Pression atmosphérique en fonction de l`altitude

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Pression atmosphérique en fonction de l'altitude
1.
Formule barométrique (atmosphère isotherme)
1.1 Poser l'équation différentielle
altitude
z+h
z
Notons Ρ la masse volumique moyenne de l'air entre les altitudes z et z+h. D'après la loi de la croissance de la pression, la
pression à l'altitude z est

p HzL = p Hz + hL + Ρ g h
d'où
p Hz + hL - p HzL

=-Ρg
h
Passons à la limite h®0
dp
dz
= - Ρ HzL g
où Ρ(z) désignme la densité de l'atmosphère à l'altitude z. Calculons Ρ en supposant qu'il s'agit dun gaz parfait et que
l'atmosphère est isotherme
pV = nRT
Ρ=
m
=p
V
m
1
=p
n RT
M
RT
où
M =
m
n
désigne la masse molaire de l'air. L'équation différentielle avec condition initiale de la fonction
z È -- > p HzL
s'écrit alors
dp
dz
=-p
Mg
RT
p H0L = p0
où
Mg
= constante
RT
1.2 Résoudre l'équation différentielle
et
p0 est donné
2
pression-altitude.nb
1.2 Résoudre l'équation différentielle
L'équation différentielle est de la forme
p' = a p
où
a=-
Mg
RT
est constant. Il s'agit donc d'une équation différentielle du premier ordre linéaire homogène à coefficient constant.
On utilise la méthode de la séparation des variables. Sous l'hypothèse p > 0,
dp
=-
dz
à
1
Mg
p
RT
Mg
âp = -
p
ln HpL = -
RT
Mg
à âz
z+k
RT
où la constante d'intégration k est déterminée à partir de la condition initiale (pour z = 0, on a p = p0 )
ln Hp0 L = k
En substituant la valeur de k, on obtient
ln HpL = ln Hp0 L p = exp ln Hp0 L p HzL = p0 ã
Mg
-RT
Mg
z
RT
Mg
Mg
z
RT
-RT z
= p0 ã
z
L'hypothèse T=constante (15 °C) étant peu réaliste, la formule barométrique ne peut être utilisée que pour de petites valeurs
de z.
Pour mieux tenir compte des conditons actuelles et locales, dans le cas où on connaît la pression actuelle p1 en un lieu
proche d'altitude z1 , on utilise de préférence la formule
p HzL = p1 ã
- R T Hz-z1 L
Mg
Valeurs numériques des constantes et unités
p = pression en pascals
z = altitude en mètres
p0 = 101 325 Pa;
M = 28.966 10-3 kg mol-1 ; g = 9.805 m s-2 ;
R = 8.314510 J mol-1 K -1 . J ® kg m2 s-2 ; T = H15 + 273.15L K; -
Mg
RT
0.000118544
m
p HzL = 101 325 Pa ã-
0.00012
m
z
1.3 Pression atmosphérique [en Pa] en fonction de l'altitude [en m]
1.3 Pression atmosphérique [en Pa] en fonction de l'altitude [en m]
Clear@pD; p@z_D := 101 325 ã-0.00012 z ;
format@p_D := Hsp := ToString@Round@pDD; sl := StringLength@spD;
Do@sp = " " <> sp, 8i, sl, 8<D; StringTake@sp, 81, sl - 3<D <> " " <> StringTake@sp, -3DL
TableForm@Table@format@Round@p@i + jDDD, 8i, 0, 1000, 1000<, 8j, 0, 900, 200<D,
TableHeadings ® 8Map@format, Range@0, 1000, 1000DD, Map@format, Range@0, 900, 200DD<D
0
1 000
2.
0
101 325
89 867
200
98 922
87 736
400
96 576
85 655
600
94 286
83 624
800
92 050
81 641
Modèle d'atmosphère standard avec gradient de température constant
Formule du nivellement barométrique
2.1 Hypothèse du gradient de température constant
La température diminue avec l'altitude. Malheureusement, le gradient de température varie selon les conditions climatiques
et météorologiques. Dans ce modèle, on considère que la température T décroît linéairement avec l'altitude z
T HzL = T0 - a z
et on choisit un gradient de température typique, par exemple
a = 6.5 10-3 K m-1
On décrit ainsi un état moyen de l'atmosphère, sans tenir compte de son état réel.
2.2 Intégration de l'équation différentielle
En substituant T dans l'équation différentielle avec condition initiale
dp
=-p
dz
Mg
RT
p H0L = p0
on obtient
dp
Mg
dz
R HT0 - a zL
1
Mg
=-p
En séparant les variables
à
âp = -
p
R
à
1
âz
T0 - a z
Sous l'hypothèse p > 0,
ln HpL = -
Mg
-
R
1
a
ln HT0 - a zL + k =
Mg
Ra
ln HT0 - a zL + k
où la constante d'intégration k est déterminée par la condition initiale (pour z = 0, on a p = p0 )
ln Hp0 L =
Mg
Ra
k = ln Hp0 L En substituant
la valeur de k

