corrig de Centrale 2004 physique I PC

Corrigé de Centrale-Supélec 2004 PC PHYSIQUE I
Marées océaniques
Partie I - Théorie statique des marées
I.A - Définition de la force de marée
JJG
G
G
G
kM ATA
I.A.1) aT /( R0 ) = G (T ) = ∑
est égal au champ gravitationnel G (T ) créé au centre T de la Terre par les
3
TA
A
astres ( A ) autres que la Terre, essentiellement le Soleil et le Lune.
I.A.2) Soit H la projection de P sur l’axe de rotation de la Terre ; P décrit dans ( RT ) un mouvement circulaire
JJJG
G
uniforme de centre H : aP /(RT ) = −Ω2 HP .
JJJG G
G
G
G
La composition des accélérations donne : aP /(R0 ) = aP /(RT ) + aT /(R0 ) = −Ω2 HP + G (T ) .
La loi fondamentale de la dynamique s’écrit :
G
G
G
G
G
G
G
JJJG G G
G
ma P /(R0 ) = mG (P ) + mGT (P ) + f ⇒ m (G (P ) − G (T )) + mGT (P ) + mΩ2 HP + f = 0 , où GT (P ) est le champ
gravitationnel de la Terre en P .
G
JJJG
G
I.A.3) Le terme mGT (P ) + mΩ2 HP = mg ne varie pas au cours du temps ; c’est le poids ;
G
G
JJJG
G
g = X ( P ) = GT ( P ) + Ω2 HP est l’accélération de la pesanteur.
G
G
Le terme m (G (P ) − G (T )) varie au cours du temps à cause du mouvement des astres dans (Rsol ) ; c’est la force de
G
marée m ∑ C AT (P ) .
A
I.B - Calcul de la force de marée
Démontrons l’expression donnée (calcul non demandé) de
G
C AT (P ) , sans supposer TP = RT (ce qui est préférable pour la
suite) :
JJJG
JJG
⎛ PA
G
TA ⎞⎟⎟
⎜
(
)
⎜
C AT P = kM A ⎜ 3 −
⎟
⎝ PA
TA3 ⎠
JJJG JJG JJJG
PA = TA − TP
PA2 = TP 2 + TA2 − 2 ⋅ TA ⋅ TP ⋅ cos ZˆA
Développons jusqu’à l’ordre 1 en TP /TA
−3 / 2
⎛
⎞
⎛
⎞
TP
TP
= TA−3 ⎜⎜1 + 3
PA−3 = TA−3 ⎜⎜1 − 2
cos ZˆA + ...⎟⎟⎟
cos ZˆA + ...⎟⎟⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
TA
TA
JJG JJJG
JJG
JJG
JJJG
⎡
⎤
⎡
⎤
G
TA − TP TA ⎥
⎢− TP + 3 TP ⋅TA cos Zˆ + ...⎥
C AT (P ) = kM A ⎢⎢
kM
−
=
A
A
3
⎢⎣ TA3
⎥⎦
TA3 ⎥⎦
TA4
⎣ PA
G
kM A
G
G
G
soit en projetant sur les axes : C AT (P ) =
2xex − yey − zez ) .
3 (
TA
G
(
)
C
P
à la surface de (T ) a lieu en P1 ; il vaut
I.B.1) Le maximum de GLT
GT (P )
3
3
⎛R ⎞
⎜ T ⎟⎟ = 2 ⎜⎛ 6, 4 ⎞⎟⎟ = 1, 2 × 10−7 .
⎝⎜TL ⎠⎟
81 ⎝⎜ 380 ⎟⎠
G
I.B.2) Ci-contre est représenté C AT aux quatre points
demandés. En module, le terme de marée est le même en P1 et P3
et il vaut moitié moins en P2 et P4 .
I.B.3) Si VAT existe, il satisfait à
G
G
G
JJJJG
dVAT = gradP (VAT (P )) ⋅ dP = −C AT (P ) ⋅ dP
2kM L RT
TL3
M
kMT
=2 L
2
RT
MT
P2
P3
(A)
T
P1
P4
kM A
=
(−2xdx + ydy + zdz )
TA3
On en déduit que VAT existe et que VAT =
kM A
(−2x 2 + y 2 + z 2 ) (à une constante additive près).
