barycentre, produit scalaire

Ch04 : Barycentre et produit scalaire
1re ST I
2006/2007
BARYCENTRE, PRODUIT SCALAIRE
Table des matières
I
Barycentre
I.1 Barycentre de deux points pondérés
I.2 Caratérisations du barycentre . . . .
I.3 Propriétés du barycentre . . . . . . .
I.4 Barycentre de 3 points et plus . . . .
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1
1
2
3
3
II Produit scalaire
II.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 Expression analytique . . . . . . . . . . . . .
II.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4 Cosinus et projection orthonormale . . . . . .
II.5 Applications du produit scalaire . . . . . . . .
II.5.1 Equation d’une droite . . . . . . . . .
II.5.2 Equation d’un cercle . . . . . . . . . .
II.5.3 Formules d’Al Kaschi . . . . . . . . .
II.5.4 Formules d’addition et de duplication
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4
4
5
5
6
6
6
7
7
8
⋆
I
⋆
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⋆
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⋆
⋆ ⋆
Barycentre
Exercice de motivation :
sachant que la balance suivante est en équilibre, quel est le poids de M ?
150 kg
M
6m
I.1
2m
Barycentre de deux points pondérés
Définition 1
On appelle barycentre de deux points pondérés (A, α) et (B, β) avec α + β 6= 0 le point G tel que :
−→
−−→ −
→
αGA + β GB = 0
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1re ST I
Ch04 : Barycentre et produit scalaire
2006/2007
Exemple 1
Soit [AB] un segment, constuire le barycentre G de (A, 3) et (B, 2)
−→
−−→ −
→
➔ Le point G vérifie : 3GA + 2GB = 0
➔ Grâce à la relation de Chasles, on obtient :
−→
−→ −−
→
−
→
3GA + 2(GA + AB) = 0
−→
−
−
→
5GA = −2AB
−→
−
−
→
➔ AG = 25 AB
A
G
B
Remarque 1
• Physiquement, G est le point d’équilibre de la balace [AB] munie des masses α et β
• Mathématiquement, la notion est étendure à des coefficients qui peuvent être négatifs
• En mécanique, le barycentre peut aussi s’appeler le centre d’inertie, le centre de gravité ou le centre de masse
Pour toute la suite, on se place dans le cas où α + β 6= 0
cas particuliers :
• Si α = β, G s’appelle l’isobarycentre du système : c’est le mileu du segment [AB]
−−→ −
→
• Si α = 0 et β 6= 0,on a β GB = 0 d’où G = B
−→ −
→
• Si β = 0 et α 6= 0,on a αGA = 0 d’où G = A
Exemple 2
Solution de l’exercice de motivation :
−→
−−→ −
→
➔ M GA + 150GB = 0
−→
−−→
➔ or, GA = −3GB donc :
−−→
−
−→ −
→
−3M GB + 150GB = 0
−−→ −
→
(−3M + 150)GB = 0
−3M + 150 = 0
➔ M = 50 kg
I.2
A(M )
B(150)
G
6
2
Caratérisations du barycentre
Théorème 1
G est le barycentre des points (A, α) et (B, β) si, et seulement si pour tout M du plan on a :
−−→
−−→
−−→
αM A + β M B = (α + β)M G
Démonstration :
G est le barycentre des points (A, α) et (B, β) donc, on a :
−→
−−→ −
→
αGA + β GB = 0
on utilise la relation de Chasles :
−−→ −−→
−−→ −−→
−
→
α(GM + M A) + β(GM + M B) = 0
d’où :
−−→
−−→
−−→ −
→
αM A + β M B + (α + β)GM = 0
−−→
−−→
−−→
αM A + β M B = (α + β)M G
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1re ST I
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2006/2007
Théorème 2
G est le barycentre des points (A, α) et (B, β) si, et seulement si :
−→
AG =
−→
β −
AB
α+β
Exemple 3
On reprend l’exemple 1 :
−→
→ 2−
−
→
2 −−
➔ AG =
AB = AB
2+3
5
I.3
Propriétés du barycentre
Propriété 1
Le barycentre de deux points reste inchangé lorsqu’on multiplie tous les coefficients par un même
nombre non nul.
