Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton

Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton
n
n
k
"n # $, ( a + b) = %C n a k b n&k
Objectif : montrer par récurrence que
k= 0
n
n
k
Notations : ( a + b) = "C n a k b n#k
k= 0
!
n!
k
C n = k! (n " k )!
!
→ n=0
#C
k
0
k= 0
!
!
!
0
!
sera noté HRn (hypothèse de récurrence)
0
a k b 0"k = C 0 a 0 b 0 = 1
→ Soit n " # , n fixé.
et
(a + b)
0
HR0
!
!
Supposons que : HRn
d’où
=1
est vraie
n +1
n +1
k
correspond à
!Montrons que… : HR
= %C n +1 a k b( n +1)$k }
n +1 est vraie { HRn +1 " " ""# ( a + b)
!
k= 0
!
n +1
n
n
n
On remarque que : ( a + b) = ( a + b)( a + b) = a( a + b) + b( a + b)
!
!
D’une part
!:
n
n
k
b( a + b) = #C n a k b( n +1)"k
(1)
k= 0
D’autre part :
!
n
n
k
a( a + b) = #C n a k +1 b n"k
et on fait le changement de variable : l = k + 1
k= 0
n
n +1
l"1
ce qui donne : a( a + b) = #C n a l b( n +1)"l
!
l=1
!
l étant une variable muette, on peut très bien remettre la lettre k en variable
c’est-à-dire
! :
!
n
n +1
k"1
a( a + b) = #C n a k b( n +1)"k
k=1
(2)
!
Par (1) et (2), on obtient :
n +1
n
!
n +1
n
n
k"1 k ( n +1)"k
a
+
b
=
a
a
+
b
+
b
a
+
b
=
a
b
+
(
)
(
) (
) #C n
#C kn ak b( n +1)"k
k=1
!
k= 0
Enlevons le terme k = n + 1 de la première somme et le terme k = 0 de la deuxième somme :
n
n
k=1
k=1
k
!( a + b) n +1 = C nn a n +1 b 0 + C 0n a 0 b n +1 + #C!k"1
a k b( n +1)"k + #C n a k b( n +1)"k
n
Les deux premiers termes valent respectivement a n +1 et b n +1 , et on peut désormais réunir les
deux sommes :
!
(a + b)
n +1
= a
n +1
!
!n
n +1
+ b +#
k=1
[C + C ] a
k"1
k
n
n
k
b( n +1)"k
Pour simplifier ce qu’il y a entre crochets, on utilise la formule de Pascal :
!
C
k"1
n
k
k
+ C n = C n +1
Ici, notre objectif est d’obtenir l’expression HRn +1 . Seules les bornes de la somme ainsi que
les deux termes a n +1 et b n +1 posent problème ici…
!
On remarque alors astucieusement que l’on peut écrire :
!
!
!
n +1
0
a n +1 = C n +1 a n +1 b( n +1)"( n +1) et b n +1 = C n +1 a 0 b( n +1)"0
ce qui nous permet de rajouter les termes correspondant aux bornes k = 0 et k = n + 1, super !
!
!
D’où :
!
(a + b)
n +1
n +1
k
= #C n +1 a k b( n +1)"k
!
( ce n’est autre que HRn +1 )
k= 0
!
!
Conclusion :
HR0 est vraie
pour un n fixé et quelconque, on a montré : HRn " HRn +1
!
!
! :
Par le principe de récurrence, on peut donc affirmer que
n
n
k
"n # $, ( a + b) = &C n a k b n%k
k= 0
!
(binôme de Newton)