2TA3
I.B.4) x = TP cos ZˆA et y 2 + z 2 = TP 2 − x 2 montrent que
−2x 2 + y 2 + z 2 = TP 2 − 3x 2 = TP 2 (1 − 3 cos2 ZˆA )
k ⋅ M A ⋅ TP 2
(1 − 3 cos2 ZˆA )
2 ⋅ TA3
I.C - Modèle statique de la marée océanique
I.C.1) Selon la loi fondamentale de la statique des fluides, le gradient de la pression p au point M est égal à la force
G
G ⎞
JJJJG
⎛G
volumique autre que celle de pression : gradp = µ ⎜⎜ g + ∑ C AT ⎟⎟⎟ . Pour un petit déplacement dM du point M , la
⎝
⎠
A
G
G ⎞
G
JJJJG
⎛G
variation de pression est dp = gradp ⋅ dM = µ ⎜⎜ g + ∑ C AT ⎟⎟⎟ ⋅ dM . Comme la surface de l’Océan est isobare,
⎝
⎠
A
G
l’ensemble des déplacements dM tangents à sa surface doit être tel que dp = 0 , donc tous ces déplacements sont
G
G
G
G
perpendiculaires à g + ∑ C AT : g + ∑ C AT est normal à la surface de l’Océan.
VAT =
(1)
A
A
I.C.2) A la surface de l’Océan,
G
G
G
µ g + ∑ C AT ⋅ dM = 0
(
A
)
G
JJJJG
JJJJG
−grad (gz ) − ∑ gradVAT ⋅ dM = 0
(
A
)
gz + ∑VAT = cste
A
kMT
k ⋅ M A ⋅ TP 2
(1 − 3 cos2 ZˆA ) = cste
ξ
+
∑
RT2
2 ⋅ TA3
A
ξ=∑
A
k ⋅ M A ⋅ RT2
(3 cos2 ZˆA − 1) + cste
3
2 ⋅ g ⋅ TA
ξ=∑
A
M A ⋅ RT4
(3 cos2 ZˆA − 1) + cste
3
⋅
⋅
2 MT TA
4
3 × (6, 4 × 106 )
3 ⋅ M L ⋅ RT4
= 0, 57 m
=
3
2 ⋅ MT ⋅TL3
2 × 81 × (3, 8 × 108 )
si la Lune passe par le zénith.
Il y a environ deux marées hautes et deux marées basses par jour, car les astres ne se meuvent que peu en un jour
dans le référentiel géocentrique, ils font environ un tour en un jour dans le référentiel terrestre et cos2 ZˆA passe par un
minimum nul et un maximum égal à 1 deux fois par jour.
∆ξL =
4
∆ξS =
3 × 3, 3 × 105 × (6, 4 × 106 )
3 ⋅ M S ⋅ RT4
=
= 0, 25 m
3
2 ⋅ MT ⋅TS 3
2 × (1, 5 × 1011 )
I.C.3) Si T , L et S (pleine lune ou nouvelle lune) sont alignés, cos2 ZˆS = cos2 ZˆL et le marnage est maximum ; il
vaut ∆ξVE = ∆ξL + ∆ξS = 0, 82 m .
Si TL ⊥ TS (premier ou dernier quartier), cos2 Zˆ = 1 − cos2 Zˆ et le marnage est minimal ; il vaut
S
L
∆ξME = ∆ξL − ∆ξS = 0, 32 m .
Le Soleil est dans le plan de l’Equateur aux équinoxes, donc les marées de vives eaux sont plus fortes à ce moment.
Partie II - Ondes de gravité dans un bassin de faible profondeur
II.A - Équations constitutives
∂vy
∂vy ∂vx
∂vx
=0,
−
= 0 . Les deux
II.A.1) L’hypothèse H - II - 8, compte tenu de vz = 0 , s’écrit
= 0 et
∂z
∂z
∂x
∂y
G
premières équations montrent que v ne dépend pas de z .
