LE BARYCENTRE DANS LE PLAN

LE BARYCENTRE DANS LE PLAN
Le barycentre ( du grec barus : lourd, pesant ) fut introduit en
physique au dix-neuvième siècle . Cependant, cette notion,
indispensable en mécanique, se retrouve déjà dans les travaux
d’Archimède ( troisième siècle avant J.-C. ) sur les leviers,
travaux qui l’auraient conduit à cette célèbre phrase :
« Donnez-moi un point d’appui et je soulèverai la Terre » .
1ère séance
I. BARYCENTRE DE DEUX OU TROIS POINTS
2ème séance
Objectif : caractériser ( vectoriellement ) le barycentre de 2 ou 3 points
Travail conseillé : Exercices résolus n° 7 + 11
RETENIR
Définition
2 POINTS
3 POINTS
{( A, α ) , ( B, β )}
{( A, α ) , ( B, β ) , ( C, γ )}
avec α + β ≠ 0
avec α + β + γ ≠ 0
G est l’unique point
G est l’unique point du plan
qui vérifie l’égalité
qui vérifie l’égalité suivante
α GA + β GB = 0
Pour tout point M
( quelconque )
dans le plan, on a
Propriété
fondamentale
α GA + β GB + γ GC = 0
Pour tout point M dans le plan, le
vecteur (α + β + γ ) MG est égal à
(α + β ) MG
α MA + β MB + γ MC
=
α MA + β MB
Corollaire
(α + β ) AG = β AB
(α + β + γ ) AG = β AB + γ AC
Comment définit-on le barycentre de 2 ou 3 points pondérés ? Un tel point
existe-t-il toujours ? Peut-il être vite construit en utilisant les vecteurs ?
Support : Exercices n° 14 + 22
Travail conseillé : Exercices résolus n° 23 + 34
Travail demandé : Exercices n° 9 + 13
Travail demandé : Exercices n° 16 + 21 + 24 + 56
Qu’appelle-t-on l’isobarycentre de 2 points ? de 3 points ? de 4 points ?
3ème séance
4ème séance
trouver le barycentre de deux points pondérés
http://www.geogebra.at/en/upload/files/french/Premiere/exosbary.htm
Objectif : déterminer les coordonnées du barycentre de 2 ou 3 points
RETENIR
G barycentre du système
{( A, α ) , ( B, β )}
G barycentre du système
{( A, α ) , ( B, β ) , ( C, γ )}
xG =
α x A + β xB
α +β
xG =
α x A + β xB + γ xC
α + β +γ
yG =
α y A + β yB
α +β
yG =
α y A + β yB + γ yC
α + β +γ
Objectif : découvrir quelques propriétés du barycentre de 2 ou 3 points
Les élèves, répartis en groupes, rédigent la solution d’un exercice . Celle-ci
est corrigée par le professeur ( et fait même l’objet d’une note ) puis
numérisée et incorporée au cahier de textes de la classe . Les élèves peuvent
utiliser tous les outils à leur disposition ( cours, manuels, ordinateurs ) .
Support : Exercice n° 45
Travail conseillé : Exercices non résolus n° 46 à 48
Objectif : déterminer des ensembles de points à l’aide d’un barycentre
Support : Exercices n° 53 + 87
Support : Exercice n° 59
Travail demandé : Exercice n° 55 + 83
Le barycentre, lorsqu’il existe, de deux points est toujours aligné avec ces
deux points . On peut localiser le barycentre de deux points sur la droite
joignant ces deux points . Plus précisément,
α +β ≠0
G barycentre de
{( A, α ) , ( B, β )}
Support : Exercice n° 65
On ne change pas le barycentre d’un système de points en multipliant tous
les coefficients du système par un même nombre non nul .
Travail demandé : Exercice n° 90 ( centre d’inertie de plaques homogènes )
Théorème du barycentre partiel
5ème séance
II. ASSOCIATIVITÉ DU BARYCENTRE DE TROIS POINTS
SI
On suppose α + β + γ ≠ 0 et β + γ ≠ 0 . On appelle G le barycentre du
système
{( A, α ) , ( B, β ) , ( C , γ )} et H
celui du sous-système
{( B, β ) , ( C , γ )} .
ALORS
Le point G est toujours le barycentre du système
{( A, α ) , ( H , β + γ )} .
Preuve .
Appliquons la propriété fondamentale pour le barycentre H de B et C .
Quel que soit le point M choisi dans le plan, on a
( β + γ ) MH = β MB + γ MC
On en déduit, lorsque M = G , que : β GB + γ GC = ( β + γ ) GH .
Par définition de G , α GA + β GB + γ GC = 0 donc α GA + ( β + γ ) GH = 0 .
Cette égalité prouve que G est le barycentre de
Procédure
à suivre ?
Travail demandé : Exercice n° 40
{( A, α ) , ( H , β + γ )} .
6ème séance
7ème séance
Régionnement du plan et barycentre ( deux approches )
III. BILAN DU CHAPITRE
Objectif : résoudre un problème géométrique de deux façons
Geogebra > modifier a, b et c
GeoPlan-GeoSpace > modifier G
Objectif : démontrer que trois droites sont concourantes
Objectif : démontrer que trois points sont alignés
Travail conseillé
•
•
•
Exercice n° 49 ( barycentre et symétrie axiale )
Exercice n° 52 ( droites concourantes dans un triangle )
Exercice n° 54 ( alignement de points, ≠ méthodes )
8ème séance