Devoir en autocorrection n° 1

11
DA 1 pour le 1er janvier 2014
I .2
Devoir en autocorrection n˚1
Problème 1 :
1. Une onde stationnaire est une solution de l’équation d’onde
qui peut se mettre sous la forme du produit d’une fonction spatiale
par une fonction du temps, soit dans le cas présent :
Quelques aspects de
la physique du piano
I.
Vibrations d’une corde de piano fixée à
ses deux extrémités
I .1
Mise en équation du mouvement transversal
d’une corde de piano sans raideur
y(x, t) = f (x)g(t)
L’équation de d’Alembert devient
f (x)g ′′ (t) = c2 f ′′ (x)g(t)
Soit t0 un instant tel que g(t0 ) 6= 0. L’équation différentielle en f est
de la forme
f ′′ (x) + Kf (x) = 0
On peut distinguer trois cas :
• K < 0 : posons K = − 12 ; la solution générale est de la forme
Λ
1. Dans une corde sans raideur, les efforts exercés par un tronçon
de corde sur le tronçon adjacent peuvent être représentés par une force
appliquée au point de contact. Cette force, appelée tension de la corde,
est tangente à la corde.
Dans l’hypothèse des petits mouvements, l’élongation y(x, t) est très
∂y
faibledevant la longueur de la corde et sa dérivée spatiale
est très
∂x
petite devant l’unité.
−
→
2. Notons T (x, t) la force exercée sur le tronçon {0, x} par le
tronçon {x, L}. Prenons pour système le tronçon {x, x + dx} ; il est
soumis aux forces
−
→
• − T (x, t) à son extrémité d’abscisse x ;
−
→
• T (x + dx, t) à son extrémité d’abscisse x + dx.
Le théorème de la résultante cinétique s’écrit
f (x) = Ae−x/Λ + Bex/Λ
Les conditions aux limites s’écrivent alors
A+B =0
A=0
soit
−L/Λ
L/Λ
B=0
Ae
+ Be
=0
La seule solution est la solution triviale y = 0.
• K = 0 ; la solution générale est
f (x) = Ax + B
Les conditions aux limites s’écrivent alors
A=0
B=0
soit
B=0
AL + B = 0
∂2y −
−
→
−
→
→
ey = T (x + dx, t) − T (x, t)
∂t2
En divisant par dx, on obtient, après passage à la limite dx → 0 :


0 = ∂Tx
∂x
2
∂Ty
∂
y
 µ
=
∂x
∂t2
La seconde équation peut s’écrire
µdx
La seule solution est à nouveau la solution triviale y = 0.
• K > 0 ; posons K = k2 ; la solution générale est
f (x) = A cos kx + B sin kx
Les conditions aux limites s’écrivent alors
A=0
A=0
soit
B sin kL = 0
A cos kL + B sin kL = 0
∂Ty
∂vy
=
∂t
∂x
En intégrant la première équation, on obtient
µ
On obtient cette fois une solution non triviale si sin kL = 0.
Finalement, la solution non triviale en f est de la forme
π
f (x) = B cos kx +
2
Tx (x, t) = Tx (t)
La composante selon x étant grande devant Ty , elle peut, dans l’approximation des petits mouvements, être confondue avec T0 .
La fonction du temps doit alors satisfaire l’équation
g ′′ (t) = −k2 c2 g(t)
3. La tension étant tangente à la corde, les composantes Tx et
Ty sont telles que
∂y
Ty
=
Tx
∂x
On en déduit que
∂y
Ty = T0
∂x
→
En reprenant la projection sur −
ey du théorème de la résultante
cinétique, on obtient alors
Si on pose
ω = kc
le solution générale est
g(t) = C cos(ωt + ϕ)
2. Les modes propres sont les solutions stationnaires qui satisfont
les conditions aux limites. Ils sont déterminés par la condition
∂2y
∂2y
= T0 2
∂t2
∂x
C’est une équation de d’Alembert de célérité
s
T0
c=
µ
µ
sin kL = 0 soit kn = n
La célérité est
c=
s
4T0
πD 2 ρ
π
(n ∈ N∗ )
L
Les pulsations propres sont
ω n = kn c = n
πc
L
Les fréquences propres sont
On obtient la même équation pour
– la propagation des ondes de tension le long d’un câble coaxial ;
– la propagation des ondes sonores le long d’un tube cylindrique.
4. T0 ∼ mg, avec m = 85 kg, soit T0 ∼ 850 N. Soit ρ la masse
volumique de l’acier ; la masse linéique d’un fil de diamètre D est
µ=
Modes propres d’une corde de piano sans raideur, fixée aux deux extrémités. Position du
marteau sur la corde
fn =
c
ωn
=n
2π
2L
La solution générale correspondant au mode propre numéro n est
nπx πct
cos n
+ϕ
yn (x, t) = yn0 sin
L
L
1
πD 2 ρ
4
3. a) Tant que sinc nπa ≃ 1, l’élongation est proportionnelle à
L
la largeur a du marteau. Une grande largeur du marteau a pour effet de
diminuer l’amplitude des harmoniques d’ordre n élevé. Ce phénomène
= 3, 4.102 m.s−1
61
se produit lorsque l’argument du sinus cardinal s’approche de π, soit
pour
L
nπa
∼ π soit, en ordre de grandeur n ∼
L
a
Cet effet est sensible pour des fréquences de l’ordre de
C’est à la limite du spectre audible, mais c’est un effet audible : le
timbre d’un piano est plus doux si a est grand.
b) On peut supprimer l’harmonique de rang n en choisissant
x0 de sorte que
πx0
= pπ (p ∈ N)
n
L
C’est intéressant pour supprimer l’harmonique de rang 7, qui est dissonnant.
Conséquences sur la conception des cordes
d’un piano
1. On a vu que la fréquence du mode n est fn = n c ; la
2L
fréquence du fondamental est donc
c
f =
2L
Pour une même valeur de la tension et de la masse linéique, il faudrait
– pour les graves : une longueur
LLa
0
=
c
2fLa
0
= L262Hz
262
= 6, 08 m
28
– pour les aigus : une longueur
262
= 4, 05 cm
2fDo 8
4200
2. On peut maintenir la valeur de la tension, et augmenter la
masse linéique de façon à diminuer la longueur des cordes dans les
graves. On en peut pas envisager de jouer dans de grandes proportions sur la tension des cordes, car on risquerait de provoquer des
déformations du cadre.
LDo
8
=
c
∂vy
∂Ty
=
∂t
∂x
En intégrant la première équation, on obtient
µ
Tx (x, t) = Tx (t)
L
f1 = 17 kHz
a
I .3
La seconde équation peut s’écrire
La composante selon x étant grande devant Ty , elle peut, dans l’approximation des petits mouvements, être confondue avec T0 .
c) Prenons pour système le tronçon {x, x + dx} ; son centre
de masse est sensiblement au milieu du segment les deux extrémités
du tronçon. Il est soumis aux efforts
−
→
• − T (x, t) à son extrémité d’abscisse x ;
−
→
• T (x + dx, t) à son extrémité d’abscisse x + dx.
• −Γ(x, t) à son extrémité d’abscisse x ;
• Γ(x + dx, t) à son extrémité d’abscisse x + dx.
Le moment des tensions est
−
∂y
1
→
−
→
→
→+ ∂y dx−
→
dx−
ez
(dxe−
ey )∧ T (x, t) + T (x + dx, t) ≃ Ty (x, t) − Tx (x, t)
x
2
∂x
∂x
→
Le théorème du moment cinétique s’écrit, en projection sur −
ez :
∂y
dσz
= Γ(x + dx, t) − Γ(x, t) + Ty (x, t) − Tx (x, t)
dx
dt
∂x
On peut considérer que σz ≃ 0, car la masse du tronçon est un infiniment petit d’ordre 1, et le moment d’inertie un infiniment petit
d’ordre 2. En divisant par dx, on obtient, après passage à la limite
dx → 0 :
∂y
∂Γ
(x, t) + Ty (x, t) − Tx (x, t)
0=
∂x
∂x
On peut toujours effectuer l’approximation Tx (x, t) = T0 , mais la
tension n’est plus tangente à la corde et
Ty (x, t) = T0
= L262Hz
3. La masse linéique de la corde filée est
!
D2
D
µf = π
ρacier + e
+ 2e ρCu = 9, 5.10−2 kg.m−1
4
2
soit, en dérivant
πr4 E ∂ 4 y
∂Ty
∂2y
(x, t) = T0 2 (x, t) −
∂x
4 ∂x4
∂x
−
→
En reprenant la projection sur ey du théorème de la résultante
cinétique, on obtient
µ
2
= T0
∂2y
∂x
2
(x, t) −
πr4 E ∂ 4 y
4 ∂x4
2. Soit un mode propre de vibration tel que
cf =
s
T0
= 95 m.s−1
µf
La longueur de la corde du ”La 0” est alors
cf
= 1, 7 m
LLa 0 =
2fLa 0
C’est compatible avec la longueur d’un piano de concert.
Prise en compte de la raideur : dispersion et
inharmonicité
1. a) A partir de l’expression de Γ, on obtient
[force]
1
= L3 ×
= [force] × L
[Γ] = L4 × [E] ×
L
[surface]
Γ a bien la dimension du moment d’une force.
b) Prenons pour système le tronçon {x, x + dx} ; il est soumis
aux forces
−
→
• − T (x, t) à son extrémité d’abscisse x ;
−
→
• T (x + dx, t) à son extrémité d’abscisse x + dx.
Le théorème de la résultante cinétique s’écrit
µdx
∂2y
∂t
conformément à l’énoncé.
La célérité est alors
I .4
∂y
∂Γ
∂y
πr4 E ∂ 3 y
(x, t) −
(x, t) = T0
(x, t) −
∂x
∂x
∂x
4 ∂x3
∂2y −
−
→
−
→
→
ey = T (x + dx, t) − T (x, t)
∂t2
En divisant par dx, on obtient, après passage à la limite dx → 0 :