Exemple 4
Soit G le barycentre des points (A, 34 ) et (B, − 21 ), alors :
➔ G est le barycentre des points (A, 3) et (B, −2)
➔ G est le barycentre des points (A, −300) et (B, 200)
→
→
On se place dans le plan muni d’un repère (O; −
ı ;−
)
Propriété 2
♦ Le barycentre de deux points (A, α) et (B, β) appartient à la droite (AB)
αxA + βxB αyA + βyB
♦ Le barycentre de deux points (A, α) et (B, β) a pour coordonnées
;
α+β
α+β
Exemple 5
Soient A(1; 3) et B(4; 1). Calculer les coordonnées de G, barycentre de (A, −1) et (B, 2)
−1 × 1 + 2 × 4 −1 × 3 + 2 × 1
➔ G
;
−1 + 2
−1 + 2
➔ G(7 ; −1)
I.4
Barycentre de 3 points et plus
Définition 2
On appelle barycentre de trois points pondérés (A, α) , (B, β) et (C, γ) avec α + β + γ 6= 0 le point
G tel que :
−→
−−→
−−→ −
→
αGA + β GB + γ GC = 0
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Ch04 : Barycentre et produit scalaire
1re ST I
2006/2007
Exemple 6
Soient A, B et C, trois points du plan. Constuire barycentre G de (A, 2), (B, −1) et C(−2)
➔ Le point G vérifie :
−→ −−→
−−
→ −
→
2GA − GB − 2GC = 0
G
C(−2)
➔ Grâce à la relation de Chasles, on obtient :
−→
−→ −
−
→
−→ −→
−
→
2GA − (GA + AB) − 2(GA + AC) = 0
−→ −
−
→
−→
−GA = AB + 2AC
−→ −
−
→
−→
➔ AG = AB + 2AC
A(2)
B(−1)
Théorème 3
G est le barycentre de trois points pondérés (A, α) , (B, β) et (C, γ) avec α+β +γ 6= 0 si et seulement
si
−−→
−−→
−−→
−−→
αM A + β M B + γ M C = (α + β + γ)M G
Exemple 7
Résoudre l’exercice 6 en utilisant le théorème 3
➔ On choisit par exemple M = A et on obtient :
−→ −−
→
−→
−→
➔ 2AA − AB − 2AC = (2 − 1 − 2)AG
−→ −
−
→
−→
➔ AG = AB + 2AC
II
II.1
Produit scalaire
Définition
Définition 3
→
→
→
→
Soient −
u et −
v deux vecteurs du plan, le produit scalaire de −
u et de −
v est le nombre défini par :
1 −
2
2
2
−
→
→
→
→
→
u .−
v =
||→
u +−
v || − ||−
u || − ||−
v ||
2
p
→
→
Rappel : La norme d’un vecteur −
u (x; y) vaut : ||−
u || = x2 + y 2
Exemple 8
→
→
Soient −
u (1; 1) et −
v (3; 2) deux vecteurs du plan, calculer leur produit scalaire
−
→
2
➔ || u || = 12 + 12 = 2
→
➔ ||−
v ||2 = 32 + 22 = 13
1+3
4
→
→
➔ −
u +−
v
=
1+2
3
−
→
−
→
2
2
2
➔ || u + v || = 4 + 3 = 25
→
→
➔ −
u .−
v = 12 (25 − 2 − 13) = 5
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Ch04 : Barycentre et produit scalaire
1re ST I
II.2
2006/2007
Expression analytique
→
→
On se place dans un repère orthonormé du plan (O; −
ı ;−
)
4
′
Définition
x
x
−
→
−
→
→
→
Soient u
et v
deux vecteurs du plan, le produit scalaire de −
u et de −
v le réel défini par :
y
y′
−
→
→
u .−
v = xx′ + yy ′
Exemple 9
→
→
Soient −
u (1; 1) et −
v (3; 2) deux vecteurs du plan, calculer leur produit scalaire
−
→
−
→
➔ u.v =1×3+1×2=5
Remarque 2
2
2
→
→
→
→
→
• −
u .−
u = x2 + y 2 = ||−
u || , on notera parfois ||−
u || = −
u2
−
→
−
→
• Si l’un des deux vecteurs u ou v est nul, alors le produit scalaire est nul
→
→
→
→
• La réciproque est fausse : −
u .−
v = 0 n’implique pas nécessairement −