II.A.2) La colonne d’océan d’axe vertical, de section droite rectangulaire dx ⋅ dy infinitésimale s’étendant depuis le
fond jusqu’à la surface libre, a pour volume (H + ξ ) ⋅ dx ⋅ dy ;
Le débit sortant de volume à travers ses faces parallèles à Oyz est
(H + ξ (x + dx )) ⋅ dy ⋅ vx (x + dx ) − (H + ξ (x )) ⋅ dy ⋅ vx (x ) =
∂ [(H + ξ ) vx ]
∂x
⋅ dx ⋅ dy ;
2
celui à travers ses faces parallèles à Oxz est
∂ ⎡(H + ξ ) vy ⎤⎦
⋅ dx ⋅ dy .
(H + ξ (y + dy )) ⋅ dx ⋅ vy (y + dy ) − (H + ξ (y )) ⋅ dx ⋅ vy (y ) = ⎣
∂y
Le volume net sortant est égal à la diminution de volume de la colonne, soit :
∂ ⎡(H + ξ ) vy ⎦⎤
∂ [(H + ξ ) vx ]
d (H + ξ )
⋅ dx ⋅ dy + ⎣
⋅ dx ⋅ dy +
⋅ dx ⋅ dy = 0 ; d’où :
∂x
∂y
dt
G
∂ξ
(2)
=0
div [(H + ξ ) v ] +
∂t
G
II.A.3) Le bilan de matière pour un fluide incompressible donne div v = 0 . Les hypothèses posées font que l’on a
obtenu une autre équation. Ce paradoxe n’est qu’apparent ; il est dû à ce que l’équation (2) est bidimensionnelle, tandis
G
que l’équation div v = 0 est tridimensionnelle ; dans la conception tridimensionnelle, si un fluide incompressible a une
sortie horizontale nette de volume, il doit avoir une entrée verticale nette de volume ; mais, dans la conception
bidensionnelle, une sortie horizontale nette de volume se traduit par une diminution de ξ .
II.A.4)
G
G JJJJG G G 1 JJJJG
∂v
( 3)
+ (v ⋅ grad) v = g − gradP
∂t
µ
1 ∂P
Projetons sur la verticale : 0 = −g −
; d’où P = P0 + µg ( H + ξ − z ) ) .
µ ∂z
Remarque : nous avons négligé le terme de marée devant g .
Le champ de pression peut être qualifié d’hydrostatique, car son expression en fonction de la profondeur est la même
qu’en statique des fluides.
II.B - Équations de la propagation
II.B.1) On linéarise les équations pour calculer de petites variations, des petites oscillations (pendule) ou des ondes
de faible amplitude (acoustique).
II.B.2)
G ∂ξ
(4 )
H div v +
=0
∂t
G
1 JJJJG
∂v
II.B.3) En ne considérant que les coordonnées horizontales :
= − gradP ; compte tenu de A.4 :
∂t
µ
G
JJJJG
∂v
(5)
= −g grad ξ
∂t
G
JJJJG
∂v
I.B.4) En dérivant (4) par rapport au temps et en y remplaçant
par −g ⋅ grad ξ , on obtient
∂t
2
∂ξ
− H ⋅ g ⋅ ∆ξ = 0 .
∂t 2
G
∂ξ
En dérivant (5) par rapport au temps et en y remplaçant
par −H div v , on obtient
∂t
G
G
JJJJG
JJJJG
JJG G G
JJG JJG G
G
G
G
∂ 2v
− H ⋅ g ⋅ grad (div v ) = 0 . Comme rot (rotv ) = grad (div v ) − ∆v et comme rot v = 0 , on aboutit à
2
∂t
G
G G
∂ 2v
− H ⋅ g ⋅ ∆v = 0 .
2
∂t
Ce sont des équations d’onde, ou équations de d’Alembert, de la forme
∂ 2u
− c 2 ∆u = 0 . La vitesse de propagation
∂t 2
est c = Hg . Cette relation est homogène, car [c ] = LT −1 , [H ] = L et [g ] = LT −2 .
II.B.5) Appliquons H = c 2 / g
2
entre A et B : H = (16000 / (15 × 60)) / 9, 8 = 32 m ;
2
entre B et C : H = (36000 / (36 × 60)) / 9, 8 = 28 m .
