Hauteur et barycentre d`un triangle de paramètre a : • Dans le

cô
té
a
Hauteur et barycentre d’un triangle de paramètre a :
• Dans le triangle grisé, Pythagore donne
a 3
a2 = htr2 + (a/2)2 ⇒ htr =
2
htr
//
f×htr
//
• Dans le triangle quadrillé, Pythagore donne
(f.htr)2 = (a/2)2 + (1-f)2htr2 ⇒ f = 2/3
a/
2
a/
2
(1-f)×htr
le barycentre d'un triangle équilatéral se trouve aux deux
tiers de ses hauteurs.
Diagonales d’un cube de paramètre a :
dface
• Dans le triangle grisé, Pythagore donne
dface2 = a2 + a2
⇒ d face = a 2
a
• Dans le triangle quadrillé, Pythagore donne
dcube2 = dface2 + a2
⇒ d cube = a 3
dcube
Hauteur et barycentre d’un tétraèdre de paramètre a : pour faciliter la visualisation du
tétraèdre (Td), il est pratique de l'inscrire dans un cube :
A
a
B
a
a/
√2
a
D
C
• Le segment AD est une hauteur du Td et l'application
du théorème de Pythagore au triangle ADE donne :
a2 = Htd2 + DE2
Comme D est le barycentre du triangle équilatéral BCE,
on a :
DE = 2/3 htr = 2/3 a √3/2
2
⇒ H td = a
3
a
E
F
• Les hauteurs du Td (AD par exemple) sont
confondues avec les diagonales du cube (AF) et se
coupent en son centre. La ½ diagonale du cube vaut
1 a
3 2 3
= H td
3= a
2 2
4 3 4
le barycentre d'un Td se trouve aux trois quarts de ses
hauteurs.