Dimensions caractéristiques d`un tétraèdre régulier

Dimensions caractéristiques d’un tétraèdre régulier
Soit un tétraèdre régulier de côté a.
On cherche à calculer les dimensions caractéristiques de ce tétraèdre, c’est-a-dire :
– la hauteur d’une face HC
– la hauteur du tétraèdre GD
– la position du point de percée de la hauteur du tétraèdre dans la face du bas (position de
G)
Ces dimensions sont reprises à la figure suivante :
2
Hauteur d’une face de tétraèdre
Le tétraèdre étant régulier, la hauteur d’une face est donnée par le théorème de Pythagore.
On a :
CA2 = CH 2 + AH 2
et dès lors
√
CH =
3
a
2
Position du point de percée de la hauteur du tétraèdre dans
la face du bas
Considérons le triangle CHD. Ce triangle est isocèle (car constitué de deux hauteurs de face).
Représentons ce triangle en vraie grandeur.
\ Soit α cet angle.
Calculons la valeur du cosinus de l’angle HCD.
3
Dans le triangle rectangle HM C, on a :
a
MC
cos α =
= √2
HC
3
a
2
En simplifiant, on trouve :
√
3
cos α =
3
En outre, dans le triangle rectangle DGC, on a :
cos α =
GC
GC
=
DC
a
Dès lors,
√
GC = a
√
3
Comme HC =
a, on a :
2
3
3
2
GC = HC
3
2
Cette dernière relation prouve que G est le centre de gravité de la face ABC, puisque situé au
3
de la médiane par rapport au sommet.
Hauteur du tétraèdre
La hauteur du tétraèdre est la distance GD. En appliquant le théorème de Pythagore dans
le triangle GCD, on a :
GD2 = DC 2 − GC 2
Avec les valeurs trouvées précédemment, on trouve
GD2 = a2 −
ou encore
a2
3
√
GD =
6
a
3
En résumé...
Les dimensions caractéristiques √
d’un tétraèdre régulier sont :
3
– la hauteur d’une face HC =
a
2√
6
– la hauteur du tétraèdre GD =
a
3
– la position du
√ point de percée de la hauteur du tétraèdre dans la face du bas (position de
3
G)= GC =
a
3