ESIM 2003 – MATHÉMATIQUES 2 PARTIE I 1 ) Une fonction f est

ESIM 2003 – MATHÉMATIQUES 2
PARTIE I
1◦ ) Une fonction f est développable en série entière au voisinage de zéro si et seulement si il existe une
+∞
P
an xn .
famille de réels (an )n∈N et un réel R strictement positif tels que ∀x ∈] −R, R[, f (x) =
n=0
2◦ ) – L’application f est déjà de classe C ∞ sur R∗ comme composée de telles fonctions. De plus, par une
récurrence très facile, f (n) (x) s’écrit Rn (x)f (x), où Rn est une fraction rationnelle.
– Déduisons-en, par récurrence encore, que f est de classe C n sur R tout entier. L’initialisation est
claire ( lim f (x) = 0 donc le choix de f (0) assure la continuité). Supposons f de classe C n−1 sur R;
x→0
alors f (n−1) est continue sur R, de classe C 1 sur R∗ et, par croissances comparées, lim f (n) (x) existe
x→0
et vaut 0; d’après le théorème de prolongement des fonctions de classe C 1, on en déduit que f est de
classe C n sur R, ce qui achève le raisonnement.
– Il découle de ce qui précède que f (n) (0) = 0 pour tout n ∈ N. Si f admettait un développement
en série entière au voisinage de 0, celui-ci serait donné par la série de Taylor de f à l’origine, donc il
existerait R > 0 tel que f soit identiquement nulle sur ]−R, R[ : impossible.
3◦ ) a) La formule de Taylor avec reste intégral, applicable puisque h est de classe C N +1 entre 0 et x,
Z x N (N +1)
Z 1 N (N +1)
t h
(t)
u h
(ux)
montre que RN (x) =
dt, ou encore xN +1
du.
N!
N!
0
0
b) Si 0 < x < y < a, alors ∀u ∈ [0, 1], h(N +1) (ux) 6 h(N +1)(uy). Tous les termes étant positifs, on
x N +1
Rn (y). Enfin, RN (y) 6 h(y) (vu que h(n) (0) > 0 pour
obtient immédiatement 0 6 RN (x) 6
y
tout n), ce qui prouve la dernière inégalité recherchée.
x N +1
= 0. L’encadrement du b) (et le cas évident
c) Fixons y dans ]0, a[; alors ∀x ∈]0, y[, lim
N →+∞ y
x = 0) montrent que lim RN (x) = 0, c’est-à-dire que h est somme de sa série de Taylor sur [0, y]
N →+∞
pour tout y, donc sur [0, a[ au final.
PARTIE II
1◦ ) a) et b) Prouvons, par récurrence sur n, la propriété (Hn ) : il existe un polynôme Pn de degré n+1
à coefficients dans N, tel que ∀x ∈ I, G(n) (x) = Pn (tan x).
– (H0) est évidente : il suffit de poser P0 (X) = X.
– Supposons (Hn ) vraie. Alors, ∀x ∈ I, g (n+1)(x) = (1+tan2 x)Pn0 (tan x) et, en posant Pn+1 (X) =
(1+X 2)Pn0 (X), on obtient un polynôme de degré n+2 à coefficients dans N comme produit de tels
polynômes, d’où (Hn+1 ) et le résultat général.
π
2◦ ) a) La positivité des coefficients de Pn et celle de la fonction tangente sur [0, [ entraînent que ∀n ∈ N,
2
π
π
∀x ∈ [0, [, g (n) (x) > 0. D’après le I.3◦ )c), la fonction g est somme de sa série de Taylor sur [0, [,
2
2
c’est-à-dire S(x) = tan x vu que g (2n)(0) = 0 par imparité de g.
Par imparité également, on étend ensuite l’égalité à l’intervalle I tout entier.
π
b) D’après le a), la série entière S a un rayon de convergence R > .
2
π
π π
Si on avait R > , alors S serait continue sur [− , ], et en particulier S(x) aurait une limite finie
2
2 2
π
π
en , ce qui est impossible vu que S(x) = tan x sur I. On peut donc conclure que R = .
2
2
1
PARTIE III
1◦ ) – Clairement, S contient la suite nulle, et si s ∈ S, alors λs ∈ S pour tout réel λ.