Il n’est pas étonnant que la profondeur augmente un peu quand on se dirige vers la pleine mer.
Partie III - Amplitude des ondes de marée dans une mer semi-ouverte
III.A - Résonance de marée dans une baie
III.A.1) Si la longueur est plus grande que la largeur, on peut espérer que ξ dépend peu de y .
3
Comme l’équation des ondes est linéaire, elle est séparément vérifiée par chaque terme d’un développement en série
de Fourier.
2
2
ωx
ωx
∂2 ξ
2 ∂ ξ
2 d f
devient
III.A.2) L’équation des ondes
+ ω 2 f = 0 ⇒ f (x ) = A cos
+ B sin
c
−
=
c
0
2
2
2
dx
c
c
∂t
∂x
∂ξ
III.A.3) En x = L , vx = 0 , compte tenu de (5) s’écrit :
(x = L, t ) = 0 .
∂x
∂ξ ⎛⎜ Aω
ωx B ω
ωx ⎞⎟
III.A.4)
= ⎜−
+
sin
cos
⎟ cos (ωt + ϕ) .
⎝
∂x
c
c
c
c ⎠⎟
∂ξ
Les conditions aux limites sur ξ (x , t ) sont ξ (0, t ) = ξ0 cos (ωt + ϕ) et
(L, t ) = 0 . D’où
∂x
ξω
ωL B ω
ωL
ωL
+
= 0 ⇒ B = ξ0 tan
;
A = ξ0 et − 0 sin
cos
c
c
c
c
c
ωx
ωL
ωx
ξ = ξ0 cos
+ tan
sin
cos ( ωt + ϕ ) .
c
c
c
(
)
III.A.5) Il y a résonance au voisinage de tan
Pour n = 1 ,
gH = c =
2ωL
4L
=
π
T0
ωL
=∞
c
H =
ωL
π
= (2n + 1)
c
2
L = (2n + 1)
λ
( n entier).
4
16L2
16 × 2500002
=
2 = 51 m
2
gT0
9, 8 × (12, 4 × 3600)
On vérifie bien H << λ = 4L = 1000 km .
III.B - Amplitude de la marée dans une mer fermée
III.B.1) L’équation des ondes a pour solution g (x ) = A cos
ωx
ωx
+ B sin
.
c
c
ωx B ω
ωx ⎞⎟
∂ξ ⎛⎜ Aω
= ⎜−
+
sin
cos
⎟ cos (ωt + ϕ) . Choisissons l’origine des x à une extrémité de la mer. Les
c
c
c ⎠⎟
∂x ⎝ c
ωL
∂ξ
∂ξ
conditions aux limites
= 0 , soit A = 0 et B = 0 sauf si
(L, t ) = 0 donnent B = 0 et A sin
(0, t ) =
c
∂x
∂x
ωL
ωL
λ
= 0 . Il n’y a de solution stationnaire que si
= nπ L = n
( n entier). Alors, B = 0 et A est
sin
c
c
2
n πx
cos ωt . Sinon, la seule solution stationnaire est ξ (x , t ) = 0 .
indéterminé : ξ = A cos
L
III.B.2) Les formules utilisées jusque maintenant donnent c = gH = 9, 8 × 2000 = 140 m⋅ s−1 et
λ / 2 = cT0 / 2 = 140 × 12, 4 × 3600 / 2 m = 3100 km ; le bassin occidental de la Méditerranée a pour longueur λ / 4 ,
d’où une marée peu importante.
La formule c = gH peut paraître douteuse, car valable pour H faible ; H est toutefois faible devant les autres
longueurs, λ et L , utilisées ici ; l’autre longueur caractéristique du problème est
2
gT02 = 9, 8 × (12, 4 × 3600) = 2 × 1010 m , devant laquelle H = 2000 m est négligeable.
Partie IV - Influence de la rotation de la Terre sur les marées océaniques dans un bassin limité
IV.A - Mise en équation des ondes de gravité tenant compte de la composante horizontale de la force de
Coriolis
G
G G
IV.A.1) La force de Coriolis s’exerçant sur une particule fluide de volume dV est dFC = −2µdV Ω ∧ v ;
dFCx = 2µdV Ω sin Λvy
dFCy = −2µdV Ω sin Λvx ; d’où dFCx ⋅ vx + dFCy ⋅ vy = 0 : la composante horizontale de la
force de Coriolis est perpendiculaire à la vitesse.
