Exercice 1

1S1
Barycentre et calcul vectoriel
DS n°4 - Correction
Exercice 1 ( /2) – Barycentres de deux points
On considère un segment [AB] non plat.
2
AD = 
AB et E le point tel que 
Soit D le point tel que 
BE2 
AE = 0
5
1) Exprimer D comme le barycentre de A et B.
2

AD = 
AB donc on en déduit que D barycentre de (A;3) et (B;2).
5
b 
AG =
AB )
(Appliquer la relation G barycentre de (A;a) (B;b) ssi 
ab
2) Exprimer E comme le barycentre de A et B.

BE2 
AE = 0 <=> 
EB2 
EA = 0 donc E barycentre de (A;2) et (B;1).
3) Exprimer B comme le barycentre de A et D, puisque comme celui de A et E.
D barycentre de (A;3) et (B;2) donc :
3
DA2 
DB = 0 <=> 3 
DB3 
BA2 
DB = 0 <=> 5 
DB3 
BA = 0 <=>−5 
BD3
BA = 0
donc B est le barycentre de (A;-3) et (D;5).

BE2 
AE = 0 <=> 
BE2 
AB2 
BE = 0 <=> 2 
AB3 
BE = 0 <=>−2 
BA3 
BE = 0
donc B est le barycentre de (A;-2) et (E;3)
Exercice 2 ( /3) - Constructions
Soit A, B et C trois points distincts. Construire les barycentres suivants en donnant l'égalité
vectorielle utilisée :
1) G barycentre de (A;3) et (B;4).
2) H barycentre de (A;3), (B;4) et (C;7).
3) K barycentre de (A;2),(B;1) et (C;-2).
Question de cours : utilisation des formules de construction et construction de vecteurs.
On peut gagner du temps sur la construction de H en remarquant avec le théorème
d'associativité que H est le milieu de [GC].
Exercice 3 ( /3) – Lieux géométriques
Soit A et B deux points distincts du plan. Déterminer et construire l'ensemble des points M du
plan tels que :
1) ∥
MA
MB∥= ∥
MA−
MB∥
Si on définit G isobarycentre de A et B, donc milieu de [AB], on en déduit

MA
MB = 2
MG .
D'autre part, 
MA−
MB = 
MA
BM = 
BA d'après Chasles.
Donc
∥
MA
MB∥= ∥
MA−
MB∥devient ∥2 
MG∥=∥
BA∥
soit en distances
MG =
BA
.
2
1S1
Barycentre et calcul vectoriel
DS n°4 - Correction
Les points M vérifiant cette égalité sont donc les points à une distance du point G, milieu de
BA
[AB], de
: C'est donc le cercle de diamètre [AB].
2
2)
∥2
MA
MB∥= ∥
MA2
MB∥
Soit G barycentre de (A;2) et (B;1). Soit H le barycentre de (A;1) et (B;2).
Alors
∥2
MA
MB∥= ∥
MA2
MB∥<=> ∥3
MG∥ =∥3
MH ∥ <=> MG = MH
L'ensemble des points M vérifiant cette égalité est donc la médiatrice de [MH]. (On peut
d'ailleurs démontrer que c'est aussi celle de [AB])
3) Soit C le point tel que ABC soit un triangle équilatéral. Déterminer et construire
l'ensemble des points M tels que ∥
MA−4
MC∥= ∥
MB2 
MC∥
Soit G barycentre de (A;1) et (C;-4). Soit H celui de (B;1) et (C;2).
MG∥ =∥3
MH ∥ et donc MG=MH. C'est donc
∥
MA−4
MC ∥=∥
MB2
MC ∥ devient ∥−3
la médiatrice de [GH].
Exercice 4 ( /4) – Ensembles de points
Soit ABCD un parallélogramme.
Soit G le barycentre des points pondérés  A ; k  ,  B ; k 1 , C ; k −1 ,  D ;−3k1 avec k
nombre réel.
1) G est-il défini de façon unique pour toute valeur de k ?
k  k 1 k−1−3k1= 1 donc toujours différent de 0 quelque soit k, donc G est
défini pour tout k réel.
2) Démontrer que A est le barycentre de  B ; 1 ,C ;−1 , D ; 1 .
ABCD est un parallélogramme donc d'après la définition vectorielle :

AC = 
AB
AD soit 
AB
AD−
AC = 0 donc A barycentre de  B ; 1 ,C ;−1 , D ; 1
3) Démontrer que 
AG = 2 k 
DB .
G barycentre de  A ; k  , B ; k 1 , C ; k −1 , D ;−3k1 donc :
k
GA k1 
GB k −1
GC −3k1
GD = 0
<=> k 
GAk 1
GAk 1
ABk −1
GAk −1
AC −3k1 
GA−3k 1
AD = 0
<=>  k k 1k −1−3k1
GA k 1
AB k −1
AC −3k1
AD = 0
<=> 
GAk 
AB
ABk 
AC −
AC −3k 
AD
AD = 0
<=> 
AG = k 
ABk 
AC −3k 
AD
car d'après la question 2, 
AB
AD−
AC = 0
Donc :
1S1
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DS n°4 - Correction