– Pour tous s et s0 de S, il existe M, K, M 0, K 0 strictement positifs tels que ∀n ∈ N, |sn | 6 M K n
et |s0n | 6 M 0 K 0n ; alors ∀n ∈ N, |sn+s0n | 6 M K n + M 0 K 0n 6 (M+M 0 )(max(K, K 0))n , donc s+s0 ∈ S.
Par conséquent, S est un sous-espace vectoriel de l’espace des suites réelles.
2◦ ) a) Avec les notations précédentes, le terme général cn de la suite s⊗s0 vérifie |cn | 6
qui est clairement majoré par
MM0
n
P
k=0
donc encore à S.
n
P
M K k M 0 K 0n−k ,
k=0
Ckn K k K 0n−k
=
M M 0 .(K +K 0)n
: la suite s ⊗ s0 appartient
b) Posons e0 = 1 et ∀n ∈ N∗, en = 0; alors e est un élément de S tel que ∀s ∈ S, e ⊗ s = s ⊗ e = s.
3◦ ) a) a ⊗ b = e si et seulement si ∀n ∈ N,
n
P
ak bn−k = 1 si n = 0 et 0 sinon.
k=0
Ces conditions définissent un système linéaire (infini) échelonné, qui admet une unique solution dans
l’espace des suites réelles.
Plus précisément, b0 est défini par a0b0 = 1, ce qui donne ici b0 = 1 et, si b0, b1, . . ., bn−1 ont été
n
P
déterminés par les n premières équations, on obtient alors bn grâce à l’égalité
ak bn−k = 0, ce qui
fournit bn = −
n
P
k=0
ak bn−k et permet ainsi de calculer les termes de proche en proche.
k=1
KM
6 1.
K 0 −K
0 0p
L’inégalité |bp| 6 M K est évidente si p = 0. Supposons la réalisée jusqu’au rang n−1; alors
n n
X
X
K 1
K k
0 k 0n−k
0n
6 M K 0n × 0
|bn | 6
6 K 0n .
MM K K
6 MK
K
0
K
K 1− K
0
k=1
k=1
b) Posons M 0 = 1 et choisissons K 0 suffisamment grand, afin que K 0 > K et
Le résultat s’en déduit alors par récurrence forte.
P
4◦ ) a) Si |sn | 6 M K n pour tout n, alors |sn xn | 6 M.|Kx|n , si bien que la série entière
sn xn converge
1
dès que |Kx| < 1 : son rayon de convergence est donc minoré par
.
K
P sn
1
converge, donc
< R, alors
b) Inversement, si K désigne un réel strictement positif tel que
K
Kn
sn
la suite de terme général
est bornée par une certaine constante strictement positive M, ce qui
Kn
établit que s appartient à S.
5◦ ) a) Ecrivons h(x) =
+∞
P
an xn sur ]−R, R[; comme h(0) = 1, on a a0 = 1.
n=0
D’après 4◦ )b), la suite (an )n∈N appartient à S et, en utilisant la question 3◦ ), on peut trouver une
suite b telle que a ⊗ b = e et qui, de plus, appartient à S.
+∞
P
En posant g(x) =
bn xn , on définit une série entière de rayon de convergence R0 non nul d’après le
n=0
4◦)a). La fonction g × h est alors développable en série entière sur ]−R00, R00[, avec R00 = min(R, R0)
+∞
P
et, si on pose (g × h)(x) =
cn xn , le coefficient général cn est donné par le produit de Cauchy
n
P
n=0
ak bn−k , ce qui conduit à g(x)h(x) = 1.
k=0
1
est développable en série entière au voisinage de zéro.
h
1
est
b) Le résultat du a) s’applique à la fonction cosinus (qui vérifie cos 0 = 1 et R = +∞) donc
cos
développable en série entière au voisinage de 0. Le produit par la fonction sinus conduit au résultat.
Conclusion : la fonction
2
PARTIE IV
1◦ ) tan z a un sens si et seulement si eiz + e−iz 6= 0 si et seulement si e2iz 6= −1. L’ensemble de définition
π
de la fonction tangente est donc D = C \ { + kπ, k ∈ Z}.