La grandeur de la force de Coriolis, 2µdV Ω sin Λv est indépendante de la direction de Ox , donc la direction de Ox
ne joue pas de rôle dans la relation entre la force de Coriolis et la vitesse.
G
G JJJJG G G 1 JJJJG
G G
∂v
IV.A.2) L’équation d’Euler devient
+ (v ⋅ grad) v = g − gradP − 2Ω sin Λez ∧ v et sa forme linéarisée est :
∂t
µ
G
G 1 JJJJG
G G
∂v
(6)
= g − gradP − 2Ω sin Λez ∧ v .
µ
∂t
Si on projette cette équation sur la verticale, on retrouve
∂P
= −µg ⇒ P = P0 + µg (H + ξ − z ) .
∂z
4
IV.A.3) On cherche une onde de marée de la forme : ξ (x , y, t ) = Re ( f (x , y ) exp (i ωt )) et
G
G
G
v (x , y, z , t ) = Re ⎡⎢(vx (x , y ) exp (i ωt ))ex + vy (x , y ) exp (i ωt )ey ⎤⎥ .
⎣
⎦
Projetons l’équation (6) sur Ox et Oy , en omettant de prendre la partie réelle et en notant γ = 2Ω sin Λ :
i ωvx = −g
i ωvy = −g
∂f
∂x
∂f
∂y
+ γvJJMy
− γvJJMx
La résolution de ce système linéaire en vx et vJJMy donne
⎛ ∂f
⎛ ∂f
∂f ⎞⎟
∂f ⎞⎟
g
g
⎜i ω
⎜⎜i ω
⎟⎟ vy = 2
⎟.
+γ
−γ
vx = 2
2 ⎜
2
∂y ⎠⎟
∂x ⎠⎟⎟
ω − γ ⎜⎝ ∂x
ω − γ ⎝⎜ ∂y
IV.A.4) Le bilan de volume de la question II.B.2 reste valable ; sa linéarisation reste valable donc l’équation (4) l’est
2
⎛ ∂vx
∂vy ⎞⎟
∂2 f ⎞
gH ⎛⎜ ∂ f
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟⎟ , soit :
aussi : H ⎜⎜⎜ JJM + JJM ⎟⎟ + i ω f = 0 ; d’où, en y portant les expressions de vx et vJJMy : f = 2
2
⎜⎝ ∂x
γ − ω ⎜⎝ ∂x
∂y ⎠⎟
∂y ⎠⎟
ω2 − γ 2
f =0.
gH
Formellement, si on fait γ = 0 , on trouve l’équation résolue en III.
τ
ω
86164
= arcsin T = arcsin
= 75° .
ω est supérieur à γ = 2Ω sin Λ si Λ < arcsin
2Ω
2T0
2 × 12, 4 × 3600
∆f +
L’onde n’est harmonique que si Λ < 75° , ce qui correspond à la totalité des cas réels d’application possibles.
IV.B - La solution particulière des ondes de Kelvin
IV.B.1) En y = ±b , la conservation de la matière se traduit par vy = 0 quels que soient x et t , soit compte tenu de
∂ f ⎞⎟
⎛ ∂f
A.3 : ⎜⎜ i ω
−γ
= 0.
⎟
∂x ⎠⎟y =±b
⎝⎜ ∂y
⎛ γy + i ωx ⎞⎟
, où c = Hg , est une solution de l’équation de propagation de IV.A.4, car
IV.B.2.a) f = ξ0 exp ⎜⎜−
⎝
⎠⎟⎟
c
∂f 2
∂x 2
=−
∂f 2
ω2
γ2
γ 2 − ω2
et
f .
f
= 2 f , donc ∆f =
2
2
c
c
Hg
∂y
∂f
∂f
i ωγ
i ωγ
f et −i ω
f .
