ds3correction

Classe de 1ES1
20 janvier 2012
Devoir surveillé n°3
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. L’utilisation des
calculatrices est autorisée.
Exercice 1
3 points
Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée ; il suffit de recopier sur la copie les
numéros des réponses.
1. Soit f une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal
à 0.
Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes ?
a) a > 0 et ∆ < 0. FAUX
b) a < 0 et ∆ = 0. VRAI
c) a < 0 et ∆ < 0. FAUX
d) La courbe représentatve de la fonction f coupe l’axe des abscisses en deux points. FAUX
e) L’équation f (x) = 0 admet une seule solution. VRAI
2. Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polynôme du
second degré f1 , f2 , f3 et f4 .
y
y
y
C2
0
C3
0
x
x
C1
0
x
y
0
x
C4
À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque
fonction sa courbe représentative :
f1 : a > 0 et ∆ < 0 correspond à C2 ;
f2 : a > 0 et ∆ > 0 correspond à C3 ;
f3 : a < 0 et ∆ = 0 correspond à C4 ;
f4 : a < 0 et ∆ > 0 correspond à C1 ;
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Exercice 2
3 points
Considérons la courbe C2 de l’exercice précédent. En utilisant les coordonnées du sommet de
cette parabole déterminer l’expression développée du polynôme correspondant.
La parabole C3 a pour sommet le point S de coordonnées (−2; 1) donc cette courbe correspond
à un polynôme du second degré f qui admet pour forme canonique f (x) = a(x − (−2))2 + 1
ou encore f (x) = a(x + 2)2 + 1. De plus d’après la courbe nous pouvons voir que f (0) = 3 ;
en remplaçant x par 0 nous obtenons f (0) = a(0 + 2)2 + 1 et donc 3 = 4a + 1 ce qui donne
facilement a = 0,5. Par conséquent, pour tout réel x, f (x) = 0,5(x+2)2 +1 = 0,5(x2 +4x+4)+1 =
0,5x2 + 2x + 2 + 1 = 0,5x2 + 2x + 3. Donc l’expression développée du polynôme est 0,5x2 + 2x + 3.
Exercice 3
9 points
1. Résoudre dans R l’équation suivante 2x2 + 3x − 2 = 0.
√
− 3 − 25
=
On a ∆ = b −4ac = 3 −4×2×(−2) = 25 > 0. Il y a donc deux solutions. x1 =
2×2
√
− 3 + 25 2
−8
= −2 et x2 =
= = 0,5. Par conséquent, l’équation admet deux solutions :
4
2×2
4
−2 et 0,5.
2
2
2. En déduire la factorisation du polynôme f : x 7−→ 2x2 + 3x − 2.
D’après la question précédente le polynôme se factorise sous la forme : 2(x − (−2))(x − 0,5) =
2(x + 2)(x − 0,5).
3. Résoudre dans R l’équation 5x2 − 9x + 3 = −4x2 + 3x − 1.
Cette équation est équivalente à 9x2 − 12x + 4 = 0. On trouve facilement ∆ = 0 et donc cette
b
− 12 12 2
équation admet une seule solution x = − = −
=
= .
2a
2 × 9 18 3
4. Résoudre dans R les inéquations suivantes :
a) −6x2 − x + 2 6 0
2
On a ∆ = 49 > 0 donc il y a deux solutions qui après calculs sont x1 = 0,5 et x2 = − .
3
Comme a = −6 < 0, nous obtenons le tableau de signe :
x
−∞
−6x − x + 2
−
2
+∞
− 23 0,5
0 +0 −
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’inéquation est ] − ∞; − 23 ] ∪ [0,5; +∞[.
b)
x2 − 2x
> 0 On voit assez facilement que le polynôme x2 − 2x s’annule en 0 et en 2. On
x−1
obtient le tableau de signe :
x
−∞
x − 2x
+
x−1
−
x2 −2x
−
x−1
2
0 1 2
0− −0
−0+
0+ −0
+∞
+
+
+
Par conséquent l’ensemble des solutions de l’inéquation est ]0; 1[∪]2; +∞[.
