( ) z - Math93

(a ;b) ∈ IR²
z = a + i b (forme algébrique)
 z = r (cos(θ) + i sin (θ))

(f. trigo.)
 z = [r ,θ]
iθ
z = r e (forme exponentielle)
------------------------------------------------------------r = z = module de z = a² + b²
z : affixe du point M
→ →
θ = arg(z) = ( u , OM ) (z ≠o)
def. par
a = Re(z) partie réelle du nombre complexe z
b = Im(z) partie imaginaire du nombre compl. z
 cos(θ) = a
r

b
sin(θ) =
r

Vecteurs et distances
→
→
z affixe de OM
: on note OM
(z)
Distance OM = z
→
→
(zB – zA) affixe de AB : on note AB (zB – zA)
Distance AB = zB - zA
Conjugué : −z = a - ib M(−z) symétrique de M(z) par rapport à (Ox)
→ →
arg(zB-zA) = ( u , AB ) (2 π)
→ →
z
) = (OM’, OM ) (2 π)
z’
Lieux
arg(
zz’= −z −z’
 
Module : r = z
 = module de z =
−z = z
z = (−z )n
n
a² + b² (r =z = distance OM)
z=0

M appartient à l’axe des imaginaires purs ssi :  ou arg(z) = π (π)
2

M appartient au cercle C( centre A(zA) ; rayon r) ssi
AM = r
donc
ssi
z - zA=r
Pour M(z) distinct de A(zA) et B(zB)
→ →
z -z
π
si arg( B ) = ( MA , MB ) = (π)
alors M ∈ au cercle C de diamètre [AB] privé de A et B.
zA-z
2
→ →
z -z
π
si arg( B ) = ( MA , MB ) = (2π) alors M ∈ un arc AB du cercle C privé de A et B.
zA-z
2
→ →
zB-z
) = ( MA , MB ) = 0 (π)
zA-z
→ →
z -z
si arg( B ) = ( MA , MB ) = 0 (2π)
zA-z
si arg(
si
−
z=z
zz’=zz’
-z=z z =z
n
n
(n ∈ ZZ)
z
z
 =
z’
z’
z’ non nul
→
z+z’≤z+z’ z= 0
ssi
z=0
→
Argument (z ≠o et z’ ≠o) : arg(z) = θ = ( u , OM) def. à 2 π près o n’a pas d’argument
arg(−z) = - arg(z) (2π)
arg(zz’) = arg(z)+ arg(z’) (2π)
arg(- z) = π +arg(z) (2π)
arg(zn) = n×arg(z) (2π) (n ∈ ZZ)
1
) = - arg(z) (2π)
z
z
arg( ) = arg(z)- arg(z’) (2π)
z’
i ( θ+θ’)
zz’=[ rr’,θ+θ’] = rr’ e
1 1
1
= [ , -θ] = e-i θ
z
r
r
z = =[ r ,nθ] = r e
(n ∈ ZZ)
z
r
r i (θ-θ’)
= [ ; θ-θ’] = e
z’
r’
r’
n
n
n
i ( nθ)
→ →
zB-z
) = ( MA , MB ) = π (2π)
zA-z
z-z
AM
 A=
=1
z-zB BM
alors M ∈ à la droite (AB) privée de A et B.
alors M ∈ à la droite (AB) privée du segment [AB]
alors M ∈ au segment [AB] privé de A et B.
alors M∈ à la médiatrice du segment [AB].
→ →
→
Pour M(z) distinct de A(zA), on pose v vecteur tel que ( u , v )= θ (2 π)
→ →
Si arg(z-zA) = ( →
u , AM ) = θ (π)
→
Si arg(z-zA) = ( u , AM ) = θ (2π)
→
alors M ∈ à la droite (A, v ) privée de A.
→
alors M ∈ à la demi-droite (A, v ) privée de A.
Transformations du plan (k réel non nul)
arg(
θ]= = r ei θ et z’ = [r’;θ
θ’] = r’ ei θ’ (z et z’ non nuls)
Bilan : z = [r;θ
z -z
AB
 B A=
zD-zC CD
→ →
z -z
arg( B A) = ( CD , AB )
zD-zC
z=0

M appartient à l’axe des réels ssi : 
 ou arg(z) = 0 (π)
si arg(
−
 z = −z
z’ z’
z+z’= −z+−
z’
Interprétation géométrique : M(z) M’(z’) distincts et A(zA) …..
→
t : translation de vecteur u (z0) :
M’= t(M) ssi
r : rotation de centre A(zA),d’angle α:
M’= r(M) ssi
h : homothétie de centre A(zA), de rapport k :
M’= h(M) ssi
(la symétrie centrale est une rotation d’angle π)
z’= z + z0
z’- zA= ei α(z – zA)
z’- zA= k(z – zA)
rappel sur les angles (tout est mod 2 π et les vecteurs sont non nuls)
→ →
→ →
→
→
u , u→
)= o →
( v →
, u )= - ( u , v )
( →
(-→
u ,→
- v )= →
( u →
, v ) → →
( u , w ) + ( w , v ) = ( u , v ) (Chasles)
→ →
→
→
(- u , v )= π + ( u , v )