+
∂x
c
c
∂y
IV.B.2.b) Pour l’onde de Kelvin, vy = 0 est vrai en tout point, alors que cette condition n’est imposée que sur les
La condition aux limites de IV.B.1. est également vérifiée, car γ
=−
rives du canal. Elle est donc possible pour tout canal de largeur et profondeur constantes. Elle se propage avec la vitesse
G
G
y
c = Hgex et avec une amplitude fonction croissante de y . Elle n’est valable que
b
dans une mer limitée, car si y → +∞ , f → ∞ .
IV.B.2.c) Les lignes d’égale amplitude (en pointillé) sont les parallèles à Ox ;
les lignes d’égale phase (en traits pleins) sont les parallèles à Oy .
IV.B.3.a) Supposons le canal suffisamment large, situé dans l’hémisphère nord
( γ > 0 ) et a ni trop petit, ni trop grand. Près de la rive y = −b ,
⎛
γy + i ωx ⎞⎟⎞⎟
⎛
ξ (x , y, t ) ξ0 ⋅ Re ⎜⎜⎜exp ⎜⎜i ωt −
⎟ : l’onde se propage dans le sens de
⎝
⎠⎟⎟⎠⎟
⎝
c
x
−b
γy + i ωx ⎞⎟
⎛
Ox ; près de la rive y = b , ξ (x, y, t ) = a ξ0 exp ⎜⎜iωt +
⎟ : l’onde se propage dans le sens contraire de Ox .
⎜⎝
gH ⎠⎟
Loin des rives, le marnage est beaucoup plus faible.
Dans l’hémisphère sud, les sens de propagations sont inversés, car γ < 0 .
IV.B.3.b) Ne supposons pas a = +1 et cherchons les lieux où le marnage est nul : f = 0 .
⎛ γy + i ωx ⎟⎞
⎛ γy + i ωx ⎞⎟
=0
exp ⎜⎜−
⎟⎟⎠ + a ⋅ exp ⎝⎜⎜+
⎝
⎠⎟⎟
c
c
Séparons les parties réelles et imaginaires :
5
(
)
( )
( )
γy
γy
ωx
+ a ⋅ exp
= 0 ou cos
=0
c
c
c
γy
γy
ωx
+ a ⋅ exp
= 0 ou sin
=0
Im ( f ) = 0 ⇔ − exp −
c
c
c
λ
λ
c
ωx
⎛ 2γy ⎞⎟
= 0 et exp ⎜⎜−
= a , soit x = modulo et y = − ln a (en effet, une
Si a > 0 , la condition est cos
⎝ c ⎠⎟⎟
4
2
2γ
c
somme de deux exponentielles d’arguments réels ne peut être nulle) ; dans le cas de l’énoncé, a = 1 y = 0 .
Re ( f ) = 0 ⇔ exp −
(
)
Ce résultat n’est pas surprenant, c’est la disposition classique des nœuds d’une onde stationnaire.
IV.B.3.c) Ne supposons pas a = +1 . Le champ des vitesses est :
⎛
⎡
G
g
⎛ γy + i ωx ⎟⎞
⎛ γy + i ωx ⎞⎟⎤ ⎞⎟ G
− a ⋅ exp ⎜⎜
⎥⎟e .
v (x , y, t ) = ξ0
Re ⎜⎜exp (i ωt ) ⎢exp ⎜⎜−
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎟⎥⎦ ⎠⎟ x
⎢⎣
⎝⎜
H
c
c
Le courant est nul si vx = 0
ωx
=0
c
ωx
Im (vx ) = 0 ⇔ sin
=0
c
Re (vx ) = 0 ⇔ cos
ou
ou
( γcy ) − a ⋅ exp ( γcy ) = 0
γy
γy
exp (− ) + a ⋅ exp ( ) = 0
c
c
exp −
λ
c
et y = − ln a ( y = 0 dans le cas de l’énoncé).
2
2γ
En ces points, le courant est nul et l’amplitude de la marée est maximum en tant que fonction de x (mais elle est
minimum en tant que fonction de y .
Aux points amphidromiques, le courant est maximum en tant que fonction de x (mais il est minimum en tant que
fonction de y .
