1 A,B et C sont trois points non alignés. Le point I est le barycentre

1 A,B et C sont trois points non alignés.
Le point I est le barycentre des points pondérés (A ; 3) et (B ; 2).
Le point J est le barycentre des points pondérés (B ; 2) et (C ; – 4).
Le point K est le barycentre des points pondérés (A ; 3) et (C ; 4).
Construire les points I, J et K .
Démontrer que C est le barycentre des deux points pondérés (B ; 2) et (J ; 2).
En déduire que K est le barycentre des trois points pondérés (A ; 3), (B ; 2) et (J ; 2); puis que les points I, J et K sont
alignés. Préciser la position relative de ces trois points.
Corrigé
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2 Soit un triangle ABC et k un réel non nul, on définit les points D et E par les égalités : AD = k AB et CE = k CA :
1
Faire une figure si k = puis si k = – 1.
3
Montrer que D est le barycentre de (A ; 1 – k) , (B ; k)
Monter de la même manière, que E est le barycentre de ( C ; 1 – k) , (A ; k).
Soit B’ et C’ les milieux respectifs de [AC] et [AB].
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Déduire de ce qui précède que pour tout point M du plan, on a MD + ME = 2 (MB’ + k B’C’)
Montrer que [DE], [AC] et [AB] ont leurs milieux alignés. On pourra appeler I le milieu de [DE].
Corrigé
3 Etant donné un triangle (ABC), construire les points I, J et K définis par I est le barycentre de (A, 2) et (C, 1) ;
J est le barycentre de (A, 1) et (B, 2) ; K est le barycentre de (C,1) et (B,-4).
1° Montrer que B est le barycentre de (K, 3) et (C, 1)
2° Quel est le barycentre de (A, 2) (K, 3) et (C, 1) ?
3° Déduire du 2° que I, J et K sont alignés et que J est le milieu de [IK].
4° L étant le milieu de [CI] et M le milieu de [KC], montrer que (IJML) est un parallélogramme dont le centre G est
l’isobarycentre des points A B et C.
Corrigé
4 On considère dans le plan orienté un triangle ABC. Soit G le barycentre du système {(A, 3), (B, 1), (C, 1)} ;Q est
le barycentre du système {(A, 3), (C, 1)} ;R est le barycentre du système {(A, 3), (B, 1)}.
1° Démontrer que les droites (BQ) et (CR) passent par G.
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2° Soit P le milieu de [BC]. Démontrer que les points A,P,G sont alignés. Exprimer PGen fonction de PA.
3° Soit E l’ensemble des points M du plan tels que (MB) soit perpendiculaire à (MC). Quelle est la nature de E ? On
suppose B et C fixes et que le point A décrit l’ensemble E . Déterminer l’ensemble E ’ décrit par G.
Corrigé
5 Soit ABC un triangle quelconque.
1° Construire le barycentre G de (A, 3) et (B, 3) ;
Construire le barycentre E de (B, 3) et (C, 1) ;
Construire le barycentre F de (A, 3) et (C, 1).
2° Soit I le barycentre de (A,3), (B,3) et (C,1).
Démontrer que A, I et E sont alignés.
Démontrer de même que B,I et F sont alignés et que C, I et G le sont aussi.
Que peut-on en déduire pour les droites (AE), (BF) et (CG) ?
3°Construire le barycentre
E’ de (B,
3) et (C, – 1).
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a) Exprimer les vecteurs E’G et GF en fonction des vecteurs AB et AC.
En déduire que les points E’, F et G sont alignés.
b) Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
4° Soit H le symétrique de A par rapport à B.
Soit K l’intersection des droites (E’H) et (EF).
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3 
Montrer que E’K = E’H
2
Corrigé
1 A,B et C sont trois points non alignés. Le point I est le barycentre des points pondérés (A ; 3) et (B
; 2). Le point J est le barycentre des points pondérés (B ; 2) et (C ; – 4). Le point K est le barycentre
des points pondérés (A ; 3) et (C ; 4). Construire les points I, J, K.
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AI =
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2  
– 4 
4 
AB, BJ =
BC = 2 BC et AK = AC
5
–4+2
7
Démontrer que C est le barycentre des deux points pondérés (B ; 2) et (J ; 2).
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2 CB + 2 CJ = 2 CB +
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2
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CB = 2 CB – 2 CB = 0
–4+2
En
déduire que
K est
le barycentre
des 