0 = ∂Tx
∂x
2
∂Ty
∂
y
 µ
2 = ∂x
∂t
y(x, t) = y0 cos(kx + ψ) cos(ωt)
a) En dérivant, on obtient
 2
∂ y
2


 ∂t2 = −ω y0 cos(kx + ψ) cos(ωt)

 2
∂ y
2
2 = −k y0 cos(kx + ψ) cos(ωt)

∂x


4

∂
y

= −k4 y0 cos(kx + ψ) cos(ωt)
∂x4
La relation de dispersion s’écrit donc
µω 2 = T0 k2 +
soit
ω 2 = c2 k 2
1+
πr4 E 4
k
4
πr4 E 2
k
4T0
!
b) Les conditions aux limites imposent toujours
nπ
sin kn L = 0 soit kn =
L
Les fréquences correspondantes sont telles que
!
n2 π 2
πr4 E n2 π 2
4π 2 fn2 =
1
+
4T0 L2
L2
soit
fn2 =
n 2 c2
4L2
1+
π3 r4 E
4T0 L
n2
2
!
On obtient bien
fn = n
π3 r4 E
c p
1 + Bn2 avec B =
2L
4T0 L2
L’inharmonicité augmente quand B augmente ; elle est donc plus faible
pour une corde de grande longueur, ce que permet un piano à queue.
c) L’écart entre fn (cercles pleins) et fn0 (cercles vides) s’accroı̂t pour les grandes valeurs de n.
fn
L’équation de d’Alembert se réduit à
f ′′ (x) =
s2
c2
f (x)
La solution générale est
sx f (x) = A sinh
c
+ B cosh
sx c
La condition aux limites en x = 0 impose
f (0) = 0 soit B = 0
Il reste donc
f (x) = A sinh
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
II .
Couplage entre une corde de piano et
la table d’harmonie : le rôle du chevalet
II .1
T0
−4
e) L’écart entre fn et fn0 vaut un demi-ton pour
s
21/6 − 1
fn
1/12
=2
soit pour n =
= 18
0
B
fn
∂y
∂y
(L, t) = −R (L, t) soit T0 f ′ (L)est = −Rsf (L)est
∂x
∂t
En explicitant f (L) et f ′ (L), on obtient
T0
tanh
2. pour une onde progressive dans le sens des x décroissants :

x

 y(x, t) = f t + c

∂y
Ty (x, t) = T0
(x, t) = + Tc0 f ′ t + x
c
∂x


 vy (x, t) = ∂y (x, t) = f ′ t + x
c
∂t
II .2
Couplage corde-chevalet
1. Pour Ty (L, t) = −Rvy (L, t), la puissance chevalet→corde est
négative ; la puissance corde→chevalet est donc positive, ce qui permet un transfert énergétique de la corde vers la table d’harmonie.
2. On cherche des solutions de la forme y(x, t) = f (x) exp(st).
Notons que, s étant complexe, il n’est pas certain que ces solutions
sont stationnaires. En effet, une onde y(x, t) = Aejωt ejωx/c est le
produit d’une fonction du temps par une fonction spatiale alors que
c’est une onde progressive. La propriété n’est caractéristique qu’en
représentation réelle. Les dérivées secondes sont
 2