AG = k 
ABk 
AC −3k 
AD
<=> 
AG = k 
AB
AC −3
AD 
<=> 
AG = k 
AB
AC 3
DA




<=> AG = k  AB AB BC 2
DA
DA
<=> 
AG = k 2 
DA2 
AB
BC 
DA
<=> 
AG = k 2 
DA2 
AB= 2k 
DB
4) Quel est le lieu décrit par le point G lorsque k varie dans ℝ ?
D'après la question précédente, on en déduit que G décrit la droite parallèle à (BD) passant
par A.
Exercice 5 ( /3) – Alignements
ABC est un triangle du plan. A', B' et C' sont les milieux respectifs des segments [BC], [AC]
et [AB].
1
AD = 
AB .
On définit D par l'égalité vectorielle 
3
Démontrer que les droites (AA'), (B'C') et (CD) sont concourantes.
A' est le barycentre de (B;1) et (C;1).
B' celui de (A;1) et (C;1).
C' celui de (A;1) et (B;1).
D est le barycentre de (A;2) et (B;1).
Soit G le barycentre de (A;2),(B;1),(C;1) . Il existe car 2+1+1 est non nul.
Par associativité, G est donc le barycentre de (D;3),(C;1), donc G appartient à (CD).
De même, G est aussi le barycentre de (A;2) et (A';2), donc G est sur (AA').
Et pour finir, G est aussi par associativité le barycentre de (A;1),(A;1),(B;1),(C;1), donc de
(B';2) et (C';2), donc G est sur (B'C').
Donc G est le point d'intersection des trois droites, donc elles sont concourantes.
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Exercice 6 ( /6,5) - Problème
On considère un tétraèdre ABCD ; On note I le milieu de [AB] et J celui de [CD].
1)
IG 1
a) Soit G1 le barycentre de  A ; 1 ; B ; 1 ;C ;−1 ; D ; 1 . Exprimer 

G
en fonction de CD . Placer I, J et
1 sur une figure.
I est le barycentre de (A;1);(B;1), donc G1 est le barycentre de (I;2),(C;-1),(D;1).
Donc
2
G1 I −
G1 C
G 1 D = 0 <=> 2
G 1 I 
C G1
G 1 D = 0 <=> 2
G1 I 
CD = 0 <=> 2
I G1 = 
CD
1
I G1 = 
CD
et donc finalement 
2
b) Soit G2 le barycentre de  A ; 1 ; B ;1 ;  D ; 2 . Montrer que G2 est le
milieu du segment [ID]. Placer G2 .
Par théorème d'associativité, G2 est le barycentre de (I;2);(D;2), donc en tant
qu'isobarycentre des deux points I et D, c'est le milieu de [ID].
c) Démontrer que I G 1 D J est un parallélogramme. En déduire la position du point
G2 par rapport aux points G1 et J.
1
JD = 
CD , donc d'après 1), 
I G 1 =
JD donc
J étant le milieu de [CD], 
2
parallélogramme.
I G1 D J est un
2) Soit m un réel. On note G m le barycentre de  A ; 1 ; B ;1 ; C ; m−2;  D ; m .
a) Préciser l'ensemble E des valeurs de m pour lesquelles ce barycentre existe.
1+1+m-2+m=2m donc ce barycentre existe ssi m est différent de 0. Donc E = ℝ*
b) Démontrer que G m est dans le plan (ICD).
Par associativité, G m barycentre des 3 points (I;2);(C;m-2);(D;m), donc il est dans le plan
(ICD).
JG m est constant.
c) Démontrer que le vecteur m
Pour tout point M :
2m
MG m = 
MA
MBm−2
MCm
MD
en particulier pour M=J :
2M 
JG m = 
JA
JBm 
JC−2 
JCm
JD

JG m = 
JA
JB−2
JC qui ne
Or comme J est le milieu de [CD], JC
JD = 0 , donc 2m 
dépend donc plus de m et est constant.
1S1
Barycentre et calcul vectoriel
DS n°4 - Correction
d) En déduire l'ensemble des points G m lorsque m décrit l'ensemble E.
2m 
JG m = 
JA
JB−2 
JC
<=> 2m
JG m = 
JC 
CA
JC 
CB−2 
JC
<=> 2m
JG m = 
CA
CB
Soit E le point tel que AEBC est un parallélogramme. Alors 
CA
CB = 
CE et donc G m
décrit la droite parallèle à (CE) passant par J.