Séries numériques - CPGE Dupuy de Lôme

Programme de colle : semaines 1/2
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Séries numériques
Généralités
1) Dénitions
• Somme partielle d'une série, convergence, divergence.
• Divergence grossière.
• Reste d'une série convergente, limite du reste.
2) Comparaison somme partielle intégrale
• Encadrement d'une somme partielle.
• Applications : équivalent de somme partielle, convergence de séries.
3) Opérations sur les séries
• Addition de deux séries (convergente-convergente et convergente-divergente).
• Multiplication par un scalaire.
4) Séries de référence
• Série géométrique.
• Série télescopique (ou lien suite-série).
• Série exponentielle.
• Séries de Riemann.
II. Critères de convergence pour les séries à termes positifs
1) Théorème de comparaison
• Versions : ≤, o, O. L'énoncé est une implication.
• Version ∼. L'énoncé est une équivalence.
2) Règle de D'Alembert
III. Convergence absolue
1) Généralités
• Dénition.
• Lien avec la convergence.
2) Produit de Cauchy
IV. Séries alternées
1) Critère spécial pour les séries alternées
• Convergence de la série.
• Propriétés du reste : signe et inégalité.
2) Exemples de développements asymptotiques
V. Compléments
1) Constante d'Euler
2) Formule de Stirling
I.
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 3/4
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Intégrales généralisées
I.
Fonctions continues par morceaux
1) Dénition
• Sur un segment.
• Sur un intervalle.
2) Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
• Dénition.
• Propriétés.
II. Intégrales généralisées
1) Intégrales généralisées sur [a, +∞[
2) Intégrales généralisées sur tout type d'intervalle
• Dénitions.
• La convergence ne dépend pas de la borne "sans problème".
• Cas des fonctions prolongeables par continuité.
3) Intégrales de références
Z
0
1
dt
,
tα
Z
1
+∞
dt
,
tα
Z
1
Z
ln(t)dt ,
0
+∞
e−αt dt
0
Propriétés des intégrales généralisées
• Sous réserve de convergence. Linéarité, relation de Chasles, croissance.
• Application au calcul d'intégrale de fractions rationnelles.
III. Fonctions intégrables
1) Convergence absolue des intégrales
• Dénition.
• Lien avec la convergence, inégalité triangulaire.
2) Fonctions intégrables
3) Théorème de comparaison
• Versions : ≤, o, O. L'énoncé est une implication.
• Version ∼. L'énoncé est une équivalence.
4) Exemple d'intégrale semi-convergente
IV. Méthode de calcul d'intégrales
1) Primitive
2) Intégration par parties
• Enoncé.
• Application au calcul d'intégrale par récurrence.
3) Changement de variable
4)
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 5/6
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
1) Produit d'espaces vectoriels
• Dénition
• Dimension
2) Somme d'espaces vectoriels
• Dénition d'une somme, d'une somme directe.
• Caractérisation d'une somme directe.
3) Somme directe et dimension
• Dimension d'une somme (inégalité), d'une somme directe (égalité).
• Base adaptée à une décomposition en somme directe.
4) Supplémentaire
II. Matrices
1) Matrices semblables
• Dénition.
• Lien avec le rang, calcul de puissances.
2) Trace
I.
• Dénition.
• Propriétés (linéarité, trace d'un produit, d'une transposée, conservation de la trace par similitude).
3)
Matrices par blocs
• Dénition.
• Opérations matricielles.
Déterminants
1) Déterminants de référence
• Déterminant de Van Der Monde.
• Déterminants tridiagonaux.
• Déterminants de matrices compagnons.
2) Déterminants abstraits
3) Déterminants de matrices par blocs
IV. Endomorphismes
1) Représentation matricielles
III.
• Interprétation de la similitude en terme de changement de base.
• Dénition de la trace d'un endomorphisme.
2)
Espaces stables
• Dénition, exemples.
• Notion d'endomorphisme induit.
• Matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée à un espace stable.
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 5/6
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Algèbre linéaire
Espaces vectoriels
1) Produit d'espaces vectoriels
• Dénition
• Dimension
2) Somme d'espaces vectoriels
• Dénition d'une somme, d'une somme directe.
• Caractérisation d'une somme directe.
3) Somme directe et dimension
• Dimension d'une somme (inégalité), d'une somme directe (égalité).
• Base adaptée à une décomposition en somme directe.
4) Supplémentaire
II. Matrices
1) Matrices semblables
• Dénition.
• Lien avec le rang, calcul de puissances.
2) Trace
I.
• Dénition.
• Propriétés (linéarité, trace d'un produit, d'une transposée, conservation de la trace par similitude).
3)
Matrices par blocs
• Dénition.
• Opérations matricielles.
Déterminants
1) Déterminants de référence
• Déterminant de Van Der Monde.
• Déterminants tridiagonaux.
• Déterminants de matrices compagnons.
2) Déterminants abstraits
3) Déterminants de matrices par blocs
IV. Endomorphismes
1) Représentation matricielles
III.
• Interprétation de la similitude en terme de changement de base.
• Dénition de la trace d'un endomorphisme.