ln HT0 L + k
Mg
Ra
ln HT0 L
3
4
En substituant la valeur de k
Mg
Ra
ln HpL =
ln HT0 - a zL + ln Hp0 L ln Hp0 L +
Mg
ln
Ra
ln HT0 L = ln Hp0 L +
= ln Hp0 L + ln
T0 - a z
Ra
p HzL = p0
Mg
T0
T0 - a z
Mg
Ra
H ln HT0 - a zL - ln HT0 LL =
T0 - a z
Mg
Ra
T0
Mg
Ra
T0
p HzL = p0 1 -
Mg
Ra
a
z
T0
Cette dernière formule, appelée Formule du nivellement barométrique, peut être utilisée, avec prudence, jusque vers
environ 12 000 m d'altitude.
Pour mieux tenir compte des conditons actuelles et locales, dans le cas où on connaît la pression actuelle p1 en un lieu
proche d'altitude z1 , on utilise de préférence la formule
p HzL = p1 1 -
a
T0
Hz - z1 L
Mg
Ra
2.3 Valeurs numériques des constantes et unités
p = pression en pascals
z = altitude en mètres
p0 = 101 325 Pa;
a = 6.5 10-3 K m; T 0 = H15 + 273.15L K;
a
T0
0.0000225577
m
M = 28.966 10-3 kg mol-1 ; g = 9.805 m s-2 ; R = 8.314510 J mol-1 K -1 . J ® kg m2 s-2 ;
5.25516
Numériquement,
p HzL = 101 325 I1 - 2.25577 10-5 zM
Clear@pD; p@z_D := 1013.25 I1 - 2.25577 10-5 zM
5.255
5.255
Mg
Ra
2.4 Table numérique de la pression atmosphérique moyenne en hPa, en fonction de
l'altitude de -500 m à 12400 m
tabelle =
TableForm@Table@PaddedForm@p@i + jD, 88, 2<D, 8i, -500, 12 000, 500<, 8j, 0, 400, 100<D,
TableHeadings ® 8Map@PaddedForm@ð, 5D &, Range@-500, 12 000, 500DD,
Map@PaddedForm@ð, 7D &, Range@0, 400, 100DD<,
TableSpacing ® 81, 3<D; Export@"pression_atm.html", tabelleD; tabelle
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
11000
11500
12000
0
1074.76
1013.25
954.62
898.76
845.59
794.98
746.86
701.13
657.69
616.45
577.34
540.26
505.13
471.87
440.41
410.67
382.58
356.06
331.05
307.49
285.30
264.42
244.80
226.38
209.09
192.89
100
1062.23
1001.30
943.23
887.92
835.26
785.16
737.53
692.26
649.27
608.46
569.76
533.08
498.33
465.44
434.33
404.92
377.15
350.94
326.23
302.94
281.02
260.40
241.02
222.83
205.77
189.78
200
1049.81
989.46
931.95
877.18
825.04
775.44
728.29
683.48
640.93
600.56
562.27
525.97
491.60
459.07
428.31
399.24
371.78
345.88
321.46
298.45
276.79
256.43
237.29
219.33
202.48
186.70
300
1037.50
977.73
920.78
866.54
814.92
765.82
719.14
674.79
632.69
592.73
554.85
518.95
484.95
452.78
422.36
393.62
366.48
340.88
316.74
294.01
272.62
252.50
233.61
215.87
199.24
183.67
400
1025.32
966.12
909.72
856.01
804.90
756.29
710.09
666.20
624.53
585.00
547.51
512.00
478.38
446.56
416.48
388.07
361.24
335.94
312.09
289.63
268.49
248.63
229.97
212.46
196.05
180.68
Liens hypertextes
vers Wikipedia
Pour des compléments d'information sur la Formule du nivellement barométrique, voir
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_nivellement_barom%C3%A9trique
vers la page mère: Tables numériques de l'atmosphère en fonction de l'altitude
Physique dans la culture générale > Température, pression et masse volumique de l'atmosphère, température d'ébullition de
l'eau
http : //www.deleze.name/marcel/physique/TemperaturesEbullition/index.html
vers: Modèle du nivellement barométrique
Applications des mathématiques > Température, pression et masse volumique de l'atmosphère, température d'ébullition de
l'eau
http://www.deleze.name/marcel/sec2/applmaths/pression-altitude/index.html
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