IV.B.3.d) Voici un tracé plus précis que celui de la figure 5 des lignes cotidales (en trait plein, ϕ = n π /12 ) et des
Si a > 0 , la condition est x = 0 modulo
lignes d’égale amplitude (en pointillé) pour Λ = 55° :
Sur la rive y = −b , comme ϕ (x , y ) est fonction croissante de x , pour une valeur déterminée de l’argument du cos ,
t est fonction croissante de x : l’onde se propage dans le sens de Ox .
Sur la rive y = b , comme ϕ (x , y ) est fonction décroissante de x , pour une valeur déterminée de l’argument du cos ,
t est fonction décroissante de x : l’onde se propage dans le sens contraire de Ox .
En A et C , la phase est indéterminée : A et C sont de points amphidromiques. B est un point de courant nul.
gH
ln a < b .
IV.B.3.e) Les points amphidromiques sont observables dans le canal si y 0 < b
2γ
IV.B.3.f) En Mer du Nord : on voit trois points amphidromiques, régulièrement espacés de 3° de latitude, soit 0,1
2
(1, 3 × 106 )
λ2
=
2 = 90 m . L’onde de marée se propage sur la rive
2
gT0
9, 8 × (12, 4 × 3600)
britannique dans le sens nord-sud et sur la rive scandinave dans le sens sud-nord, conformément à la théorie précédente.
Au large de l’Angleterre, l’amplitude de la marée varie de 3 m à 1 m quand on s’écarte de la côte d’une distance de
3, 5
2π × 6400 × sin 55° = 320 km , d’où le calcul approximatif de la profondeur :
3,5° de longitude, soit environ
360
radian ou 640 km ; λ = 1300 km
H=
6
2
2
2
⎛ γD ⎞⎟
1 ⎛ γD ⎞⎟
1 ⎛⎜ 2ΩD sin Λ ⎞⎟
1 ⎛⎜ 2 × 7, 3 × 10−5 × 3, 2 × 105 × sin 55° ⎞⎟
⎜
=
⇒
=
=
exp ⎜⎜
3
H
⎟ = 120 m ; l’ordre
⎟ =
⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎠⎟
⎜⎝ gH ⎠⎟
g ⎝ ln 3 ⎠
g ⎝ ln 3 ⎠
9, 8 ⎝⎜
ln 3
de grandeur est en accord avec celui du calcul précédent ; la précision est moins bonne, car l’expression théorique
utilisée est approchée.
On observe aussi, dans la région du Pas de Calais, que l’amplitude de la marée croît lorsque la largeur du canal
décroît.
En Manche, il y a un point amphidromique virtuel sur la terre ferme anglaise d’où divergent les lignes cotidales au
niveau du Cotentin près des côtes anglaises. Ce point est distant du point amphidromique le plus proche dans la Mer du
Nord de 6° de longitude, distance du même ordre que celle entre points amphidromiques dans la Mer du Nord. On
verrait sur une carte plus complète que les marées sont plus fortes sur la cote du Cotentin que sur la côte anglaise située
en face.
Appendice.
Voici le programme maple qui a tracé la figure 5 ; on note gamma55 la quantité γ / ω .
> restart:with(plots):
> gamma55:=evalf(2*12.4*sin(55*Pi/180)/24);
> grampl:=plot([seq(arccosh(i^2/16-cos(2*x))/(2*gamma55),i=1..16),seq(arccosh(i^2/16-cos(2*x))/(2*gamma55),i=1..16),arccosh(2-cos(2*x))/(2*gamma55),arccosh(2-cos(2*x))/(2*gamma55)],x=0..2*Pi,-2..2,color=black,
numpoints=500,linestyle=7):
> ens:={seq(i,i=-5..-1),seq(i,i=1..5)};
grphi:=plot([seq(arctanh(cot(x)/tan(i*Pi/12)/gamma55),i in ens)],x=0..2*Pi,2..2,color=black, numpoints=500):
> gr0:=plot({[[0,2],[2*Pi,2]],[[0,-2],[2*Pi,-2]],seq([[i*Pi/2,2],[i*Pi/2,2]],i=0..4)},color=black,thickness=[2,2,0,0,0,0,0]):
> display({grampl,grphi,gr0},scaling=constrained,axes=none);
7