trois points pondérés (A;3) , (B;2) et (J;2) ;
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3 KA + 2 KB + 2 KJ = 3 KA + 4 KC = 0
puis que les points I, J et K sont alignés.
K est le barycentre des trois points pondérés (A ; 3) , (B ; 2) et (J ; 2) donc, par associativité, K est le barycentre des
points pondérés ((I ; 3 + 2) et (J ; 2) donc K  (IJ).
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2 
Préciser la position relative de ces trois points. IK =
IJ
Retour
7
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2 Soit un triangle ABC et k un réel non nul, on définit les points D et E par les égalités : AD = k AB et CE = k CA : Faire une
figure si k =
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1
puis si k = – 1. Montrer que D est le barycentre de (A ; 1 – k) , (B ; k)
3
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(1 – k) AD + k BD = AD – k AD + k BD = k AB + k (BD + DA) = 0
Monter de la même manière, que E est le barycentre de ( C ; 1 – k) , (A ; k).
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(1 – k) CE + k AE = CE – k CE + k AE = CE + k ( AE + EC) = k CA + k AC = 0
Soit B’ et C’ les milieux respectifs de [AC] et [AB].
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Déduire
de ce qui
précède
que
pour tout point
M du
plan, on a MD + ME = 2 (MB’ + k B’C’)
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MD
=
(1
–
k)
MA
+
k
MB
et
ME
=
(1
–
k)
MC
+
k
MA
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MD
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= (1 – k)
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k MB +
(1 – k) MC
+ k MA = MA – k MA + k MB + MC – k MC
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= MA + MC – k (MA + MB) = 2 MB' – 2 k MC’
Montrer que [DE], [AC] et [AB] ont leurs milieux alignés. On pourra appeler I le milieu de [DE].
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MD + ME = 2 MI donc 2 MI = 2 MB' – 2 k MC’ donc MI = MB’ – k MC’
Donc I est le barycentre de (B, 1) et (C, – k), donc I  (BC).
Retour
3 Etant donné un triangle (ABC), construire les points I, J et K définis par I est le barycentre de (A, 2) et (C, 1) ;J est le barycentre
de (A, 1) et (B, 2) ; K est le barycentre de (C,1) et (B,-4). 1° Montrer que B est le barycentre de (K, 3) et (C, 1)
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3 BK + BC = 3 BK + BK + KC = – 3 KB + KC = 0
2° Quel est le barycentre de (A, 2), (K, 3) et (C, 1) ?
Par associativité le barycentre de (A, 2), (K, 3) et (C, 1) est aussi le barycentre de (A, 2) et (B, 3 + 1)
3° Déduire du 2° que I, J et K sont alignés et que J est le milieu de [IK].
Par associativité le barycentre de (A, 2), (K, 3) et (C, 1) est aussi le barycentre de (I, 2 + 1), (K, 3)
Donc I est le milieu de [IK]
4° L étant le milieu de [CI] et M le milieu de [KC], montrer que (IJML) est un parallélogramme dont le centre G est l’isobarycentre
des points A B et C.
Soit G le milieu de [IM], G est le barycentre de (I, – 6) et (M, – 6) donc, par associativité,
G est le barycentre de (A, – 4), (C, – 2), (K, – 3) et (C, – 3)
donc c’est le barycentre de (A, – 4), (C, – 5), (C, 1) et (B, – 4)
donc c’est le barycentre de (A, – 4), (B, – 4) et (C, – 4). C’est donc le centre de gravité du triangle ABC
Soit G’ le milieu de [JL], G’ est le barycentre de (J, 6) et (L, 6) donc, par associativité,
G’ est le barycentre de (A, 2), (B, 4), (C, 3) et (I, 3)
donc c’est le barycentre de (A, 2), (B, 4), (C, 3), (A, 2) et (C, 1)
donc c’est le barycentre de (A, 4), (B, 4) et (C, 4). C’est donc le centre de gravité du triangle ABC
Le quadrilatère IJML a ses diagonales qui se coupent en G, centre de gravité de ABC c’est donc un parallélogramme
de centre G
Retour
4 On considère dans le plan orienté un triangle ABC. Soit G le barycentre du système {(A, 3), (B, 1), (C, 1)} ; Q est le barycentre du
système {(A, 3), (C, 1)} ;R est le barycentre du système {(A, 3), (B, 1)}.
1° Démontrer que les droites (BQ) et (CR) passent par G.
G est le barycentre de (A, 3), (B, 1), (C, 1) donc, par associativité, G est le barycentre (Q, 4) et (B, 1) donc G  (QB)
G est le barycentre de (A, 3), (B, 1), (C, 1) donc, par associativité, G est le