u = 0 ou −
v =0
Exemple 10
→
→
Soient −
ı (1; 0) et −
 (0; 1), on a :
−
→−
→
➔ i .j =1×0+0×1=0
II.3
−
→ −
→
−
→
et pourtant, ni i ni j ne sont égaux à 0
Propriétés
Propriété 3
−
→
→
→
u, −
v et −
w sont trois vecteurs et λ est un réel
→
→
→
→
♦ Commutativité : −
u .−
v =−
v .−
u
→
→
→
→
♦ Linéarité : (λ−
u ).−
v = λ−
u .−
v
−
→
−
→
−
→
→
→
→
→
♦ Distibutivité : u .( v + w ) = −
u .−
v +−
u .−
w
Exemple 11
−
−
→ −−→ −→−−→
Soient A, B et C trois points du plan, simplifier AB.BD − AC BD
−−
→ −−→ −→ −−→
−
−
→ −−→ −→ −−→
➔ AB.BD − AC.BD = AB.BD + CA.BD
−
−
→ −→ −−→
= (AB + CA).BD
−−→ −−→
= CB.BD
Propriété 4
→
→
→
→
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux et on note −
u ⊥−
v si et seulement si −
u .−
v =0
Exemple 12
→
→
→
On considère les trois vecteurs −
u (3; 2), −
v (−1; 32 ) et −
w (0, −1). Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ?
−
→
−
→
3
➔ u . v = 3 × (−1) + 2 × 2 = 0
→
→
donc, −
u et −
v sont orthogonaux
−
→
−
→
➔ u . w = 3 × 0 + 2 × (−1) = −2
→
→
donc, −
u et −
w ne sont pas orthogonaux
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Ch04 : Barycentre et produit scalaire
1re ST I
II.4
2006/2007
Cosinus et projection orthonormale
Théorème 4
−
→
→
→
→
→
→
u .−
v = ||−
u || × ||−
v || × cos(−
u,−
v)
Exemple 13
→
→
Soient −
u (4; 0) et −
v (3; 3) deux vecteurs du plan, calculer leur produit scalaire
→
➔ ||−
u || = 4
√
√
−
→
➔ || v || = 32 + 32 = 3 2
→
→
➔ (−
u,−
v ) = 45˚= π
➔
−
→
→
u .−
v
3
4
→
→
→
→
= ||−
u || √
× ||−
v || × cos(−
u,−
v)
× cos( π4 )
= 4 × 3 2√
√
= 12 2 × 22
−
→
v
2
1
−
→
u
π
4
→
→
➔ −
u .−
v = 12
1
2
3
4
Théorème 5
Soient trois points A, B et C et H le projeté orthogonal de B sur (OA), alors :
−→ −−→
OA.OB = OA × OH
Exemple 14
On reprend l’exemple 13 précédent
−→ → −−→
→
➔ On pose −
u = OA et −
v = OB
−
→
−
→
➔ u . v = OA × OH
→
→
➔ −
u .−
v = 4 × 3 = 12
II.5
II.5.1
B
3
2
1
H A
0
1
2
3
4
Applications du produit scalaire
Equation d’une droite
→
→
Dans un repère orthonormé (O; −
ı ;−
 ) on cherche à determiner une équation de la droite ∆ dont la
→
direction est orthogonale au vecteur −
n (a; b) passant par le point A(xA ; yA )
R
−−→ →
M (x; y) appartient à la droite ∆ si et seulement si AM .−
n =0
on a donc une équation de la droite ∆ de la forme :
Equation d’une droite : (x − xA ) × a + (y − yA ) × b = 0
Exemple 15
→
→
Dans un repère orthonormé (O; −
ı ;−
 ), on considère les points A(2; 1), B(0; 1) et C(1; 3)
Déterminer une équation de la droite d passant par le point A et perpendiculaire à la droite (BC)
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Ch04 : Barycentre et produit scalaire
1re ST I
2006/2007
−−→
➔ BC(1; 2)
−−→ −−→
➔ M (x; y) appartient à la droite d si et seulement si AM .BC = 0
➔ (x − 2) + 2(y − 1) = 0
➔ d : x + 2y − 4 = 0
II.5.2
Equation d’un cercle
→
→
Dans un repère orthonormé (O; −
ı ;−
 ), on cherche à déterminer une équation d’un cercle C de centre
Ω(x0 ; y0 ) et de rayon r > 0.
