L3` : Simplifier et Réduire une fraction. I Rappels : Propriété
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L3` : Simplifier et Réduire une fraction. I Rappels : Propriété
L3’ : Simplifier et Réduire une fraction. I Rappels : Propriété fondamentale des fractions et simplifications Propriété fondamentale des fractions : Si l’on multiplie (ou bien si l’on divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre différent de 0, on obtient une autre écriture fractionnaire égale à la première. Numérateur = nombre de parts coloriées Dénominateur = nom du partage Cela veut simplement dire que, couper de la même manière toutes les parts d’un partage équitable ne change pas ce partage. a b k k a b a b k k = 3 4 C'est à dire a b = 3 4 2 6 = 2 8 II Nombres premiers : Définition d’un nombre premier : Un entier est premier s’il n’est divisible que par lui-même et par 1. Exemple : 7 n’est divisible que par 1 et par 7 donc c’est un nombre premier. 6 n’est pas premier car il est divisible par 2 et 3. Définition de deux nombres premiers entre eux : Deux entiers sont dit premiers entre eux s’ils ont 1 comme seul diviseur commun. Exemple : 12 et 7 ont pour seul diviseur commun 1 donc ils sont premiers entre eux. Propriété : SI PGCD ( a ; b ) = 1 ALORS a et b sont premiers entre eux. III Fractions irréductibles : Définition : Une fraction est irréductible lorsqu’on ne peut la simplifier davantage, c’est à dire si le seul diviseur commun au numérateur et au dénominateur est 1 autrement dit si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. Propriétés : En simplifiant une fraction a b par PGCD ( a ; b ) , on obtient une fraction irréductible. Exemple : 4 et 7 sont premiers entre eux, donc 4 est une fraction irréductible. 7 (PGCD (4 ; 7 ) = 1 ) Exemple : le PGCD(24 ;36) = 12. En simplifiant par 12 la fraction La fraction 24 , on obtient : 36 24 24 12 2 = = . 36 36 12 3 2 est irréductible. 3 IV Technique pour réduire une fraction : On veut réduire A = 2 470 3 230 1) On commence par simplifier la fraction en utilisant les critères de divisibilité. 2 470 2470 ÷ 10 247 = = 3 230 3230 ÷ 10 323 A= a – bq = r Étapes a b r 1 323 247 76 323 – 247 1 = 76 2 247 76 19 247 – 76 3 = 19 3 76 19 0 76 – 19 Donc A = 247 19 13 = 323 19 17 4=0 2) Puis on calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur par l’algorithme d’Euclide. 3) En simplifiant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, la fraction obtenue sera irréductible. L8’ Exercices : 117 8 et B = - . 63 7 1. Expliquer pourquoi la fraction A n’est pas irréductible. Exercice N°1 : Soient les nombres A = 117 et 63 sont divisibles par 9 (car 1 + 1 + 7 = 9 et 6 +3 = 9) donc A est simplifiable. 2. Simplifier cette fraction pour la rendre irréductible. A= 117÷9 13 = 63 ÷9 7 13 et 7 sont premiers entre eux car ils n’ont que 1 comme diviseur commun, Donc A = 13 est irréductible. 7 3. Montrer, en indiquant les étapes de calcul, que A – B est un nombre entier. A–B= 8 117 – −7 63 = 13 8 + 7 7 = 13 + 8 = 21 7 7 donc A – B = 3. Exercice 2 : 1. a. Calculer le PGCD des nombres 125 et 75 en utilisant l’algorithme d’Euclide. Etapes 1 2 3 a 125 75 50 b 75 50 25 Restes 50 25 0 donc : PGCD ( 125 ; 75 ) = 25 b. En déduire la forme irréductible de la fraction 75 125 75÷25 3 75 = = 125 125÷25 5 2. De la même façon, simplifier les fractions suivantes pour les rendre irréductibles : a. 98 56 Etapes Restes a b 1 98 56 42 2 56 42 14 donc : PGCD ( 98 ; 56 ) = 14 3 42 14 0 98 98÷14 7 Donc : = = 56 56÷14 4 b. 441 762 617 848 Etapes a 617 848 441 762 176 086 89 590 86 496 3 094 2 958 136 102 b 441 762 176 086 89 590 86 496 3 094 2 958 136 102 34 c. 786 591 609 024 Etapes a 1 786 591 2 609 024 3 177 567 4 76 323 5 24 921 6 1 560 7 1 521 b 609 024 177 567 76 323 24 921 1 560 1 521 39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Restes 176 086 89 590 86 496 3 094 2 958 136 102 34 0 donc : PGCD ( 617 848 ; 441 762 ) = 34 441 762 441 762÷34 12 993 Donc : = = 617 848 617 848÷34 18 172 Restes 177 567 76 323 24 921 1 560 1 521 39 0 donc : PGCD ( 786 591 ; 609 024 ) = 39 Donc : 786 591 786 591÷39 20 169 = = 609 024 609 024÷39 15 616 Exercice 3 : Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible a. 3 + 8 b. 1 – 15 c. 19 + 14 d. 4 – 11 12 10 18 36 15 10 a. 3 + 8 3 8 3 3 8 ÷4 9 + 2 11 = + = + = = 11 12 1 12 1 3 12÷4 3 b. 1 – 15 1 15÷5 2 3 2 – 3 1 = – = – = =– 1 10 ÷5 2 2 2 10 2 c. 19 14 19 14÷2 19 7 19 + 7 26 13 + = + = + = = = 18 18 9 18 36 18 36÷2 18 18 d. 25÷5 4 11 4 2 11 3 8 33 25 5 – = – = – =– =– =– 15 30 30 30÷5 2 10 3 15 10 30 6 le premier multiple commun de 15 et 10 est 30 car : Multiples de 15 : 15 ; 30 ; 45 …. Multiples de 10 : 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; ….. IV Ce que j’ai appris à faire : Exercices – cours L8 Reconnaitre la divisibilité d’un nombre par un autre. Critères de divisibilité (chap I) Labomep : L8_PGCD et FRACTION Ex 1 Calculer du PGCD de deux nombres par l’algorithme d’Euclide. Reconnaître deux nombres premiers entre eux Ex 1, 24, 3, 5, 6, 7 et 48 Ex 2, 3 et 4 Ex 4 et 5 Ex 4 Savoir résoudre des problèmes relevant de la divisibilité de deux nombres par un autre. Pb 1, 2, 3, 30 Ex 5 Exercices – cours L8’ Rendre irréductible un calcul fractionnaire. Ex 1,2 et 3 Exercices – cours L8’’ Evaluation Vous Prof Labomep L8’: Evaluation L8’_Simplifier, Réduire Vous Prof des fractions Ex 2,3 Savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser deux fractions. Voir Rappel Labomep L8’’: L8’’_FRACTION Ex 1,2 et 3 Rendre irréductible un calcul fractionnaire. Ex 5, 6 et 48 Ex 4 Savoir effectuer une série de calculs fractionnaires en suivant l’ordre des priorités opératoires. Ex 6 et 48 Ex 5 et 6 Evaluation Vous Prof