2)
Espaces stables
• Dénition, exemples.
• Notion d'endomorphisme induit.
• Matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée à un espace stable.
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 7/8
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Probabilités
Espaces probabilisés
1) Ensemble dénombrables
2) Espaces probabilisés
• Dénition d'une tribu.
• Dénition d'une probabilité.
• Règles de calcul ( réunion croissante, intersection décroissante, ...)
II. Conditionnement
1) Probabilité conditionnelle
2) Formule des probabilités composées
3) Formule des probabilités totales
4) Formule de Bayes
III. Indépendance
1) Evénements indépendants
2) Evénements mutuellement indépendants
IV. Quelques situations classiques
1) Equiprobabilité
2) Succession d'événements non indépendants
3) Evénements non chronologiques
4) Pile ou face innie
5) Evénements non chronologiques
I.
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 9/10
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Suites et séries de fonctions
Modes de convergences d'une suite de fonctions
1) Convergence simple d'une suite de fonctions
2) Convergence uniforme d'une suite de fonctions
• Convergence uniforme sur un intervalle.
• Convergence uniforme sur tout segment d'un intervalle.
3) Liens entre les modes de convergence
II. Propriétés de la limite d'une suite de fonctions
1) Continuité
2) Dérivation
• Théorème de dérivation, version C 1 .
• Théorème de dérivation, version C k , k ≥ 2.
3) Intégration
• Intervertion des symboles limite et intégrale par convergence uniforme sur un segment.
III. Modes de convergences d'une série de fonctions
1) Convergence simple d'une série de fonctions
2) Convergence uniforme d'une série de fonctions
• Convergence uniforme sur un intervalle.
• Convergence uniforme sur tout segment d'un intervalle.
3) Convergence normale d'une série de fonctions
• Convergence normale sur un intervalle.
• Deux méthodes pour démontrer la convergence normale : la dénition, le théorème de domination.
• Convergence normale sur tout segment d'un intervalle.
4) Liens entre les modes de convergence
IV. Propriétés de la limite d'une série de fonctions
1) Continuité
2) Dérivation
• Théorème de dérivation, version C 1 .
• Théorème de dérivation, version C k , k ≥ 2.
3) Exemples d'étude asymptotique
I.
• Recherche de limite.
• Recherche d'équivalent.
4)
Intégration
• Intervertion des symboles série et intégrale par convergence uniforme sur un segment.
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 11/12
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Intégrales à paramètres
Théorème fondamental de l'analyse
II. Suites et séries de fonctions intégrables
1) Intervertion des symboles limite et intégrale
• Théorème de convergence dominée.
• Exemples.
2) Intervertion des symboles série et intégrale
• Théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions.
• Exemples.
III. Fonctions dénies comme intégrales à paramètres
1) Ensemble de dénition.
2) Continuité.
3) Dérivation.
• Théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre, version C 1 .
• Théorèmes de dérivation d'une intégrale à paramètre, version C k , k ≥ 2, version C ∞ .
4) Exemples d'étude asymptotique
I.
• Recherche de limite.
• Recherche d'équivalent.
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 13/14
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Réduction des endomorphismes
Eléments propres
1) Valeurs propres d'un endomorphisme
• Dénition.
• Exemples.
• Lien avec les espaces stables de dimension 1.
2) Espaces propres d'un endomorphisme
• Dénition.
• Les espaces propres sont en somme directe.
3) Eléments propres d'une matrice
• Analogue aux endomorphismes.
• Lien entre les éléments propres d'un endomorphisme et ceux de sa matrice représentative dans une base.
II. Polynôme caractéristique
1) Généralités
• Dénitions pour un endomorphisme, une matrice. Lien entre les deux.
• Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.
2) Lien avec les valeurs propres
• Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.
• Distinction spectre réel, spectre complexe pour une matrice réelle.
3) Expression du polynôme caractéristique
• Expression développée, 3 coecients sont connus.
• Conséquences.
4) Multiplicité d'une valeur propre
• Dénition
• Expression factorisée du polynôme caractéristique. Expression de la trace, du déterminant en fonction
des valeurs propres.
• Inégalité avec la dimension de l'espace propre associé.
III. Diagonalisation
1) Endomorphismes diagonalisables
• Dénition et caractérisations.
• Cas des endomorphismes possédant n valeurs propres distinctes.
2) Matrices diagonalisables
• Analogue aux endomorphismes.
• Exemples : matrices à paramètres, matrices de petit rang, matrices par blocs.
3) Diagonalisation
IV. Application de la diagonalisation
1) Calcul de puissance
2) Résolution d'équations matricielles
3) Similitude des matrices
4) Calcul de trace, rang, déterminant
5) Résolution de suites récurrentes linéaires d'ordre p, p ≥ 3
I.
• Uniquement lorsque l'équation caractéristique admet p racines.
V.
Trigonalisation
1) Généralités
• Dénition.
• Equivlence trigonalisable et χM scindé.
• Trigonalisation concrète.
