Contrôle commun -17-10-12- Terminales ES-L, 2012

Contrôle commun -17-10-12Terminales ES-L, 2012-2013, Lycée Newton
Exercice 1.
Le nombre x ∈ [1 ; 20] désigne un prix d’un article en centaine d’euros.
La fonction f représente, en fonction du prix x de l’article, la demande des clients (la quantité d’articles
qu’ils sont prêts à acheter à ce prix) . Elle est représentée en traits pleins.
La fonction g représente, en fonction du prix x d’un article, l’offre d’un vendeur (la quantité d’articles
qu’il est prêt à vendre à ce prix). Elle est tracée en trait pointillés.
nombre d’articles
8 000
7 000
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
prix en centaines d’euros
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Par lecture graphique déterminer :
(a) Les sens de variation respectifs de f et g sur l’intervalle [1; 20] (sans justifier).
(b) pour un prix de 500(, le nombre de clients non satisfaits (qui n’ont pas pu acheter l’article faute
de quantités vendues suffisantes). Expliquer brièvement.
(c) Le prix d’équilibre α : prix pour lequel l’offre et la demande sont égales (sans justifier).
(d) Le tableau de signes de f (x) − g(x) (sans justifier) sur l’intervalle [1; 20].
(e) Justifer par le calcul que g(x) = 200x + 2000 (on utilisera des points de la droite dont les
coordonnées sont simples).
2
La fonction demande f est donnée pour x ∈ [1; 20] par f (x) = 2x3 − 63x2 + 68x + 8000. Pour tout
x ∈ [1; 20], on pose d(x) = f (x) − g(x).
(a) Calculer d(5) et interpréter le résultat.
(b) Montrer que d ′ (x) = 6x2 − 126x − 132 pour x ∈ [1; 20] et dresser le tableau de variations de d
sur l’intervalle [1; 20].
(c) Démontrer que l’équation d(x) = 0 admet une solution unique α ∈ [1; 20].
(d) A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 10−2 près, puis le prix d’équilibre
à l’euro près ainsi que la quantité d’objets échangés à ce prix.
(e) En déduire, le tableau de signes de d(x) (on justifiera l’ordre des signes) et la position relative
des courbes représentatives de f et de g sur l’intervalle [1; 20].
1/2
3
On cherche à optimiser l’argent total (la recette) encaissé par les commerçants par la vente de l’article.
On note R(x) cette somme en centaine d’euros.
(a) Expliquer pourquoi, si x est le prix de l’article en centaine d’euros, on a R(x) = xf (x).
(b) A l’aide de la calculatrice et en choisissant une fenêtre adaptée, déterminer le prix, à l’euro près,
qui maximise R(x).
Exercice 2.
Soit (un ) une suite arithmétique de raison 3 et vérifiant u0 = 4.
1
2
3
Calculer u1000 .
Calculer u0 + u1 + · · · + u20 .
Etudier le sens de variaiton de cette suite.
Exercice 3.
En janvier 2012, un artisan a réalisé une recette de 2300( alors que ses frais se sont élevés à 800(. Son
bénéfice est alors de 1500(.
L’augmentation de la clientèle provoque une augmentation de la recette de 1% par mois. Cependant,
les frais augmentent dans le même temps de 2, 5% par mois.
Durant le mois d’indice n, où n est un entier naturel, on note Rn le montant de la recette, Cn le montant
des frais et Bn le montant des bénéfices, tout étant exprimé en euro.
Par convention, le mois de janvier 2012 est le mois d’indice 0, puis le mois d’indice 1 est février 2012,
etc... On a donc R0 = 2300, C0 = 800 et B0 = 1500.
1
Expression du bénéfice mensuel en fonction de n
(a) Calculer R1 , C1 et B1 .
(b) Calculer, en fonction de n, les quantités Rn et Cn .
(c) En déduire que, pour tout n ∈ N, on a : Bn = 2300 × (1.01)n − 800 × (1.025)n .
2
Variations du bénéfice mensuel
On cherche dans cette partie à se servir de la calculatrice pour observer les variations de Bn .
(a) Entrer l’expression de Bn en mode suite et donner B3 à l’euro près.
(b) A partir de quelle date la suite (Bn ) semble elle être décroissante ? (on donnera d’abord l’indice
n, puis le mois et l’année correspondants)
(c) Quelle est le premier mois de déficit de l’artisan ? (même consigne que précédemment)
3
Limite de Bn
(a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : Bn = (1, 025)
n
(b) Donner lim (1.025)n ainsi que lim
n→+∞
n→+∞
n
1.01
1.025
n
1.01
2300 ×
1.025
n
− 800
. Justifier.
1.01
− 800 .
n→+∞
1.025
(d) Expliquer alors pourquoi on a lim Bn = −∞ et interpréter le résultat.
(c) En déduire lim
2300 ×
n→+∞
4
Bénéfice total en une année.
(a) Donner la formule qui permet de calculer, en fonction de n, la recette totale cumulée sur n mois,
c’est à dire R0 + R1 + R2 + · · · + Rn .
(b) Donner la formule qui permet de calculer, en fonction de n, les frais totaux cumulés sur n mois,
c’est à dire C0 + C1 + C2 + · · · + Cn .
(c) En déduire le bénéfice total réalisé par l’artisan la première année.
www.franck-madigou.fr
Terminales ES-L, Contrôle commun
2/2