barycentre (R, 4)
et (C, 1) donc G  (RC)
2° Soit P le milieu de [BC]. Démontrer que les points A,P,G sont alignés. Exprimer PG en fonction de PA .
G est le barycentre de (A, 3), (B, 1), (C, 1) donc, par associativité, G est le barycentre (A, 3) et (P, 2) donc G  (AP)
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3 
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
3 PA + 2 PG = 0  PG = – PA
2
3° Soit E l’ensemble des points M du plan tels que (MB) soit perpendiculaire à (MC) .Quelle est la nature de E ?
(MB) soit perpendiculaire à (MC) si, et seulement si, MBC est rectangle en M E est donc le cercle de diamètre [BC].
On suppose B et C fixes et que le point A décrit l’ensemble E . Déterminer l’ensemble E ’ décrit par G.
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PG = –
3 
2
PA donc G est l’image du point A dans l’homothétie de centre P de rapport –
2
3
E ‘ est donc l’image de E par cette homothétie c’est donc le cercle de centre P de rayon
BC
3
Retour
5 Soit ABC un triangle quelconque. 1° Construire le barycentre G de (A, 3) et (B, 3) ;Construire le barycentre E de (B, 3) et (C, 1) ;
Construire le barycentre F de (A, 3) et (C, 1). 2° Soit I le barycentre de (A,3), (B,3) et (C,1). Démontrer que A, I et E sont alignés.
I est le barycentre de (A,3), (B,3) et (C,1) donc, par associativité, I est le barycentre de (A, 3) et (E, 4) donc I  (AE).
Démontrer de même que B,I et F sont alignés
I est le barycentre de (A,3), (B,3) et (C,1) donc, par associativité, I est le barycentre de (B, 3) et (F, 4) donc I  (BF)
et que C, I et G le sont aussi.
I est le barycentre de (A,3), (B,3) et (C,1) donc, par associativité, I est le barycentre de (C, 1) et (G, 5) donc I  (CG)
Que peut-on en déduire pour les droites (AE), (BF) et (CG) ?
Les droites (AE), (BF) et (CG) se coupent en I
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
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3°Construire le barycentre E’ de (B, 3) et (C, – 1). a) Exprimer les vecteurs E’G et GF en fonction des vecteurs AB et AC .
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3  1  1  3  1  1  1 
1 
BA – CA – CB = BA – CA – CA – AB = – 2 AB + AC : E’G = – AB + AC
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2
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2
2
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3  1  1  3  1  1  1 
1  1 
4 GF = 3 AG + CG = AB + CA + CB = AB + CA + CA + AB = 2 AB – AC. Donc GF = AB – AC
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2
2
2
2
2
2
2
4
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2 E’G = 3 BG – CG =
En déduire que les points E’, F et G sont alignés.
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2 GF = AB –
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1 
AC = – E’G donc les vecteurs GF et E’G sont colinéaires donc E’, F et G sont alignés.
2
b) Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
3 
CB
4
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3 
F est le barycentre de (A, 3) et (C, 1) donc CF = CA
4
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3
3
3
On a donc EF = EC + CF = BC + CA = BA
4
4
4

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Donc les vecteurs EF et BA sont colinéaires donc les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
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E est le barycentre de (B, 3) et (C, 1) donc CE =

4° Soit H le symétrique de A par rapport à B. Soit K l’intersection des droites (E’H) et (EF). Montrer que E’K =
3 
E’H
2
H le symétrique de A par rapport à B donc H barycentre de (A, – 1), (B, 2)

3 
On note K’ le barycentre de (E’, – 2), (H, 6) on a E’K’ = E’H et K’  (E’H)
2
Par associativité, K’ est le barycentre de (B, – 3), (C, 1), (A, – 6), (B, 12)
donc K’ est le barycentre de (B, 9), (C, 1), (A, – 6)
donc K’ est le barycentre de (B, 9), (C, 3), (C, – 3), (C, 1), (A, – 6)
donc K’ est le barycentre de (B, 9), (C, 3), (C, – 2), (A, – 6)
Donc K’ barycentre de (E, 12) et (F, – 2) donc K’  (EF)

3 
K’ est donc le point d’intersection des droites (E’H) et (EF) donc K’ = K et E’K = E’H
2
Retour