Fractions (1)

Fractions (1)
Rappels
Soient a et b deux nombres avec b différent de zéro.
a
est l’écriture fractionnaire du quotient de a par b .
b
numérateur
a
b
dénominateur
L’écriture fractionnaire
Exemples
a
est appelée fraction lorsque a et b sont deux nombres entiers.
b
1 7 1, 2
3,18
1
7
, ,
et
sont des écritures fractionnaires mais seuls
et
sont des fractions.
2 3 10
5, 7
2
3
I. Quotients égaux
1. Règle
Propriété
Un quotient ne change pas lorsqu’on multiplie (ou lorsqu’on divise) son numérateur et son
dénominateur par un même nombre non nul.
Pour tous nombres a , b et k (avec b et k non nuls) :
Exemples
a a×k
=
b b×k
et
a a÷k
=
b b÷k
4 4 × 5 20
35 35 ÷ 7 5
=
=
=
=
3 3 × 5 15
28 28 ÷ 7 4
3
3 ×10
30 30 ÷ 2 15 15 ÷ 3 5
=
=
=
=
=
=
5, 4 5, 4 × 10 54 54 ÷ 2 27 27 ÷ 3 9
2. Applications
a. Simplifier une fraction
C’est-à-dire trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers plus
petits.
Méthode
Pour simplifier une fraction, on cherche un nombre qui soit un diviseur du numérateur et du
dénominateur (autre que 1).
Exercice
Simplifier au maximum les fractions
30 42 150 110
198
,
,
,
et
.
45 126 50 99
312
30 30 ÷ 5 6 6 ÷ 3 2
42
42 ÷ 2 21 21 ÷ 7 3 3 ÷ 3 1
=
= =
=
=
=
=
= =
=
45 45 ÷ 5 9 9 ÷ 3 3
126 126 ÷ 2 63 63 ÷ 7 9 9 ÷ 3 3
150 150 ÷ 50 3
110 110 ÷ 11 10
=
= =3
=
=
50
50 ÷ 50 1
99
99 ÷ 11 9
198 198 ÷ 2 99
99 ÷ 3 33
=
=
=
=
312 312 ÷ 2 156 156 ÷ 3 52
b. Mettre des fractions au même dénominateur
C’est-à-dire les écrire sous forme de fractions ayant toutes le même dénominateur.
Exercice
Mettre
8
2
et
au même dénominateur.
15 3
2 2 × 5 10
=
=
3 3 × 5 15
4 6
31
, et
au même dénominateur.
3 5
30
4 4 × 10 40
=
=
3 3 × 10 30
Mettre
6 6 × 6 36
=
=
5 5 × 6 30
c. Transformer un quotient de « nombres à virgule » en fraction.
Exercice
0, 2 1, 43
2
,
et
1, 5 2,1
0,123
1, 43 1, 43 × 100 143
=
=
2,1
2,1×100 210
Ecrire sous forme de fractions les quotients
0, 2 0, 2 × 10 2
=
=
1,5 1,5 × 10 15
2
2 × 1000
2000
=
=
0,123 0,123 × 1000 123
d. Diviser par un nombre décimal
Méthode
Pour diviser par un nombre décimal, on écrit le quotient sous forme fractionnaire puis on cherche
un quotient égal qui a un dénominateur entier.
Exercice
Effectuer les calculs suivants.
5, 24 ÷ 1,8
5, 24 ÷ 1,8 =
5
- 3
1
- 1
5, 24 5, 24 × 10 52, 4
=
=
1,8
1,8 × 10
18
2, 4
1 8
6
2, 9 1 1
6 4
6 2
2 0
- 1 8
2 0
- 1 8
2
Donc 5, 24 ÷ 1,8 ≈ 2, 911
381,3 ÷ 0,15
381,3 ÷ 0,15 =
381,3 381, 3 × 100 38130
=
=
0,15
0,15 × 100
15
3 8 1 3 0 1 5
- 3 0
2 5 4 2
8 1
- 7 5
6 3
- 6 0
3 0
- 3 0
0
Donc 381,3 ÷ 0,15 = 2542
II. Comparaison de fractions
(« Comparer deux nombres » signifie déterminer si l’un est plus grand que l’autre.)
Règle 1
numérateur.
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand
7 9
<
11 11
Exemples
7 5
>
4 4
Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit
Règle 2
dénominateur.
11 11
<
12 9
Exemples
Règle 3
15 15
>
3
4
Si le numérateur est égal au dénominateur alors la fraction est égal à 1.
Si le numérateur est inférieur au dénominateur alors la fraction est inférieure à 1.
Si le numérateur est supérieur au dénominateur alors la fraction est supérieure à 1.
Autrement dit, pour tous nombres a et b et (avec b non nul) :
11
<1
12
34
>1
31
Exemples
a
=1 ;
b
a
Si a < b alors < 1 ;
b
a
Si a > b alors > 1 .
b
Si a = b alors
car 11<12.
car 34>31.
Méthode
Pour comparer deux fractions :
Si les règles 1 et 2 (même dénominateur ou même numérateur) ne s’appliquent pas, on peut :
a) comparer les fractions à 1 (à l’aide de la règle 3) ;
b) réduire les fractions au même dénominateur et appliquer la règle 1 ;
c) effectuer les divisions et comparer les écritures décimales.
Exemples
13 27
<
14 25
13 4
>
b)
15 5
2 3
c) <
3 4
a)
13
27
<1<
(règle 3).
14
25
4 4 × 3 12
car =
=
(règle 1).
5 5 × 3 15
2
3
car ≈ 0, 67 et = 0, 75
3
4
car
III. Proportion
Exemples
i Dans 100 g d’une confiture, il y a 60 g de sucre.
60
La proportion de sucre dans cette confiture est
soit 60 %.
100
i Sur un échiquier, la moitié des cases sont noires.
1
;
On dit aussi que
- la proportion de cases noires est
2
- 1 case sur 2 est noire ;
1 1× 50 50
- 50 % des cases sont noires (car =
=
).
2 2 × 50 100
i Dans un collège de 720 élèves, 480 sont demi-pensionnaires.
480
2
La proportion d’élèves demi-pensionnaires est
soit
720
3
480 480 ÷ 10 48 48 ÷ 8 6 6 ÷ 3 2
=
=
=
= =
= ).
(car
720 720 ÷ 10 72 72 ÷ 8 9 9 ÷ 3 3
2 élèves sur 3 sont donc demi-pensionnaires.
i Dans une classe de 25 élèves, il y a 14 filles.
14
La proportion de filles dans cette classe est
.
25
14 14 × 4 56
=
=
Il y a donc 56 % de filles dans cette classe.
25 25 × 4 100
Propriété
On a
« Fraction de… »
a
a×c
c
×c =
= a×
b
b
b
Exemple
Un midi, sur 120 demi-pensionnaires, les
3
3 × 120 360
× 120 =
=
= 90
4
4
4
Propriété
Soient a , b et c trois nombres (avec b non nul).
a
a
Prendre
de c , c’est multiplier par c .
b
b
3
ont mangé une pomme.
4
Il y a donc 90 élèves qui ont mangé une pomme.
Soient a et b deux nombres
Prendre a % de b , c’est multiplier
a
par b .
100
Exemple
Dans une bibliothèque, 82 % des 1100 inscrits ont moins de 30 ans.
82
1100
× 1100 = 82 ×
= 82 ×11 = 902
902 inscrits ont donc moins de 30 ans.
100
100