2) Applications
• Essentiellement les mêmes que pour la diagonalisation
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 15/16
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Séries entières
Convergence d'une série entière
1) Notion de série entière
2) Rayon de convergence d'une série entière
3) Modes de convergence d'une série entière
• Convergence absolue si |z| < R, divergence si |z| > R, incertitude si |z| = R.
• Convergence normale sur tout segment de ] − R, R[.
4) Méthodes de calcul du rayon de convergence
• Avec la règle de d'Alembert.
• Avec le théorème de comparaison ( inégalité dans les versions ≤, 0, O et égalité dans la version ∼)
• Avec la dénition
5) Opérations sur les séries entières
• Somme et de produit de Cauchy.
• Eet sur le rayon de convergence.
II. Propriétés de la somme
1) Continuité
2) Dérivation
• Une série entière est C ∞ sur ] − R, R[.
• Expressions des dérivées successives. Dériver ne modie pas le rayon de convergence.
3) Coecients
• Expression.
• Unicité des coecients.
4) Intégration
• Intégration terme à terme d'une série entière sur tout segment de ] − R, R[.
• Primitiver ne modie pas le rayon de convergence.
5) Exemple d'études au bord
• Continuité ou limite d'une série en −R ou R.
• Intégrale d'une série entière sur [0, R].
III. Fonctions développables en série entière
1) Dénition
• Développements en série entière de référence.
• Cas des fractions rationnelles.
2) Développement de Taylor
3) Développement en série entière et équations diérentielles
I.
• Utiliser un DSE pour résoudre une équation diérentielle.
• Utiliser une équation diérentielle pour obtenir un DSE.
4)
5)
Développement en série entière et suites
Développement en série entière de fonctions spéciales
• Développement en série entière d'une intégrale à paramètre.
• Développement en série entière d'une série de fonction.
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 17/18
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Variables aléatoires discrètes
Généralités
1) Dénition
• Dénition d'une variable aléatoire discrète, de sa loi.
• Notations (X = x), (X ≤ x), (X ∈ U )
• La loi est entièrement déterminée par la connaissance des événements élémentaires.
2) Fonction de répartition
II. Moments d'une variables aléatoire
1) Espérance
• Dénition.
• Formule de transfert.
2) Variance
• Dénition. Formule V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 .
• Ecart-type.
• Formule V (aX + b)
3) Inégalités classiques
• Inégalité de Markov.
• Inégalité de Bienayme-Tchebychev.
4) Fonction génératrice
• Dénition.
• Propriétés (rayon de convergence, valeur en 1)
• Lien avec l'éspérance et la variance.
III. Lois usuelles
1) Loi géométrique
• Dénition.
• Interprétation, fonction génératrice, éspérance, variance.
• Caractérisation comme loi sans mémoire.
2) Loi de Poisson
• Dénition.
• Interprétation, fonction génératrice, éspérance, variance.
• Approximation loi de Poisson - loi Binomiale.
IV. Couples de variables aléatoires
1) Loi conjointe, lois marginales
• Dénition.
• Loi conditionnelle de X sachant (Y = y).
• Lien entre elles.
2) Variables aléatoires indépendantes
• Dénition.
• Indépendance mutuelle.
3) Couples et moments
• Propriétés de l'éspérance (linéarité, positivité, croissance, espérance d'un produit).
• Variance d'une somme (pour deux ou plus).
• Covariance, coecient de corrélation.
4) Somme de deux variables aléatoires
• Fonction génératrice d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes.
• Somme de deux lois de Poisson indépendantes.
5) Loi faible des grands nombres
I.
Marcotte Sébastien
1
Programme de colle : semaines 19/20
PC, Lycée Dupuy de Lôme
Endomorphismes d'un espace euclidien
Révision du cours de première année sur les espaces euclidiens
• Dénition du produit scalaire, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz.
• Bases orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
• Expression du produit scalaire, de la norme, des coordonnées dans une BON.
• F ⊥ , dénition, dimension.
• Calcul de projeté orthogonale, de distance.
I. Isométries vectorielles
1) Généralités
• Dénition. Conservation du produit scalaire.
• Notation O(E). Opérations (composition, inverse)
• Caractérisation par l'image d'une BON.
2) Matrices orthogonales
• Dénition. Lien avec les isométries vectorielles
• Notation On (R), SOn (R). Opérations (produit, inverse)
• Caractérisation : les colonnes forment une BON, matrice de passage entre BON.
II. Endomorphismes symétriques
1) Généralités
0.
• Dénition.
• Un endomorphisme est symétrique ssi sa matrice dans une BON l'est.
2)
Etude de t A
• Noyau et image de t A.
• Espaces stables de t A.
Endomorphismes remarquables
1) Rotations du plan
• Ecriture matricielle.
• Ecriture complexe.
2) Symétries orthogonales du plan
• Ecritures matricielles.
• Equivalence : être une symétrie orthogonale / être une symétrie et être dans O(E).
3) Projections orthogonales
IV. Théorème spectral
1) Enoncé
• Valeurs propres et espaces propres d'une matrice symétrique.
• Enoncé (versions endomorphisme/matrice).
• Diagonalisation concrète dans une BON.
2) Applications
III.
Marcotte Sébastien
1