Boule uniformément magnétisée [ ]

Boule uniformément magnétisée
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r
r
Calculer les champs B et H à l’extérieur et à l’intérieur d’une boule de rayon a dont la
magnétisation uniforme vaut M 0 [A/m].
Résoudre en coordonnées sphériques (r , θ , ϕ ) :
r r
⎧⎪∇ ⋅ B = 0
⎨r r
⎪⎩∇ × H = 0
r
r
⎧⎪M = M 0 zˆ si r ≤ a et M = 0 si r > a
r r
⎨r
⎪⎩ B = μ 0 H + M
(
avec
)
r
a) Exprimer M en coordonnées sphériques.
z
⎧ x = r sin θ cos ϕ
⎪
⎨ y = r sin θ sin ϕ
⎪ z = r cosθ
⎩
r̂
ϕ
ϕ̂
θ
θˆ
ẑ
(
r
M = M 0 zˆ = M 0 (cosθ ) rˆ − (sin θ )θˆ
r
M
x̂
)
x
O
La dépendance en cos θ , sin θ nous incite à :
r r
b) Chercher une fonction φm (r ,θ ) = Kr α cosθ telle que H = ∇φm .
r r
r r
L’équation ∇ × H = 0 est automatiquement satisfaite car ∇ × (∇φm ) = 0 ∀φm .
r r
L’équation ∇ ⋅ B = 0 conduit à ∇ 2φm = 0 .
En coordonnées sphériques, le laplacien s’exprime par :
∇2 =
1 ∂⎛ 2 ∂ ⎞
1
∂ ⎛
∂
⎜ sin θ
⎟+ 2
⎜r
2
∂θ
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝
(
)
1
∂2
⎞
+
⎟
2
2
2
⎠ r sin θ ∂ϕ
(
∂ ⎛
∂ Kr α cos θ
1 ∂ ⎛ 2 ∂ Kr α cos θ ⎞
1
⎟⎟ + 2
⎜⎜ sin θ
∇ Kr cos θ = 2 ⎜⎜ r
∂r
∂θ
r ∂r ⎝
⎠ r sin θ ∂θ ⎝
1
Après calculs, on aboutit à : 2 r α cosθ [α (α + 1) − 2] = 0
r
2
(
α
)
) ⎞⎟ = 0
⎟
⎠
Le terme entre crochet doit être nul quels que soient r et θ , ce qui donne la condition
(α − 1)(α + 2) = 0 . Il y a donc deux valeurs possibles pour α .
Boule_magnetisee.doc /André Perrenoud
Boule uniformément magnétisée
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φm1 (r ,θ ) = K1r cosθ intérieur de la boule, car régulière à l’origine ;
α =1
α = −2 φm 2 (r ,θ ) =
K2
cosθ extérieur de la boule, car tendant vers zéro pour r → ∞ .
r2
Les deux fonctions φm doivent se raccorder sur la sphère de rayon a. Donc K 2 = K1a 3 .
Calcul des champs à l’intérieur de la boule :
⎛ ∂x ⎞
⎛0⎞
r r
r
⎜ ⎟
⎜ ⎟
H = ∇( K1r cosθ ) = ∇( K1 z ) = ⎜ ∂ y ⎟( K1 z ) = ⎜ 0 ⎟ = K1 zˆ = K1 (cosθ ) rˆ − (sin θ )θˆ
⎜∂ ⎟
⎜K ⎟
⎝ z⎠
⎝ 1⎠
r
r r
B = μ0 H + M = μ0 (K1 + M 0 )zˆ = μ0 (K1 + M 0 ) (cosθ ) rˆ − (sin θ )θˆ
(
(
(
)
)
)
Calcul des champs à l’extérieur de la boule :
⎞
⎛
∂
⎛ − 2 cosθ ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
∂r
r3 ⎟
⎟
⎜
⎜
r r K
1 ∂ ⎟ K2
− sin θ ⎟
K
= − 32 (2 cosθ ) rˆ + (sin θ )θˆ
cosθ = ⎜
H = ∇( 22 cosθ ) = ⎜
2
3
⎟
⎜
⎟
⎜
r
r
r
r
r ∂θ
⎜ 1
⎟
⎜
0
∂ ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎝ r sin θ ∂ϕ ⎠
r
r
B = μ0 H
(
)
Les champs doivent se raccorder sur la sphère de rayon a de telle manière que l’on
ait :
r
K
¾ la continuité de la composante normale de B :
μ0 (K1 + M 0 ) = −2 32
a
r
¾ la continuité de la composante transverse de H :
− K1 = −
K2
a3
Ces conditions conduisent à : K 2 = K1a 3 et K1 = − M 0 / 3 .
En résumé :
r
1 r
À l’intérieur de la boule : H = − M 0 ;
3
(
r 2μ r
B = 0 M0
3
r
r
( H de sens opposé à B )
)
r a3
À l’extérieur de la boule : H = 3 M 0 (2 cos θ ) rˆ + (sin θ ) θˆ ;
r
r
r
B = μ0 H
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c) Comparer le résultat avec la formule (5.21) du cours qui donne le champ d’un dipôle.
(
r
a3
Expression trouvée précédemment : B = μ0 3 M 0 (2 cosθ ) rˆ + (sin θ )θˆ
r
ˆ
ˆ
ˆ
⎧r = (sin θ ) x + (cosθ ) z
Dans le plan Oxz : ⎨
ˆ
⎩θ = (cosθ ) xˆ − (sin θ ) zˆ
(
r
a3
B = μ0 3 M 0 (3 cosθ sin θ ) xˆ + (2 cos 2 θ − sin 2 θ )θˆ
r
(
r
a3
B = μ0 3 M 0 (3 cosθ sin θ ) xˆ + (3 cos 2 θ − 1) θˆ
r
)
)
)
Dans le cas de la boule, le moment magnétique du dipôle vaut : μ =
4π 3
a M0 .
3
On aboutit donc à la même expression que (5.21)
Champ magnétique à grande
distance d’un moment μ
dirigé selon z
r
⎛ 3 sin θ cosθ ⎞
μ
⎟
B = 0 3 μ ⎜⎜
4πr ⎝ 3 cos 2 θ − 1 ⎟⎠
[T]
(5.21)
(dans le plan Oxz)
En conclusion, la boule uniformément magnétisée produit autour d’elle un champ
magnétique purement dipolaire.
r
Champ magnétique B et lignes de flux.
(COMSOL Multiphysics)