 ∂ y2 = f ′′ (x) exp(st)
∂x
2

 ∂ y = s2 f (x) exp(st)
∂t2
sL
c
exp
sL
c
= −Rs sinh
sL
c
=−
T0
µc
ZC
1
=−
=−
=−
Rc
R
R
r
2Lα
c
2Lω
r−1
exp j
=
c
r+1
Pour r > 1, le second membre est positif ; son argument est nul à 2π
près, donc
2Lω
≡ 0 [2π]
c
Les valeurs possibles de ω sont donc
nπc
(n ∈ N∗ )
L
ωn =
Dans ce cas exp j 2Lω
= 1 ; il reste donc
c
exp
2Lα
c
=
r−1
r+1
soit
α=
On en déduit que
Ty (x, t)
T0
T0 c
=
= 2 = µc
vy (x, t)
c
c
3. La condition aux limites en x = L s’écrit
On en déduit que
T0
T0 c
Ty (x, t)
=−
= − 2 = −µc
vy (x, t)
c
c
s
cosh
c
soit
Impédance caractéristique d’une corde vibrante
1. En reprenant les notations de la partie I, on a, pour une onde
progressive dans le sens des x croissants :


y(x, t) = f t − x

c

∂y
Ty (x, t) = T0
(x, t) = − Tc0 f ′ t − x
c
∂x


 vy (x, t) = ∂y (x, t) = f ′ t − x c
∂t
c
La condition aux limites en x = L impose
d) Avec les valeurs proposées, on obtient
B = 3, 75.10
sx r−1
c
ln
2L
r+1
On constate que α < 0 ; l’amplitude des vibrations décroı̂t exponentiellement en raison du transfert d’énergie de la corde vers la table
d’harmonie.
4. En explicitant s, on peut écrire y sous la forme
αt jωt exp α x exp jω x − exp −α x exp −jω x
y(x, t) = A
c
c
c
c
2e e
αt exp α x F t + x − exp −α x F t − x
= A
c
c
c
c
2e
en posant
F (t) = ejωt
Le résultat n’est pas une onde stationnaire, contrairement à la qualification abusive donnée dans l’énoncé.
1 est plus grand
5. Le temps caractéristique de l’amortissement α
dans les graves que dans les aigus. Le modèle donne un temps caractéristique proportionnel à L. On pourrait raffiner le modèle en
examinant si la constante R est indépendante de la corde.
Problème 2 :
I.
Vibrations et phénomènes de propagation
présence des singularités pour les fréquences correspondant aux modes
propres du système : c’est le phénomène de résonance. A l’opposé, le
phénomène d’antirésonance correspond à l’annulation de l’amplitude
pour une fréquence comprise entre les deux singularités.
Sans frottement
Oscillateurs couplés
1. a) On peut mettre en
évidence les régimes libres d’oscillation de deux oscillateurs
couplés en mécanique par un
dispositif tel que celui qui est
représenté ci-dessous.
Le système possède deux pulsations propres ω1 et ω2 . Un
régime oscillatoire quelconque
est une combinaison linéaire
d’une oscillation de pulsation
ω1 et d’une oscillation de pulsation ω2 .
Un mode propre est un mode
d’oscillation selon une seule
pulsation.
Dans le cas où les pulsations
des oscillateurs découplés sont
identiques, les modes propres
sont, d’une part le mode
symétrique (x1 = x2 ), et
d’autre part le mode antisymétrique (x1 = −x2 ).
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f
En frottement faible, la résonance correspond à un maximum
d’amplitude, et l’antirésonance à un minimum d’amplitude.
Avec frottement
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b) Dans le cas d’oscillateurs faiblement couplés, lorsque,
à la date t = 0, on écarte un seul des oscillateurs de sa position de
repos, on observe un phénomène de battements ; c’est alternativement
l’oscillateur 1 ou l’oscillateur 2 qui oscille, tandis que l’autre est pratiquement au repos. Il y a ainsi transfert d’énergie d’un oscillateur à
l’autre. Cette observation montre que les deux pulsations propres sont
très voisines lorsque le couplage est faible.
Les frottements ont pour effet de dissiper l’énergie des oscillateurs. Au bout d’un certain nombre d’oscillations, d’autant plus grand
que le frottement est plus faible, l’amplitude des oscillations est imperceptible, voire nulle s’il y a des frottements solides.
2. a) La réponse en régime sinusoı̈dal forcé de fréquence f de
deux oscillateurs couplés s’étudie expérimentalement plus aisément
en électricité qu’en mécanique. On peut envisager un couplage par
inductance mutuelle :
f
3. a) Mn est soumis aux efforts exercés par deux ressorts
−K(un − un−1 ) par le ressort à sa gauche
−K(un − un+1 ) par le ressort à sa droite
le théorème de la résultante cinétique s’écrit
m
d 2 un
= −K(un − un−1 ) − K(un − un+1 )
dt2
ce qui peut se mettre sous la forme
d 2 un
dt2
La mise en équation nous donne
(
e = u1 + L di1 + M di2
dt
dt
0 = u2 + L di2 + M di1
dt
dt
soit

2
2

 e = u1 + LC d u21 + M d u22
dt
dt
2
2

 0 = u2 + LC d u22 + M d u21
dt
dt
On obtient le système différentiel de pulsations propres :

r

1

pour le mode antisymétrique
 ωd =
(L − M )C
r

1

pour le mode symétrique
 ωs =
(L + M )C
On voit que le couplage a tendance à écarter les pulsations propres
du système. Cette propriété est une propriété générale des oscillateurs
couplés.
b) En l’absence de frottement, l’amplitude des oscillateurs
+
ω02
(2un − un+1 − un−1 ) = 0
2
en posant
r
2K
.
m
b) Dans l’approximation des milieux continus, on définit
une fonction u(x, t) variant très peu à l’échelle de a et telle que
un (t) = u(x = na, t). En effectuant un développement de Taylor à
l’ordre 2 de un+1 (t) − un (t) et de un−1 (t) − un (t), on a
 2
2

 d u2n = ∂ 2u


dt
∂t

2 2
un+1 − un = a ∂u + a2 ∂ u
2
∂x

∂x


2 2


un−1 − un = −a ∂u + a2 ∂ u
∂x
∂x2
soit
!
∂2u
a2 ω02 ∂ 2 u
−
=0
2
∂t2
∂x2
ω0 =
ce qui est de la forme
c2
∂2u
∂x
2
−
∂2u
∂t2
= 0.
en posant
aω0
c= √ .
2
On reconnait une équation de d’Alembert correspondant à la vitesse
de propagation c.
II .
Corde vibrante
1. Expérience de la corde de Melde.
a) Le dispositif de l’expérience de la corde de Melde est
constitué d’un vibreur mettant en mouvement une corde tendue par
le poids d’une masse m.
d
........................................................................................................................................................................................................................... .
..
....
....
....
....
....
....
....
....
....
...
vibreur
poulie
masse
Pour certaines valeurs de la fréquence d’excitation de la corde,
on observe un système stable d’ondes stationnaires.
b) Pour une masse linéique et une fréquence données, on peut
étudier l’influence de la tension sur la vitesse de propagation.
2. Equation des cordes vibrantes.
i
h
∂y
∂ 2 y 1 ∂ ∂y
+ ∂
2 = c ∂τ
∂x
∂θ
∂x
∂x
2
2
2
2
= 12 ∂ Y2 − ∂ Y − ∂ Y + ∂ Y2
∂τ
∂θ
∂θ∂τ
c ∂τ
∂θ
2
2
2
= 12 ∂ Y2 − 2 ∂ Y + ∂ Y2
∂θ∂τ
c
∂τ
∂θ
∂y
= ∂Y ∂τ + ∂Y ∂θ = ∂Y + ∂Y
∂t
∂τ ∂t
∂θ ∂t
∂τ
∂θ
2
2
∂2y
∂y
∂y
∂
∂
Y
∂2Y
∂2Y
∂
∂
Y
=
+
=
2 + ∂τ ∂θ + ∂θ∂τ +
∂τ ∂t
∂θ ∂t
∂t2
∂τ
∂θ 2
2
2
2
∂
Y
∂
Y
∂
Y
+2
=
+
∂θ∂τ
∂τ 2
∂θ 2
L’équation de d’Alembert s’écrit
"
#
"
#
1 ∂2Y
∂2Y
∂2Y
1 ∂2Y
∂2Y
∂2Y
−2
+2
= 2
.
+
+
∂θ∂τ
∂θ∂τ
c2 ∂τ 2
∂θ 2
c
∂τ 2
∂θ 2
soit
∂2Y
= 0,
∂θ∂τ
équation dont la solution générale est
Y (θ, τ ) = f (τ ) + g(θ),
où f et g sont des fonctions quelconques ; en revenant aux notations
initiales, on obtient
x
x
+g t+
.
y(x, t) = f t −
c
c
La solution générale de l’équation
de d’Alembert est donc la somme
d’un terme de la forme f t − x
dans le
c qui est une onde progressive
qui
est
une
sens des x croissants et d’un terme de la forme g t + x
c
onde progressive dans le sens des x décroissants.
d) Des valeurs numériques typiques sont T = 5 N et µ = 1
g/m, ce qui conduit à c = 70 m/s.
a) Appliquons le théorème de la résultante cinétique au
tronçon de corde [x, x + ∆x] ;
−
→
−
→
∆m−
a→
C = T (x + ∆x, t) − T (x, t),
où −
a→ est l’accélération du centre de masse du tronçon. Ceci peut se
C
réécrire sous la forme :
µ−
a→
C =
−
→
−
→
T (x + ∆x, t) − T (x, t)
,
∆x
soit, en effectuant le passage à la limite ∆x → 0 :
−
→
∂2y
∂T
→
µ 2 (x, t)−
ey =
(x, t).
∂x
∂t
En projetant sur les axes, on obtient respectivement :


0 = ∂Tx sur −
e→
x
∂x
2
→
 µ ∂ y (x, t) = ∂Ty sur −
ey
∂x
∂t2
3. Modes propres.
a) On cherche une solution de la forme y(x, t) = f (x) cos ωt.
f (x) est alors solution de l’équation
c2 f ′′ (x) + ω 2 f (x) = 0
dont la solution générale est de la forme
ωx ωx f (x) = A sin
+ B cos
c
c
Les conditions aux limites imposent par ailleurs que
(
B = 0 f (0) = 0
soit
f (L) = 0
=0
sin ωL
c
les seules pulsations possibles sont telles que ωnc L = nπ ce qui est de
la forme ωn = nω1 , avec n entier et ω1 = πc .
L
b) La notion de mode propre pour des oscillateurs couplés
fait apparaı̂tre de même des solutions dont la dépendance temporelle
est une fonction sinusoı̈dale.
c) Une superposition quelconque de modes propres à la date
t = 0 se met sous la forme
La première équation donne Tx = Cte = T .
∂y
b) L’autre composante de la tension est Ty = T tan α = T
;
∂x
on en déduit l’équation régissant y(x, t) :
∂ 2 y(x, t)
∂x2
µ ∂ 2 y(x, t)
=
T
∂t2
ce qui est de la forme
c2
∂2y
∂x
2
−
∂2y
∂t2
=0
c=
c) Posons
τ =t−
θ =t+
x
xc
c
T
.
µ
; on a
∞
X
An sin(nω1 x/c).
n=1
Il s’agit d’une série de Fourier en x de période 2πc
= 2L et impaire.
ω
1 Si on suppose par exemple que y(x, 0) = 4b sin3 πx , ce qui se met
L
sous la forme
πx 3πx
+ 3b sin
,
y(x, 0) = −b sin
L
L
on obtient
en posant
s
f (x) =
y(x, t) = 3b sin
(
x = 2c (θ − τ )
.
t= 1
2 (θ + τ )
Posons Y (θ, τ ) = y(x, t). Calculons les dérivées secondes de
y(x, t) par rapport à x et par rapport à t. On obtient :
∂y
= ∂Y ∂τ + ∂Y ∂θ = 1c − ∂Y + ∂Y
∂x
∂τ ∂x
∂θ ∂x
∂τ
∂θ
πx L
sin
πct
L
− b sin
3πx
L
sin
3πct
L
.
d) Plus généralement, pour y(x, 0) quelconque, on construit
y(x, t) en l’exprimant sous la forme d’une combinaison linéaire de
modes propres. Les coefficients de cette combinaison linéaire s’obtiennent en effectuant le développement de y(x, 0) en série de Fourier. Le fait que le mode propre domine assez rapidement les harmoniques provient d’un amortissement plus rapide des composantes de
fréquence élevée.
4. Ondes stationnaires ; résonance.
a) Les ondes progressives et les ondes stationnaires sont des
solutions de l’équation de d’Alembert. Une onde stationnaire est une
somme de deux ondes progressives se propageant dans des sens opposés. Une onde progressive ne peut pas en général s’exprimer sous
la forme d’une somme d’un nombre fini d’ondes stationnaires, car sa
dépendance temporelle n’est pas nécessairement sinusoı̈dale, contrairement aux ondes stationnaires.
b) On suppose d’abord que sin ωL
6= 0. L’équation
c
différentielle dont est solution f (x) est toujours
2 ′′
2
c f (x) + ω f (x) = 0
dont la solution générale est de la forme
ωx ωx + B cos
f (x) = A sin
c
c
Les conditions aux limites imposent par ailleurs que
(
B = b
f (0) = b
soit
f (L) = 0
A sin ωL
+ B cos ωL
=0
c
c
et finalement
ω(L − x)
b sin
ωL
ωx
ωx
c
− cotan
=
sin
f (x) = b cos
.
ωL
c
c
c
sin
c
c) Un noeud de vibration est un point d’amplitude de vibration nulle et un ventre de vibration est un point d’amplitude vibratoire
maximale ; la distance entre deux noeuds successifs est une demi longueur d’onde, soit πc
ω.
Le point d’abscisse x = 0 n’est pas un noeud.
d) Les solutions obtenues sont aussi la superposition de deux
ondes planes progressives ; en effet, on a
ω(L − x)
cos ωt
b sin
c
y(x, t) =
ωL
sin
i
h c
b
sin ω t − x + ωL − sin ω t + x − ωL
=
c
c
c
c
ωL
sin
c
ce qui fait apparaı̂tre la solution comme la somme d’une onde progressive dans le sens des x croissants et d’une onde progressive dans
le sens des x décroissants.
e) Pour certaines valeurs de la pulsation, le dénominateur
s’annule ; il y a alors résonance. Les pulsations de résonance sont
ωL
nπc
sin
= 0 soit ω =
, n ∈ N∗ .
c
L
Les pulsations de résonance sont identiques aux pulsations de modes
propres. L’amplitude vibratoire en x = 0 est alors très petite devant
l’amplitude maximale. On peut donc considérer que l’extrémité x = 0
est un noeud de vibration.
f) L’amplitude des ventres à la résonance est infinie. Pour interpréter de manière plus réaliste l’expérience de la corde de Melde, il
faudrait tenir compte des frottements.
III .
Ligne bifilaire : impédance et taux
d’ondes stationnaires
du signal est grande devant les dimensions du tronçon de circuit.
b) On a u(x) = u(x + ∆x) + Λ∆x ∂ i(x, t), soit, en divisant
∂t
par ∆x et en effectuant le passage à la limite ∆x → 0 :
∂u(x, t)
∂i(x, t)
+Λ
= 0.
∂x
∂t
On a de même i(x) = i(x+∆x)+Γ∆x ∂ u(x+∆x, t), soit, en divisant
∂t
par ∆x et en effectuant le passage à la limite ∆x → 0 :
∂u(x, t)
∂i(x, t)
+Γ
= 0.
∂x
∂t
En éliminant i entre ces deux équations du premier ordre, on obtient
une équation d’onde en u :
∂ 2 u(x, t)
∂ 2 i(x, t)
= ΛΓ
∂ 2 u(x, t)
.
∂x
∂t2
De même, en éliminant u entre les deux équations du premier ordre,
on obtient une équation d’onde en i :
2
= ΛΓ
∂ 2 i(x, t)
.
∂x
∂t2
i et v sont donc solutions d’une équation de d’Alembert, avec une
célérité
1
.
c= √
ΛΓ
c) Si i est une onde progressive dans le sens des x croissants,
on a
x
i=f t−
;
c
on a donc
∂i(x, t)
1 x
∂u(x, t)
=−
= f′ t −
.
Γ
∂t
∂x
c
c
En intégrant par rapport au temps, on a
r
1 Λ x
x
u(x, t) =
+A=
+ A.
f t−
f t−
Γc
c
Γ
c
Si les deux grandeurs vibratoires ont une valeur moyenne nulle,
la constante d’intégration A est nulle ; le rapport vi est donc une
constante
r
Λ
;
Zc =
Γ
on l’on appelle impédance caractéristique de la ligne.
2
2. Réflexion sur une charge
La ligne est alimentée en x = −L par une soure idéale de tension de
force électromotrice e(t) = E cos ωt. On cherche une solution complexe
des solutions de la forme
i(x, t) = A exp (j(ωt − kx)) + ρA exp (j(ωt + kx)) .
......................................................................................................................................................................................................................................
...
...
..
...
.....
...
.....
.....
.....
....
.....
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.........................................................................................
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.......................
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....
....
....
.................
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...........................................................................................
.........................
...
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.......................................................................................................................................................................................................................................
...
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...
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...
...
..
..
e
ligne
bifilaire
x = −L
6
Z
v(0, t)
@
R
@
-
x=0
La ligne est fermée en x = 0 sur une charge d’impédance complexe Z = Z exp(jϕ), c’est-à-dire que
v(0, t) = Zi(0, t).
1. Equation d’ondes - Impédance
a) Coefficient de réflexion et taux d’ondes stationnaires.
∂i(x, t)
∂u(x, t)
– De l’équation
+Γ
= 0, on déduit
∂x
∂t
v(x, t) = Zc A (exp (j(ωt − kx)) − ρ exp (j(ωt + kx)))
– En x = 0, on a
Zc A (exp (j(ωt)) − ρ exp (j(ωt))) = ZA exp (j(ωt)) (1 + ρ) .
On en déduit l’expression du coefficient de réflexion
On traite ce circuit dans l’approximation des régimes quasi permanents avec des courants i(x, t) et i(x + ∆x, t) et des tensions v(x, t)
et v(x + ∆x, t).
a) On peut faire cette approximation si la longueur d’onde
ρ=
Zc − Z
.
Zc + Z
– cas limite Z = 0 : ρ = 1 ; il y a réflexion totale sans changement de signe pour i ;
– cas limite Z → ∞ : ρ = −1 ; il y a réflexion totale avec changement de signe pour i ;
– On a ρ = 0 lorsque Z = Zc . La charge est alors adaptée à
l’impédance de la ligne.
– Expérimentalement, on accède plutôt au taux d’ondes stationnaires (TOS) mesuré en décibels.
Vmax .
TOS = Vmin – La mesure du TOS ne suffit pas pour accéder à Z car elle
ne donne que le module de Z. Pour accéder à Z, on peut
déterminer la phase des ventres.
b) Ligne quart d’onde. L = λ
4 . L’impédance équivalente à la
ligne quart d’onde refermée sur une résistance R est
λ
v − ,t
Zc A(j + ρj)
1+ρ
4
=
= Zc
.
Z eq = λ
A(j − ρj)
1−ρ
i − ,t
4
Au premier ordre non nul, la différence de marche est
∆(z) = D
Zc + R + Zc − R
Z2
= c.
Zc + R − Zc + R
R
c) Adaptation d’impédance.
Soit une ligne d’impédance Z c fermée sur une impédance Z = R purement résistive et non adaptée. On intercale une ligne quart d’onde
d’impédance Z ′c qui s’étend entre x = − λ
4 et x = 0.
r
ligne
d’impédance Z
1
0
r
@
R
@
x = −λ
4
x=0
Pour que la ligne principale d’impédance Z c soit adaptée, c’està-dire pour qu’il n’y ait pas de réflexion en bout de ligne, il faut choisir
p
Z ′c = RZc .
Une adaptation d’impédance analogue en optique est mise à profit
dans la réalisation de couches antireflet sur les surfaces des lentilles.
Problème 3 :
I.
Cohérence et visibilité des franges
=
az
.
D
−2
∆σ
−1
∆σ
0
1
∆σ
2
∆σ
3
∆σ
b) Le facteur de visibilité s’annule pour ∆ = 1 .
∆σ
σ1 et σ0 donnent des ondes en opposition de phase pour
2πσ0 ∆(z) = 2πσ1 ∆(z) + π
Cohérence temporelle
A — Introduction de la notion de cohérence temporelle
1. a) Pour une bande spectrale [σ; σ + dσ], le déphasage entre
les deux voies peut être considéré comme constant et égal à φ =
2π∆(z)
= 2πσ∆(z), à condition que ∆σ∆(z) ≪ 1. Dans ces condiλ
tions, l’éclairement dû à cette minibande spectrale est
dE(σ, z) = K (1 + cos φ) dσ.
Les vibrations émises par deux minibandes spectrales sont incohérentes entre elles ; l’éclairement résultant est la somme des
éclairements, soit
Z σ2
E(z) = K
(1 + cos 2πσ∆(z)) dσ,
σ1
soit, après intégration :
E(z) = K(σ2 − σ1 ) [1 + sinc(π∆σ∆(z)) cos(2πσ0 ∆(z)] .
La différence de marche est ∆(z) = (S2 M ) − (S1 M ), avec
a 2
−
−−
→
kS1 M k2 = D 2 + z −
= D2
2
2D 2
Facteur de visibilité V
V
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.......
.......
. ∆
..
...
−3
−2
−1
1
2
3
0
∆σ
∆σ
∆σ
∆σ
∆σ
∆σ
R
d’impédance Z
−
#
Facteur V
V
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.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ∆
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...
... ... ..... .....
...
...
.............. ........
...... ..
..
..
..
.
−3
∆σ
ligne quart d’onde
@
R
@
2D 2
(z − a/2)2
2. a)
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
...
..
...................................................................................................................
..................
....
....
...........
...
...
...
..
.
....
....
....
...
.
....
.....
.....
.....
....
....
....
............
....
′
..
..
.
...................................................................................................c
.
.
..................
....................
...
...
...
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
...
.....
.....
..
..
..................................................................................................
...
...........
...
....
...
....
.....
....
....
............
........................................................................................c
............
(z + a/2)2
b) V = sinc(π∆σ∆(z))
c) E0 = 2ki0 (σ2 − σ1 ).
soit, avec ρ = Zc − R :
Zc + R
Z eq = Zc
"
1+
(z − a/2)2
D2
!
.
soit pour
∆(z) × ∆σ = 1
ce qui correspond à la première annulation du facteur de visibilité.
c) Le cas V < 0 correspondrait à une inversion de
contraste, c’est-à-dire une figure d’interférences dans laquelle les
franges brillantes se retrouvent à la place des franges sombres et vice
versa.
d) Emax = E20 (1 + V ) et Emin = E20 (1 − V ) donc
Emax − Emin 1 + V − 1 + V
=
= V.
Emax + Emin 1 + V + 1 − V
3. a) Au voisinage de O, le contraste est maximal ; la visibilité
diminue progressivement lorsqu’on s’éloigne de O jusqu’à s’annuler
pour ∆ = 1 . La courbe z → ∆(z) étant symétrique par rapport à
∆σ
l’axe des ordonnées nous la représentons ci-dessous pour z > 0 :
Eclairement
E
G(ν) =
E0 ..... ...... ...
... ..... ..... ....
... ...... ...... ...... ...
... ..... ...... ..... ..... .
... ...... ..... ...... ...... ......
...
...
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................................................................................................................................................................................................................................................................
...
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....
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...
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...
...
..
2
1. a) s(t) =
N Z
X
n=1
de
la
notion
S(ν) =
|G(ν)|2 = g02
τ02
1 + 4π (ν − ν0 )2 τ 2
1
.
2πτ0
∆ν =
= G(ν)
N
X
e
−2πjνt′n
.
n=1
La durée T d’observation étant très grande, on peut effectuer les approximations suivantes :
Z ∞
N
N
X
X
′
′
′
e−2πjνtn |2 =
2T I ≃
|s(t)|2 dt et |
e2πjν(tp −tn ) ≃ N,
n=1
n,p=1
soit, en utilisant le théorème de Parseval :
Z ∞
Z ∞
|G(ν)|2 dν,
|S(ν)|2 dν = N
2T I ≃
−∞
−∞
ce qui permet d’écrire l’intensité spectrale sous la forme :
i(ν) =
R[g(t)] = g0 e
− τt
0
dt
2
−∞
−∞
0
0
b) La largeur à mi-hauteur de la radiation est déterminée par
de
′
G(ν)e
−( τ1 +2πj(ν−ν0 ))t
...
...
...
........
...
...
.........
...
...............
...
........
...
...
..........
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...
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................
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...
...............
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.....................................................................................................................................................................................................................................................................
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..................................................................................
.
................
ν0
ν
2ν0
G(ν)e2πjν(t−tn ) dν
−2πjνt′n
e
τ0
.
1 + 2πj(ν − ν0 )τ
soit
∞
+∞
Raie lorentzienne
|G(ν)|2
g02 τ02
2
Z
4π 2 ∆ν 2 τ02 = 1,
n=1
2. a)
−∞
On en déduit
b) L’expression précédente fait apparaı̂tre s(t) comme la
transformée de Fourier de S(ν) :
N
X
g(t)e−2πjνt dν = g0
G(ν) = g0
b) Application numérique : L’ordre d’interférences correspondant au premier brouillage est
λ0
1
1
≃
p1 =
=
= 50.
1
1
λ0 ∆σ
∆λ
−
∆λ
∆λ
1−
1+
2λ0
2λ0
Il y a donc 49 franges brillantes d’ordre positif avant le premier
brouillage. 1
B — Généralisation
cohérence temporelle
∞
soit
... .. ... .. ... ..... ..... ..... ...
... .. ... .. ... .. ... .. ... ..... ..... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... .....
... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .... ...... ....
... ..... ..... .... ..
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... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ......... ......... ........ .... .... .... ..... ......... ......... ......... ...... .......
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... .. ... .. ... .. ... .. ..... ..... ...
... .. ... .. ... .. ..... ..... ......
...... ...... ...... ...... ...... .
..... ...... ..... ..... ...
...... ..... ...... .....
..... ..... ...
..... ... .
1
∆
∆σ
E0
Z
N |G(ν)|2
.
2T
La longueur de cohérence est
L0 =
c
.
2π∆ν
La largeur de la raie est due à divers phénomènes ; dans le cas d’un
profil de raie lorentzien, l’élargissement est dû aux collisions entre
atomes, ce qui peut être étudié expérimentalement en étudiant l’influence de la pression sur la largeur de raie. Un profil de raie gaussien
correspond à un élargissement dû à l’effet Doppler, ce qui peut être
étudié expérimentalement en étudiant l’influence de la température
sur la largeur de raie. Un profil de raie réel n’est jamais parfaitement
gaussien ou lorentzien, mais l’un de ces deux caractères peut être dominant.
c) Lorsque l’on réalise des interférences, le contraste n’est pas
affecté si la différence de marche reste inférieure à la longueur de
cohérence. La perte de cohérence se fait sentir lorsque la différence de
marche atteint le même ordre de grandeur que L0 , soit
∆≃
cos 2πν0 t pour t > 0.
c
1
=
.
2π∆ν
2π∆σ
Ce résultat est en accord avec le brouillage observé pour
Train d’onde
g(t)
...
...
...
...
...
... .
...
...
...
...
... .....
...
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...
... ..... ..... .
...
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0 ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... τt
... ... .. ... .. .. ... .. ... ... ... ... ..... ......... ...... ..... ...... ..... ..... .... ... ....... .
...
... .. ... .. ... .. ... .. ..... ..... ..... ........... ..... ..... .... ..
...
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...... .
...
...
...
.
...
..
.
.
.
1
2
∆=
1
∆σ
dans le cas d’une raie à profil rectangulaire.
3. Relation entre l’intensité spectrale et le contraste des
franges
a) Pour une minibande spectrale [ν, ν + dν], l’éclairement
élémentaire est
ν∆
dE = ki(ν) 1 + cos 2π
dν
c
soit, en intégrant,
E = E1 + E2
avec







E1 =
E2 =
Z
∞
ki(ν)dν
Z−∞
∞
ν∆
ki(ν) cos 2π
dν
c
−∞
1. Il faut toutefois reconnaı̂tre le caractère académique de ce calcul ; le brouillage avec inversion de contraste obtenu ici est dû exclusivement
à la médiocrité du modèle de profil spectral choisi !
b) Dans le cas particulier important d’une raie fine centrée
sur ν0 , on peut écrire
Z ∞
∆
i(ν0 + u)cos 2π(ν0 + u)
du
E2 = k
c
−∞
soit
∆
E2 = kR ej2πν0 c
Z
∞
∆
i(ν0 + u)ej2πu c du
−∞
Introduisons l’intensité spectrale centrée normalisée
ĩ(u) = Z
et
i(ν)dν
0
Z
b
2
b
−2
az
az ′′
dz ′′
+
1 + cos 2πσ
D
d
soit, après intégration :
...
...
... ..
...
...
... ..... ... .. .
...
...
...
...
... ..... ..... .... ... .
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...
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ∆
...
... ... ....... ... ... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ................... ....... ....... ...... .... ... ..
...
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .............. ..... ... .
...
...
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ............... .
...
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..... ...... ..... .... .
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...
...
...
.... .... .... .
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...
.. .
...
..
Cohérence spatiale
A — Introduction de la notion de cohérence spatiale
1. a) La contribution d’une microsource primaire [z ′′ , z ′′ + dz ′′ ]
à l’éclairement sur l’écran est
dE(z, z ′′ ) = K(1 + cos 2πσ∆(z, z ′′ ))dz ′′
E(z) = Kb 1 + sinc πσ
ab
d
cos
2πσaz
D
.
On obtient un résultat de la forme attendue, avec
D
ab
et ǫ =
,
V = sinc πσ
d
σa
soit
V = sinc
πb
ǫ
.
c) Le calcul précédent montre que E0 = 2Kb, où K est proportionnelle à l’intensité I0 de la source ; on peut donc écrire
E0 = kbI0
où k est une constante dépendant de la géométrie du système (elle est
proportionnelle à l’angle solide sous lequel les trous S1 et S2 sont vus
depuis le point O′′ .
2. Etude graphique de la visibilité des franges
Raie gaussienne
Contrairement au modèle de la raie rectangulaire, on obtient
une visibilité qui décroı̂t de façon monotone lorsque la différence de
marche augmente.
II .
E(z) = K
∞
∆
∆
= sinc π∆ν
;
c
c
On retrouve le résultat obtenu pour la visibilité dans la question I.
d) Raie à profil gaussien : L’intensité spectrale centrée normalisée est
√
π −π( u )2
∆ν
ĩ(u) =
e
.
∆ν
Sa transformée de Fourier est, en utilisant la propriété de dilatation :
√
π
u 2
∆ν
∆
.
=
× √ × exp −
Γ
c
∆ν
∆ν
π
E
Les ondes émises par des microsources différentes sont incohérentes
entre elles ; les éclairements correspondants s’ajoutent ; l’éclairement
résultant est donc
−∞
Sa transformée de Fourier est, en utilisant le résultat de l’énoncé :
∆
1
∆
Γ
=
× ∆ν × sinc π∆ν
;
c
∆ν
c
Γ
az
az ′′
+
.
D
d
∞
Le facteur de visibilité est donc la transformée de Fourier de l’intensité spectrale centrée normalisée ĩ.
c) Raie à profil rectangulaire : L’intensité spectrale centrée
normalisée est

i
h
 1
; ∆ν
u ∈ − ∆ν
2
2
∆ν
h
i
ĩ =
∆ν
 0
u 6∈ − ∆ν
2 ; 2
soit
∆(z, z ′′ ) =
i(ν0 + u)
∆
∆
ĩ(u)ej2πu c du
=
c
−∞
On obtient, en posant Φ = Arg Γ :
2πν0 ∆
∆ cos
E = E1 1 + Γ
+
Φ
.
c c
Γ
Z
avec
0
1
2
Facteur V
V
...
...
..........
...
...
.....
...
...
....
...
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... .....
...
...
... .....
...
... .....
...
...
................................
... .....
... .........
.........
... .....
........
.............................................................................................................................................................................................................................................................................. b
.....
. .....
.
.
.
.. ...
.
... ..
... ..
... ...
......
....... ........
...
...
.........................
..
ǫ
2ǫ
3ǫ
Facteur de visibilité
V
...
...
..........
...
...
....
...
...
...
...
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...
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...
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...
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...................................................................................................................................................................................................................................................................
...
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.....
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......
... .... .....
..... ........
... ..... ....
..... .... ...................................
... ..... ...
........
.... ..... .....
..........
.......
..............
..
....
.
ǫ
2ǫ
b
3ǫ
La visibilité s’annule lorsque la largeur de la source est un multiple de l’interfrange. Lorsque la visibilité s’annule, le signe de V
change ; il y a donc inversion de contraste.
B — Généralisation de la notion de cohérence spatiale
1. a) I = (s1 (t) + s2 (t)).(s∗1 (t) + s∗2 (t)) , soit
I = (a1 (t) + a2 (t)e−jΦ ).(a∗1 (t) + a∗2 (t)ejΦ )
jΦ
∗
∗
∗
= a1 (t)a1 (t) + a2 (t)a2 (t) + a1 (t)a2 (t)e + a2 (t)a∗1 (t)e−jΦ
= I1 + I2 + a1 (t)a∗2 (t)ejΦ + a2 (t)a∗1 (t)e−jΦ
= I1 + I2 + 2R a1 (t)a∗2 (t) ejΦ
Posons
ha1 (t)a∗2 (t)i
p
.
I1 I2
h
i
p
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 R γejΦ .
γ=
On obtient
c) On peut réécrire
ZZ
2π(δ + ∆)
IS (P ) cos
dS
λ
S
ZZ
γ12 [∆(M )] =
= R [γ̃12 [∆(M )]]
IS (P )dS
S
avec
γ̃12 [∆(M )] =
2. a) On obtient l’intensité lumineuse en M en sommant les intensités lumineuses correspondant aux microsources d’aire dS autour
du point courant P de la source ; ceci s’exprime par
ZZ
IS (P ) (1 + cos Φ) dS,
I(M ) =
S
2π(δ + ∆)
désigne le déphasage entre les ondes allant de P à
où Φ =
λ
M par l’une ou l’autre des deux voies. Posons
ZZ


IS (P )dS
 I0 =
S ZZ
2π(δ + ∆)

 J(M ) =
IS (P ) cos
dS
λ
S
On peut écrire
en prenant
ZZ
IS (P )dS
S
γ̃12 [∆(M )] = e
−−→
k S1 P k ≃ d
1+
−−→
k S2 P k ≃ d
1+
(y ′′ − y1′ )2 + (z ′′ − z1′ )2
2d2
On en déduit
δ=2
2d2
y ′′ y1′ + z ′′ z1′
.
d
ZZ
dS
ZZ
IS (P )dS
S
j4π
S
′′ ′
IS (y ′′ , z ′′ )e λd (y y1 +z
ZZ
IS (P )dS
′′ ′
z1 )
dy ′′ dz ′′
.
S
d) Par définition, on a
ZZ
j4π
′′ ′
′′ ′
IS (y ′′ , z ′′ )e λd (y y1 +z z1 ) dy ′′ dz ′′ = F [IS (y ′′ , z ′′ )]
S
soit
ZZ
IS (y ′′ , z ′′ )e
j4π
′
′
(y ′′ y1
+z ′′ z1
)
λd
S
dy ′′ dz ′′ = IS
2y1′ 2z1′
,
λd λd
.
On n’obtient pas le résultat de l’énoncé, mais ce résultat conduit à
la même expression de γ12 , compte tenu de la parité de la fonction
cosinus. En reprenant l’expression de γ̃12 [∆(M )], on a donc
′
2y1 2z1′
IS
,
λd λd
.
γ̃12 (0) = ZZ
IS (P )dS
S
e) Le facteur de visibilité des franges est, au centre de la figure
d’interférences :
V = |γ̃12 (0)|.
γ̃12 (0) =
!
tandis que
(y ′′ + y1′ )2 + (z ′′ + z1′ )2
j2π∆
λ
j2π
′
′
(2y ′′ y1
+2z ′′ z1
+d∆)
λd
3. Compte tenu de la forme de IS (P ), on a
J(M )
.
γ12 [∆(M )] =
I0
−−→
−−→
b) δ = kS2 P k − kS1 P k, avec
−−→
kS1 P k2 = d2 + (y ′′ − y1′ )2 + (z ′′ − z1′ )2
soit
IS (P )e
S
soit
b) Les sources S1 et S2 sont totalement cohérentes pour
|γ| = 1 et totalement incohérentes pour |γ| = 0.
c) Pour deux sources différentes, le déphasage est aléatoire ;
il en résulte que
ha1 (t)a∗2 (t)i = 0.
Le coefficient de corrélation γ est donc nul, ce qui signifie que les
sources sont totalement incohérentes et qu’il n’y a pas d’interférences.
I(M ) = {1 + γ12 [∆(M )]}
ZZ
!
IS 0
IS 0 bB
Z
B
2
−B
2
dy ′′
Z
b
2
b
−2
dz ′′ e
j4π
′ ′′
′ ′′
(y1
y +z1
z )
λd
,
soit, en explicitant les intégrales :
2πy1′ B
2πz1′ b
γ̃12 (0) = sinc
× sinc
.
λd
λd
Compte tenu de la géométrie des trous d’Young (y1′ = 0 et z1′ = a
2 ),
il reste simplement
πab .
V = |γ̃12 (0)| = sinc
λd On retrouve bien le résultat obtenu précédemment par une méthode
plus élémentaire.