Première S. Devoir commun de Mathématiques

Première S. Devoir commun de Mathématiques
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants et est noté sur 20 points. Les questions
hors barème peuvent rapporter jusqu’à 3 points supplémentaires.
Dans chaque exercice, il est possible d’admettre un résultat précédemment donné dans le
texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le graphique de l’exercice 4 est à rendre avec la copie.
L’élève est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou
non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté
et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation
des copies.
Exercice 1 (4 points).
Partie A. Obligatoire :
Pour chacune des affirmations suivantes, numérotées de 1 à 8, dire si elle est vraie ou fausse.
Justifier la réponse. Aucun point ne sera attribué sans justification.
1°) La suite u définie par u n = −(n + 1) × (n + 2) × (n + 3) est strictement décroissante.
1
2°) La suite u définie par u 0 = 1 et u n+1 = 2 + 2 (n ≥ 0) est strictement croissante.
un
u n+1
3°) Si u est une suite à termes non nuls et si pour tout entier naturel n, on a
< 1, alors
un
u est strictement décroissante.
1 + 3n
4°) La suite u définie par u n =
est arithmétique.
4
5°) La somme des 100 premiers termes de la suite arithmétique de raison 5 et de premier
terme 3 est égale à 25300.
6°) La suite géométrique u vérifiant u 0 = −3 et u 21 = 6291456 a pour raison q = 2.
7°) Si u et v sont deux suites géométriques, alors la suite uv de terme général u n × v n est
géométrique.
8°) Toute suite géométrique de raison q > 1 et de premier terme non nul est strictement
monotone.
Partie B. Hors barème (2 points) :
Soit la suite u définie par u 0 = −3 et u n+1 = −
5u n + 6
(n ≥ 0).
2u n + 2
1°) Démontrer que la suite v de terme général v n =
Donner sa raison et son premier terme.
2u n + 3
est géométrique.
un + 2
2°) En déduire l’expression de v , puis celle de u en fonction de n.
1
Exercice 2 (3,5 points).
Rappel :
Dire qu’une fonction v est dérivable en un réel a de son domaine de définition signifie que
v (a + h) − v (a)
= v ′ (a) ∈ R.
h→0
h
p
1°) Soit v la fonction définie sur R+ = [0; +∞[ par v (x) = x.
1
Démontrer que pour tout réel a > 0, on a v ′ (a) = p .
2 a
2°) Application :
p
On note f la fonction définie par f (x) = (x 2 − 20) x.
On se propose de dresser le tableau de variations complet de cette fonction.
lim
a) Quel est le domaine de définition de f ? Justifier.
b) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
c) Calculer f ′ (x), puis étudier son signe.
d) En déduire le sens de variation de f sur son domaine de définition.
e) Conclure.
Exercice 3 (4 points).
Dans un repère orthogonal du plan, C f désigne la courbe représentative de la fonction f
définie sur R − {2} par
x 2 − 3x + 6
f (x) =
.
x −2
1°) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2°) Que peut-on en déduire pour la courbe C f ?
3°) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x 6= 2,
f (x) = ax + b +
c
.
x −2
4°) En déduire que la droite D d’équation y = x − 1 est asymptote oblique à la courbe C f en
+∞ et en −∞.
5°) Etudier la position relative de C f par rapport à D.
6°) Montrer que pour tout x 6= 2,
f ′ (x) =
puis étudier son signe.
x(x − 4)
,
(x − 2)2
7°) Dresser le tableau de variations complet de f .
8°) Hors barème (1 point) :
Donner l’approximation affine locale de f (x) pour x voisin de 3.
En déduire une valeur approchée de f (2, 9999).
2
NOM et Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 4 (3,5 points).
Sur le graphique ci-dessous :
– C f désigne la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur R − {1} ;
– ∆1 est asymptote verticale à C f en 1 et ∆2 est asymptote oblique à C f en +∞ et en −∞ ;
– T est la tangente à C f au point d’abscisse 2.
T
∆1
1
O
1
∆2
Cf
1°) Donner une équation de ∆1 . Déterminer une équation de ∆2 .
2°) En déduire les quatre limites de f aux bornes de son domaine de définition.
3°) Lire f (2) et f ′ (2). En déduire une équation de T.
3
4°) Sachant que f ′ (−3) = − , tracer sur le graphique la tangente à C f au point d’abscisse -3.
4
5°) Dresser le tableau de variations de f , puis le tableau de signes de f ′ (x).
3
Exercice 5 (5 points).
On se donne un triangle direct DEF rectangle en D et tel que DE = 3 et DF = 4. On note
– G le barycentre de (E, 4) et (F, 3) ;
– H le barycentre de (E, 4) et (F, −3) ;
−
→ 1 −→
– I le point défini par DI = DE ;
3
→ 4−
−
→
– J le point défini par EJ = EF.
5
1°) Sur une page entière qui sera complétée tout au long de l’exercice, tracer le triangle DEF
dans le quadrant supérieur gauche, puis placer les points G, H, I et J.
2°) On note E l’ensemble des points M tels que
−−→
−−→
−−→
−−→
(4ME + 3MF) · (4ME − 3MF) = 0.
L’objectif de cette question est de démontrer que E est le cercle C de diamètre [GH].
−−→ −−→
a) Expliquer pourquoi E est exactement l’ensemble des points M tels que MG · MH = 0.
b) Si M est un point de C distinct de G et H, quelle est la nature du triangle GMH ?
En déduire que tout point de C est aussi un point de E .
c) Montrer que pour tout point M, on a
−−→ −−→ −−→2 −−→2
MG · MH = MO − OG ,
où O désigne le milieu de [GH].
En déduire que tout point M de E est aussi un point de C .
d) Conclure, puis tracer E .
3°) Dans cette question, les coordonnées de points sont relatives au repère orthonormal
1 −→ 1 −→
(D; DE, DF).
3
4
a) Quelles sont les coordonnées des points D, E et F ?
b) Calculer les coordonnées des points G et H.
c) Utiliser les questions précédentes pour montrer que D est un point de E .
4°) L’objectif de cette question est de proposer une construction du point K, barycentre de
(D, 1) et (F, 2).
a) Exprimer I comme barycentre de D et E, puis J comme barycentre de E et F.
b) Démontrer que les droites (DJ), (EK) et (FI) sont concourantes.
c) Construire le point K.
4