R
M (x; y) appartient au cercle C si et seulement si ΩM 2 = r 2 .
on a donc une équation du cercle C du genre :
Equation d’un cercle : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2
Exemple 16
Déterminer une équation du cercle C de centre Ω(3; 1) de rayon 2
➔ M (x; y) appartient au cercle C si et seulement si ΩM 2 = 22
➔ (x − 3)2 + (y − 1)2 = 4
II.5.3
Formules d’Al Kaschi
On considère un triangle ABC quelconque de côtés AB = c, BC = a et CA = b
Connaissant b et c, peut-on calculer a ?
R
−−→
a2 = BC 2 = ||BC||2
Par la relation du Chasles, on obtient :
−−
→ −→
a2 = ||BA + AC||2
−−
→ −→ −−→ −→
= (BA + AC).(BA + AC)
−−
→ −−
→ −
−→ −→ −→ −−
→ −→ −→
= BA.BA + BA.AC + AC.BA + AC.AC
−−
→ 2
−−→ −→
−→ 2
= ||BA|| + 2BA.AC + ||AC||
−−
→
−−
→ −→
−−
→ −→
−→
= ||BA||2 + 2||BA||||AC|| cos(BA; AC) + ||AC||2
−−
→ −→
a2 = c2 − 2cb cos(AB; AC) + b2
C
b
a
b
A
A
B
c
b
Formule d’Al Kaschi : a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Exemple 17
b = 70˚. Calculer BC
On considère le triangle ABC de mesures AB = 4 cm, AC = 3 cm et A
C
➔
BC
2
b
= AC + AB − 2 × AC × AB × cos A
2
2
= 3 + 4 − 2 × 3 × 4 × cos(70˚)
= 25 − 24 cos(70˚)
= 16, 79
2
2
3 cm
➔ BC = 4, 1 cm
70˚
A
B
4 cm
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Ch04 : Barycentre et produit scalaire
1re ST I
II.5.4
2006/2007
Formules d’addition et de duplication
→
→
Soit
trigonométrique
de centre O muni d’un repère (O; −
ı ;−
)
C, lecercle cos a
cos b
A
et B
sont deux points de ce cercle
sin a
sin b
Peut-on établir une formule calculant cos(a − b) en fonctions du cosinus et du sinus de a et de b ?
A
sin a
B
sin b
a-b
a
b
0
cos acos b
R
R
On a d’une part :
−−→ −→
−−→ −→
OB.OA = OB × OA × cos(OB; OA)
−−→ −→
OB.OA = cos(a − b)
Et d’autre part :
−−→ −→
−
→ × x−→ + y−
−
→ × y−→
OB.OA = x−
OB
OA
OB
OA
−−→ −→
OB.OA = cos b cos a + sin b sin a
Formules d’addition :
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Exemple 18
Simplifier l’expression suivante : f (x) = cos(5x) cos(3x) + sin(5x) sin(3x)
➔ f (x) = cos(5x − 3x) = f (x) = cos(2x)
Exemple 19
π
π
7π
En remarquant que 7π
12 = 3 + 4 , calculer sin 12
➔ sin( 7π
= sin( π3 + π4 )
12 )
π
π
π
= sin(
) cos( π4 ) + cos(
3 ) sin( 4 )
√ 3 √
√
3
2
1
2
= 2 × 2 +2× 2
√ √
2
➔ sin( 7π
12 ) = 4 ( 3 + 1)
Formules de duplication :
sin(2a) = 2 sin a cos a
cos(2a) = cos2 a − sin2 a
cos(2a) = 2 cos2 a − 1
cos(2a) = 1 − 2 sin2 a
Exemple 20
En remarquant que 2 × π8 = π4 , calculer cos( π8 )
➔ cos(2 × π8 ) = 2 cos2 ( π8 ) − 1
➔ cos( π4 ) = 2 cos2 ( π8 ) − 1
➔
√
2
2
= 2 cos2 ( π8 ) − 1
➔ cos2 ( π8 ) =
√
2
2 +1
2
√
➔ cos2 ( π8 ) = 2+2
q √4
2+2
π
➔ cos( 8 ) =
4
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