 (1) (2) (3) ¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 )) (4) (5) (6) (7) ¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4) (5) ∨ (6) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Tables de vérité x1 x2 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 (1) (2) (3) ¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 )) (4) (5) (6) (7) ¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4) (5) ∨ (6) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Tables de vérité x1 x2 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 (1) (2) (3) ¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 )) (4) (5) (6) (7) ¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4) (5) ∨ (6) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Tables de vérité x1 x2 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 (1) (2) (3) ¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 )) (4) (5) (6) (7) ¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4) (5) ∨ (6) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Tables de vérité x1 x2 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 (1) (2) (3) ¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 )) (4) (5) (6) (7) ¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4) (5) ∨ (6) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Tables de vérité x1 x2 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 (1) (2) (3) ¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 )) (4) (5) (6) (7) ¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4) (5) ∨ (6) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Tables de vérité x1 x2 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 (1) (2) (3) ¬x2 (x1 ∧ x2 ) (x3 ∧ ¬x2 ) ((x1 ∧ x2 ) ∨ (x3 ∧ ¬x2 )) (4) (5) (6) (7) ¬(2) (1) ∧ (2) (3) ∧ (4) (5) ∨ (6) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Ecacité de notre algorithme I I I I Si la formule a n variables : 2 aectations possibles à essayer (dans le pire des cas) Temps d'exécution exponentiel Acceptable seulement pour des petites formules. Comment faire pour des formules avec 10.000 variables ? Voir dans quelques semaines ! n Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Ecacité de notre algorithme I I I I Si la formule a n variables : 2 aectations possibles à essayer (dans le pire des cas) Temps d'exécution exponentiel Acceptable seulement pour des petites formules. Comment faire pour des formules avec 10.000 variables ? Voir dans quelques semaines ! n Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Ecacité de notre algorithme I I I I Si la formule a n variables : 2 aectations possibles à essayer (dans le pire des cas) Temps d'exécution exponentiel Acceptable seulement pour des petites formules. Comment faire pour des formules avec 10.000 variables ? Voir dans quelques semaines ! n Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Décider des propriétés sémantiques Ecacité de notre algorithme I I I I Si la formule a n variables : 2 aectations possibles à essayer (dans le pire des cas) Temps d'exécution exponentiel Acceptable seulement pour des petites formules. Comment faire pour des formules avec 10.000 variables ? Voir dans quelques semaines ! n Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Raccourcis syntaxiques Raccourcis I On a le droit d'enchaîner des applications de l'opérateur ∧ : (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ p ) n ainsi que de l'opérateur ∨ : (p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ p ) n I On se permet d'omettre la paire de parenthèses qui est autour de la formule entière. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Raccourcis syntaxiques Raccourcis I On a le droit d'enchaîner des applications de l'opérateur ∧ : (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ p ) n ainsi que de l'opérateur ∨ : (p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ p ) n I On se permet d'omettre la paire de parenthèses qui est autour de la formule entière. Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Raccourcis syntaxiques Récupérer la syntaxe stricte I Remplacer (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ . . . ∧ p ) n par (p1 ∧ (p2 ∧ (p3 . . . ∧ p ) . . .)) n I et pareil pour les chaînes ∨. Mettre une paire de parenthèses extérieures autour de la formule si nécessaire Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Raccourcis syntaxiques Récupérer la syntaxe stricte I Remplacer (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ . . . ∧ p ) n par (p1 ∧ (p2 ∧ (p3 . . . ∧ p ) . . .)) n I et pareil pour les chaînes ∨. Mettre une paire de parenthèses extérieures autour de la formule si nécessaire Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Raccourcis syntaxiques Exemple (x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ y1 ∨ (z1 ∧ z2 ∧ z3 ∧ z4 ) s'écrit en syntaxe stricte comme (x1 ∧ (x2 ∧ x3 )) ∨ y1 ∨ (z1 ∧ (z2 ∧ (z3 ∧ z4 ))) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Raccourcis syntaxiques Exemple (x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ y1 ∨ (z1 ∧ z2 ∧ z3 ∧ z4 ) s'écrit en syntaxe stricte comme (x1 ∧ (x2 ∧ x3 )) ∨ y1 ∨ (z1 ∧ (z2 ∧ (z3 ∧ z4 ))) Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Raccourcis syntaxiques Syntaxe stricte ou raccourcie ? I I On autorise la syntaxe raccourcie dans les exemples. Par contre, quand on vous demande de démontrer une propriété de la syntaxe (comme: |w |( = |w |) pour toute w ∈ Form) c'est toujours la syntaxe stricte ! Chapitre 2Dénition de la logique propositionnelle Raccourcis syntaxiques Syntaxe stricte ou raccourcie ? I I On autorise la syntaxe raccourcie dans les exemples. Par contre, quand on vous demande de démontrer une propriété de la syntaxe (comme: |w |( = |w |) pour toute w ∈ Form) c'est toujours la syntaxe stricte !