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Exercice 4
5 points
Une entreprise fabrique un produit ≪ Bêta ≫. La production mensuelle ne peut pas dépasser
15 000 articles.
Le coût total, exprimé en milliers d’euros, de fabrication de x milliers d’articles est modélisé
par la fonction C définie sur ]0; 15] par :
C(x) = 0,5x2 + 0,6x + 8,16
La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée dans l’annexe ci-dessous
à rendre avec la copie.
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 e.
1. Qu’est ce qui est plus avantageux pour l’entreprise fabriquer et vendre 4 000 articles ou
fabriquer et vendre 12 000 articles ?
Coût de fabrication de 4000 articles : C(4) = 18,56 milliers d’euros.
Vente de 4000 articles : 32 milliers d’euros.
Bénéfice pour 4000 articles vendus : 13,44 milliers d’euros.
Coût de fabrication de 12000 articles : C(12) = 87,36 milliers d’euros.
Vente de 12000 articles : 96 milliers d’euros.
Bénéfice pour 8000 articles vendus : 8,64 milliers d’euros.
Il vaut donc mieux fabriquer et vendre 4000 articles.
2. On désigne par R(x) le montant en milliers d’euros de la recette mensuelle obtenue pour la
vente de x milliers d’articles du produit ≪ Bêta ≫. On a donc R(x) = 8x.
a) Tracer dans le repère donné en annexe la courbe D représentative de la fonction recette.
C’est la droite rouge.
b) Par lecture graphique déterminer :
– l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l’entreprise réalise un
bénéfice positif ;
L’entreprise réalise un bénéfice positif entre 1200 et 13600 articles vendus.
– la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.
On a à peu près x0 ≃ 7.
3. On désigne par B(x) le bénéfice mensuel, en milliers d’euros, réalisé lorsque l’entreprise produit
et vend x milliers d’articles.
a) Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d’euros, lorsque l’entreprise produit et vend x
milliers d’articles, est donné par B(x) = −0,5x2 + 7,4x − 8,16 avec x ∈ ]0; 15].
C’est évident car B(x) = 8x−C(x) = 8x−(0,5x2 +0,6x+8,16) = 8x−0,5x2 −0,6x−8,16 =
−0,5x2 + 7,4x − 8,16.
b) Étudier le signe de B(x). En déduire la plage de production qui permet de réaliser un
bénéfice (positif).
2
On a ∆ = 7,4
et donc nous trouvons deux valeurs
√
√ − 4 × (−0,5) × (−8,16) = 38,44
− 7,4 + 38,44
− 7,4 − 38,44
= 13,6 et x2 =
= 1,2.
x1 =
2 × (−0,5)
2 × (−0,5)
D’où le tableau de signe de B(x) car a = −0,5 < 0.
x
0
B(x)
−
1,2 13,6
15
0+ 0
−
On a donc confirmation par le calcul que la plage de production qui permet de réaliser un
bénéfice positif est [1,2; 13,6].
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c) Étudier les variations de la fonction B sur ]0; 15].
En déduire le nombre d’articles qu’il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un
bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
Soit B(x) = −0,5x2 + 7,4x − 8,16 ; nous avons −
b
= 7,4 et a = −0,5 < 0 ; de plus,
2a
f (7,4) = 35,54.
Par conséquent, nous trouvons le tableau de variation suivant :
x
0
B(x)
−8,16
7,4
15
19,22
@
@
R
@
−9,66
Donc la fonction B est croissante sur ]0; 7,4] et décroissante sur [7,4; 15]. Il faut donc
fabriquer et vendre 7400 articles pour obtenir un bénéfice maximal de 35540 euros.
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annexe
Γ
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
page 5/ 5
8
9
10
11
12
13
14
15