Mesure et Intgration - exigences aux tudiants

Examen du cours « Mesure et Intégration » 2008/2009 - exigences aux étudiants
Savoir donner les définitions d’une algèbre, d’une sigma algèbre, d’une classe monotone,
et connaître ses propriétés savoir donner les exemples en cas de d .
Savoir donner les définitions d’une mesure, d’une pré-mesure, d’une mesure extérieure,
d’un espace mesurable, d’un espace mesuré, et connaître ses propriétés et savoir les
donner en cas de d notamment les propriétés de régularité, des invariances. Savoir
donner l’énoncé du théorème de Carathéodory.
Savoir donner la définition d’une fonction mesurable et connaître les propriétés des
fonctions mesurables ainsi de l’ensemble M + (Ω, Σ) . Savoir préciser la notion « presque
partout » notamment, la convergence presque partout et la convergence en mesure.
Savoir donner et interpréter les deux définitions de l’intégrale données au cours et
connaître les propriétés de l’intégrale. En particulier, savoir donner la notion d’une
fonction sommable. En cas de d savoir expliquer la différence par rapport à l’intégrale
de Riemann. Maîtriser le calcul des intégrales selon les séries d’exercices.
Savoir énoncer les théorèmes de la convergence monotone, de la convergence dominée et
du lemme de Fatou et savoir donner les démonstrations. Savoir énoncer le théorème de
Brezis-Lieb, les théorèmes de Fubini-Tonelli. Maîtriser la représentation des fonctions
par leurs ensembles de niveau. Savoir définir la convolution de deux fonctions sur d et
connaître ses propriétés. Connaître la définition de la transformée de Fourier d’une
fonction intégrable sur d et ses propriétés. Maîtriser le calcul des convolutions
(notamment le théorème de Newton) et des transformée de Fourier selon les exercices du
cours. Connaître et savoir appliquer les représentations intégrales des fonctions Gamma
et Beta.
Savoir définir les espaces Lp sur un espace mesuré et connaître ses propriétés comme
espace de Banach, notamment des espaces Lp définis sur d (complétude, espace dual,
convexité uniforme, séparabilité) Connaître les ensembles denses et des approximations
des éléments de Lp ( d ) . Savoir définir la convergence en norme (ou forte), la
convergence presque partout, la convergence faible et leurs relations entre elles. Savoir
énoncer le théorème de Banach-Alaoglu. Savoir appliquer les inégalités de Minkowski,
de Hölder, et de Young et connaître les cas quand ces inégalités sont saturées
(optimalité). Connaître les propriétés de la transformée de Fourier dans L2 ( d ) . Savoir
ennoncer le théorème de Radon-Nikodym. Savoir définir le réarrangement à symétrie
sphérique décroissante et connaître ses propriétés, en particulier les inégalités pour les
intégrales y associées. Savoir calculer le réarrangement à symétrie sphérique décroissante
d’une fonction donnée.