2
2◦ ) Si z = x+iy avec x, y réels,
1 eix e−y − e−ix ey
cos x sh y − i sin x ch y
=i
ix
−y
−ix
y
i e e +e e
cos x ch y − i sin x sh y
(cos x sh y − i sin x ch y)(cos x ch y + i sin x sh y)
=i
cos2 x ch 2y + sin2 x sh 2 y
sin x cos x(ch 2 y−sh 2 y) + i.sh y ch y(cos2 x+sin2 x)
=
cos2 x(1+sh 2 x) + (1−cos2 x)sh 2 x
sh y ch y
sin x cos x
+i 2
.
=
cos2 x+sh 2 y
cos x+sh 2y
tan z =
π π
3◦ ) H est continue comme composée de l’application continue (ρ, θ) 7−→ ρeiθ , définie de ]− , [×R à
2 2
valeurs dans l’ouvert D, et de la fonction tangente, continue sur D par compostion également.
Z
1 2π
◦
H(ρ, θ)e−inθ dθ.
4 ) On rappelle que cn (ρ) est donné par la formule
2π 0
5◦ ) a) L’imparité de Cn est immédiate. Par ailleurs, l’application f : (ρ, θ) 7−→ H(ρ, θ)e−inθ est continue
π π
∂kf
sur ]− , [×[0, 2π], tout comme chacune de ses dérivées partielles
.
2 2
∂ρk
En utilisant de manière itérée le théorème de dérivation sous le signe somme (dans le cadre de l’intégrale
Z 2π
π π
∂f
∞
0
sur un segment), on en déduit que Cn est de classe C sur ]− , [. De plus, Cn (ρ) =
(ρ, θ)dθ
2 2
∂ρ
0
Z 2π
ρeiθ 1 + tan2 (ρeiθ ) e−inθ dθ.
donc, en utilisant la formule admise par l’énoncé, il vient : ρCn0 (ρ) =
0
A ρ fixé, intégrons par parties cette expression en prenant u(θ) = −i tan(ρeiθ ) et v(θ) = e−inθ :
Z 2π
h
i2π
0
iθ
−inθ
ρCn (ρ) = tan(ρe ).e
+n
tan(ρeiθ )e−inθ dθ,
0
0
c’est-à-dire ρCn0 (ρ) = nCn (ρ) étant donné que uv est 2π-périodique.
b) et c)– Supposons d’abord n strictement négatif. L’application ϕ : ρ 7−→ ρ−n Cn (ρ) est dérivable
π π
sur ]− , [ et ϕ0(ρ) = ρ−n−1 (ρCn0 (ρ)−nCn (ρ)) = 0. Il existe donc une constante (complexe) γn telle
2 2
π π
que ∀ρ ∈]− , [\{0}, Cn (ρ) = γn ρn . L’existence d’une limite en 0 (égale d’ailleurs à Cn (0) = 0
2 2
par continuité de Cn ) implique que γn = 0, donc Cn est la fonction nulle.
π
– Si n ∈ N, on montre de même l’existence de complexes αn et βn tels que ∀ρ ∈]− , 0[, Cn (ρ) = αn ρn
2
π
et ∀ρ ∈]0, [, Cn (ρ) = βn ρn (il convient de séparer en deux intervalles, ϕ n’étant pas définie en zéro
2
(n)
si n 6= 0). Il en ressort que Cn admet des limites à gauche et à droite n!αn et n!βn , nécessairement
π π
égales étant donné que Cn est de classe C ∞ . L’expression de Cn (ρ) sur ]− , [ est donc αn ρn et,
2 2
dans le cas où n est pair, on obtient αn = 0 par imparité de Cn .
π π
6◦ ) Remarquons pour finir, que pour ρ fixé dans ]− , [, l’application θ 7−→ H(ρ, θ) est 2π-périodique
2 2
et de classe C 1 sur R : elle est donc somme de sa série de Fourier d’après le
théorème de Dirichlet.
P
cn (ρ) + c−n (ρ) , ce qui se réduit, compte
En particulier, pour θ = 0, on obtient tan ρ = c0 (ρ) +
n>1
+∞
P
α2n+1 2n+1
ρ
. Cette formule étant valable pour tout
tenu de ce qui précède, à l’égalité tan ρ =
n=0 2π
π π
ρ ∈]− , [, on conclut que l’application tangente est développable en série entière sur cet intervalle.
2 2
3