62 Triangle de Sierpinski Étapes de construction : • Étape 1 : On
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62 Triangle de Sierpinski Étapes de construction : • Étape 1 : On
62 b. Quelle fraction d'aire représente la partie hachurée, obtenue aux étapes 1, 2 et 3 ? Triangle de Sierpinski Étapes de construction : • Étape 1 : On construit un triangle équilatéral qu'on prend pour unité d'aire. • Étape 2 : On trace les trois segments joignant les milieux respectifs des côtés du triangle et on enlève le petit triangle central. Il reste trois petits triangles qui se touchent par leurs sommets dont les longueurs des côtés sont la moitié de celles du triangle de départ. • Étape 3 : On répète la deuxième étape avec chacun des petits triangles obtenus. • Étapes suivantes : On répète le processus. a. Construis sur ton cahier les triangles obtenus aux étapes 3 et 4 (on prendra 8 cm de côté pour le triangle équilatéral de départ). Etape 3 : À l'étape 1, tout le triangle est hachuré, la fraction hachurée est égale à 1. À l'étape 2, le grand triangle est partagé en quatre triangles égaux, dont trois sont 3 hachurés : la fraction d'aire hachurée est . 4 3 À l'étape 3, de l'aire précédente est 4 3×3 3 3 9 hachurée, donc × = = . 4×4 4 4 16 c. Même question pour l'étape 4, de deux façons différentes : en regardant le schéma puis en faisant un calcul. En regardant le schéma, on peut constater qu'il se « découpe » en 64 petits triangles, dont 27 sont hachurés. On peut calculer que trois quarts de l'aire précédente est hachurée, soit : 3 9 27 × = . 4 16 64 d. Sans construire le triangle, indique quelle fraction d'aire la partie hachurée représente à l'étape 5. On reprend le même calcul à partir de l'étape précédente : 3 ×27 3 27 81 × = = . 4 64 4 ×64 256 e. Et pour l'étape 8 ? On multiplie le résultat de l'étape 5 par trois quarts pour obtenir celui de l'étape 6, puis encore par trois quarts, deux autres fois : 3 3 3 81 3 ×3 ×3 × 81 2187 × × × = = . 4 4 4 256 4 ×4 × 4× 256 16 384 Etape 4 : CHAPITRE N2 - NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 63 64 Farandole de fractions On considère les fractions suivantes : 1 2 3 4 ; ; ; ;… 2 3 4 5 En comparant 2 à 2 a. Compare a. Complète cette suite logique par les trois fractions suivantes. On augmente le numérateur et le dénominateur de 1 à chaque étape. 1 2 3 4 5 6 7 ; ; ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 7 8 b. Ces fractions sont-elles plus petites ou plus grandes que 1 ? Justifie. Ces fractions sont plus petites que 1, car le numérateur est plus petit que le dénominateur. c. À l'aide de ta calculatrice, indique si ces fractions sont rangées dans l'ordre croissant ou décroissant. On constate qu'elles sont rangées dans l'ordre croissant en comparant les valeurs approchées qui sont, arrondies au centième : 0,5 ; 0,67 ; 0,75 ; 0,8 ; 0,83 ; 0,86 ; 0,88. On considère maintenant les fractions : 3 4 5 6 ; ; ; ;… 2 3 4 5 d. Réponds aux questions a., b. et c. pour cette nouvelle suite. Suite logique : 3 4 5 6 7 8 9 ; ; ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 7 8 Ces fractions sont plus grandes que 1, car le numérateur est plus grand que le dénominateur. On constate qu'elles sont rangées dans l'ordre croissant en comparant les valeurs approchées qui sont, arrondies au centième : 1,5 ; 1,33 ; 1,25 ; 1,2 ; 1,17 ; 1,14 ; 1,13. e. En écrivant les fractions de ces deux suites sous forme décimale, que remarques-tu (on arrondira au centième quand c'est nécessaire) ? On réduit au même dénominateur : 2×3 6 5 2 2 = = . Donc > . 3×3 9 9 3 3 5 1 et . 12 4 On réduit au même dénominateur : b. Compare 1×3 4 1 5 1 = = . Donc < . 4×3 12 4 12 4 5 5 et . 12 9 Les numérateurs sont égaux, donc la fraction la plus grande est celle qui possède le plus petit dénominateur : 5 5 < . 12 9 c. Compare d. En utilisant les trois questions précédentes, 1 2 compare et . 4 3 1 5 5 5 5 2 < ; < et < . 4 12 12 9 9 3 1 2 Donc < . 4 3 65 Addition de deux fractions a. Complète : EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 5 ... ... 3 = et = . 6 12 12 4 5 3 9 10 = et = . 6 12 4 12 b. À l'aide de la question a., calcule : 5 10 9 19 3 + = + = . 6 4 12 12 12 On remarque que les suites se rapprochent de 1. NOMBRES 5 2 et . 9 3 - CHAPITRE N2 5 3 . 6 4 66 Avec le tableur a. Dans un tableur, reproduis la feuille de tableur ci-dessous. A B C 1 Fraction 1 Frac tion 2 Fraction 3 2 1/3 1/3 1/3 D Total e. Écris de nouvelles fractions dans les cellules A2, B2 et C2 de sorte que leur somme soit égale à 1 et qu'elles correspondent aux diagrammes ci-dessous. b. Avant de les remplir, sélectionne les cellules A2, B2 et C2, puis effectue un clic droit. Dans Formater les cellules, choisis Nombres puis Fraction. c. Dans la cellule D2, programme une formule permettant de calculer la somme des nombres en A2, B2 et C2. Formule : =A2+B2+C2 1 1 1 4 4 2 1 3 3 4 8 8 ou : =SOMME(A2;B2;C2) ou =SOMME(A2:C2) d. Sélectionne l'ensemble des cellules A1, B1, C1, A2, B2, C2. Dans Insertion, choisis Diagramme puis Secteur. On obtient un disque partagé en trois parts égales comme ceci : Fraction 1 Fraction 2 Fraction 3 3 1 1 8 8 2 3 1 1 4 8 8 CHAPITRE N2 - NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE