1 FONCTIONS sin, cos ET tan

FONCTIONS CIRCULAIRES
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
FONCTIONS sin, cos
ET
tan
sin x ¾ x −
π
π
π π
et
1) Que vaut − ? En déduire cos , sin
3
4
12
12
π
tan
.
12
π
π
π
2) Calculer tan , cos et sin .
8
8
8
1
On veut montrer que pour tout x ∈ [0, π] :
10
h πi
.
1) Montrer le résultat sur 0,
2
2) En déduire sans nouvelle étude de fonction que
le résultat vaut sur [0, π].
————————————–
2
————————————–
Résoudre graphiquement les inéquations suivantes
1
d’inconnue x ∈ R :
1) cos x ¾ p .
2
p
3
.
3) | tan x| ¶ 1.
2)
sin x > −
2
s′ = c,
c(x + y) = c(x)c( y) − s(x)s( y).
4) En déduire que pour tout x ∈ R :
s(x)2 + c(x)2 = 1.
————————————–
12
————————————–
5
sin
k=1
c(0) = 1.
et
montrer que : s(x − y) = s(x)c( y) − c(x)s( y).
2) En déduire que s est impaire et c paire.
3) En déduire que pour tous x, y ∈ R :
Résoudre les équations suivantes d’inconnue
x ∈ R:
1) sin x + sin(2x) = 0.
2) tan(2x) = 3 tan x.
3) 2 sin x + sin(3x)
=
0.
4) 3 tan x = 2 cos x.
p
5) cos x = 1 + 3 sin x.
6) sin x + cos x = 1 + tan
p x.
7) sin x + 2 cos(4x) = 3 cos x.
n
X
s(0) = 0
t 7−→ s(t + x)c(t + y) − c(t + x)s(t + y),
Montrer que pour tous n ∈ N et x ∈ R :
sin(nx) ¶ n | sin x|.
Simplifier :
c ′ = −s,
1) On fixe x, y ∈ R. Grâce à la fonction :
————————————–
4
Soient s, c ∈ D(R, R). On fait quatre hypothèses :
11
————————————–
3
x2
.
π
3π
π
sin k pour tout n ∈ N∗ .
k
2
2
Soit f : R −→ R une fonction deux fois dérivable. On suppose que : f ′′ + f ¾ 0. Montrer, grâce
à la fonction t 7−→ f ′ (t) sin(t − x)− f (t) cos(t − x), que
pour tout x ∈ R : f (x) + f (x + π) ¾ 0.
————————————–
————————————–
13
Montrer que pour tout n ¾ 2 :
6
Ç
Æ
p
p
π
(n−1 symboles ·).
2 cos n = 2 + 2 + . . . + 2
2
1) Étudier la fonction x 7−→ cos3 x + sin3 x.
2) Résoudre l’équation : cos3 x+sin3 x = 1
connue x ∈ R.
d’in-
————————————–
————————————–
7
14
Déterminer
l’ensemble de définition de la fonc
xπ tion x 7−→ ln tan
.
2
————————————–
1) a) Montrer que pour tous x ∈ R\2πZ et n ∈ N∗ :
n
Y
cos
k=1
8
Étudier chacune des fonctions suivantes :
tan(2x)
1)
.
x 7−→
tan x
∗∗∗
x 7−→ sin(3x) + 3 sin x.
2)
sin x
?
x
c) En déduire que pour tout x ∈ R \ 2πZ :
b) Que vaut :
p−q
p+q
cos
,
2
2
vraie pour tous p, q ∈ R et sur laquelle nous reviendrons au chapitre
∗∗∗
On pourra utiliser la relation :
sin x
x
=
x .
k
2
2n sin n
2
cos p+cos q = 2 cos
lim
x→0
lim
« Nombres complexes ».
n→+∞
n
Y
cos
k=1
sin x
x
=
,
2k
x
————————————–
9
limite qu’on note aussi :
πh
: tan x > x.
1) Montrer que pour tout x ∈ 0,
2
x
2) Montrer que la fonction x 7−→
est bijective
sin x
h
i
π
sur son image que l’on précisera.
de 0,
2
i
2) On repart de 1)a) :
n
Y
k=1
+∞
Y
k=1
cos
cos
x
sin x
.
=
2k
x
sin x
x
=
x
2k
2n sin n
2
h
π
pour tous x ∈ 0,
et n ∈ N∗ .
2
a) Composer par le logarithme, puis dériver.
i
————————————–
1
FONCTIONS CIRCULAIRES
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
i
h
π
b) En déduire que pour tout x ∈ 0,
:
2
+∞
X
k=1
2
1
x
1
1
.
tan k = −
k
2
2
x tan x
18
h
i
π π
:
Montrer que pour tout x ∈ − ,
4 4
3)
+∞ Y
k=1
1 − tan2
x
2k
=
19
x
.
tan x
20
sin(2θ ) = 2 cos θ sin θ = S2 (cos θ ) sin θ .
17π
.
6
7π
.
Arcsin cos
4
Arcsin sin
8π
.
3
‹

11π
.
Arctan tan −
4
17π
Arccos sin
.
5
3)
5)
Tracer le graphe des fonctions :
1)
x 7−→ Arctan tan x.
2) x 7−→ Arccos cos x.
3)
x 7−→ Arcsin sin x.
————————————–
Plus généralement, montrer que, pour tout n ∈ N, il
existe deux fonctions polynomiales Cn et Sn telles que
pour tout θ ∈ R :
cos(nθ ) = Cn (cos θ )
21
Montrer que pour tout x ¾ 0 :
Arctan x ¾
x
.
x2 + 1
————————————–
sin(nθ ) = Sn (cos θ ) sin θ .
22
————————————–
16
Arccos cos
1)
————————————–
cos(2θ ) = 2 cos2 θ − 1 = C2 (cos θ )
et
Simplifier :
4)
Si on note C2 la fonction x 7−→ 2x 2 − 1 et S2
la fonction x 7−→ 2x, alors pour tout θ ∈ R :
et
Déterminer
l’ensemble de définition de la fonction
p
1 − tan x
.
x 7−→
Arcsin(4x)
————————————–
2)
————————————–
15
FONCTIONS Arcsin, Arccos ET Arctan
Soit α ∈ R. On pose pour tout x ∈ ] − 1, 1[ :
f (x) = cos α Arccos x .
Simplifier :
1 − x 2 f ′′ (x) − x f ′ (x) + α2 f (x)
tout x ∈ ] − 1, 1[.
1) Etudier les variations de la fonction x 7−→ 2−x x
sur R.
sin x
2) En déduire
+ 2cos x
h π i les variations de x 7−→ 2
sur 0,
.
4
3) En déduire que pour tout x ∈ R :
pour
————————————–
23
1+ p1
2.
3 ¶ 2| sin x| + 2| cos x| ¶ 2
Étudier chacune des fonctions suivantes :
1
1
.
2) x 7−→ x Arctan
.
x
x −1
1) x 7−→ x Arctan
————————————–
————————————–
24
17
Pour tous n ∈ N et x ∈ R, on pose :
Pn (x) =
n
Y
k=0
k
cos Arctan x = p
sin 2 x .
1
1+
x2
et
sin Arctan x = p
x
1 + x2
2) Simplifier de même les expression suivantes —
où x est un réel : a)
sin 2 Arccos x .
b) sin 2 Arctan x .
c)
tan Arccos x .
d) cos 3 Arccos x .
3) Résoudre l’équation : Arctan(2x) = Arcsin x
d’inconnue x ∈ [−1, 1].
1) Montrer, après avoir exprimé P1 (x) en fonction
4
de cos x, que pour tout x ∈ R : P1 (x) ¶ p .
3 3
2) Montrer que pour tout x ∈ R :
p
sin2 x sin(2x) ¶ 3 3 .
8
————————————–
3) a) Montrer que pour tous n ∈ N et x ∈ R :
2
1) Montrer que pour tout x ∈ R :
25
2
Pn+1 (x) = sin x sin(2x)Pn−1 (4x)Pn (2x).
b) En déduire que pour tous n ∈ N et x ∈ R :
p n
3
P (x) ¶
.
n
2
————————————–
2
Simplifier les expressions suivantes — où x est
un réel :
1+ x
.
1)
Arccos(−x)+Arccos x.
2) Arctan
s 1− x
x
1− x
.
4) Arctan
3)
Arctan p
.
2
1+ x
1− x
x
5)
Arccos€th x + 2 Arctan
Š e .
p
2
6)
Arctan x + 1 − x .
1
x −1
x
7)
Arctan
+ Arctan
− Arctan
.
2
2x
x
x +1
x
Arctan e x − Arctan th .
8)
2
.
FONCTIONS CIRCULAIRES
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
2) En déduire que pour tout n ∈ N∗ :
————————————–
26
Arctan
1
1
π
= Arctan + Arctan .
1) Montrer que :
4
2
3
3
1
2) Montrer l’égalité : 2 Arccos = Arccos .
4
8
1
1
1
3) Calculer : Arctan + Arctan + Arctan .
2
5
8
4)
a) Exprimeritan(4x)h en fonction de tan x pour
π π
π
tout x ∈ − ,
+ Z.
8 8
4
b) En déduire la formule de Machin :
3) En déduire l’existence et la valeur de :
lim
n→+∞
La formule de Machin, découverte par John Machin en
1706, a longtemps servi à calculer les premières décimales de π — on sait en effet calculer assez facilement
les arctangentes comme nous le verrons plus tard. Le
résultat de la question 1) est appelé quant à lui une formule du type de Machin. Il en existe beaucoup d’autres,
π
1
1
par exemple :
= 2 Arctan + Arctan .
4
3
7
————————————–
Arctan sh x + Arccos th x
1) Simplifier :
tout x ∈ R.
th x =
2) Résoudre l’équation :
x ∈ R.
3) En déduire l’égalité :
Arctan
5
13
pour
d’inconnue
5
5
π
+ Arccos
= .
12
13
2
————————————–
28
Résoudre les équations suivantes d’inconnue x
— dans un domaine à préciser :
1)
Arcsin(2x) = Arccos x.
2)
Arcsin tan x = x.
π
3)
Arctan x + Arctan(2x) = .
4
x −1
x +1
π
4)
Arctan
+ Arctan
= .
x −2
x +2
4
π
5)
Arcsin(x + 1) − Arcsin x = .
6
————————————–
29
Arctan(k + 1) − Arctan k
1) Simplifier :
tout k ∈ N.
2) En déduire :
lim
n→+∞
n
X
Arctan
k=0
k2
pour
1
.
+k+1
————————————–
30
On appelle suite de Fibonacci la suite (Fn )n∈N
définie par F0 = 0, F1 = 1 et pour tout n ∈ N :
Fn+2 = Fn + Fn+1 .
1) Montrer que pour tout n ∈ N :
2
− Fn Fn+2 = (−1)n
Fn+1
n
X
k=0
Arctan
1
.
F2k+1
————————————–
1
1
π
= 4 Arctan − Arctan
.
4
5
239
27
1
1
1
= Arctan
+ Arctan
.
F2n
F2n+1
F2n+2
(identité de Cassini).
3