5.2 représentation de nyquist

Asservissements linéaires
Représentations graphiques
5.2
REPRÉSENTATION DE NYQUIST
5.2.1 Définition
Le diagramme de Nyquist est la représentation la plus immédiate de la fonction
complexe réponse harmonique: on reporte dans le plan la partie réelle selon l'axe horizontal
et la partie imaginaire selon l'axe vertical.
G ( j ω ) = Re(ω ) + j Im(ω )
(5.2)
5.2.2 Méthode de tracé
Pour obtenir le tracé du diagramme de Nyquist, on se sert habituellement d'un outil
logiciel. On rappellera cependant la procédure qui permet d'obtenir rapidement un tracé
manuel approximatif, et qui a pendant longtemps été la seule possible: on calcule certaines
valeurs remarquables, puis on interpole "à l'œil" entre elles. La première étape est un calcul
littéral qui permet d'exprimer – à partir de la fonction de transfert – la réponse harmonique
sous forme d'un nombre complexe: partie réelle et partie imaginaire .On prend un exemple.
G0 ( s ) =
(1 − 3 s)(1 + 20 s)
(1 + s)(1 + 2 s)(1 + 10 s)
G0 ( j ω ) =
(5.3)
(1 + 249 ω 2 − 2260 ω 4 ) + j 4 ω (1 − 326 ω 2 + 300 ω 4 )
(5.4)
(1 − 32 ω 2 ) 2 + (13 − 20 ω 2 ) 2 ω 2
On calcule ensuite les valeurs limites pour les pulsations qui tendent vers zéro ou infini.
Ensuite, on recherche les intersections avec les axes: on recherche les pulsations qui annulent
la partie réelle ou la partie imaginaire. On peut encore s'aider en calculant la valeur de G0(j ω)
pour quelques pulsations particulières selon (5.4). Autrefois, on appliquait encore les
connaissances du calcul complexe pour déterminer des extrêma de la partie réelle, de la partie
imaginaire, du module ou de l'argument. On calculait même des intersections avec des droites
passant par l'origine, correspondant à une valeur particulière d'argument. On a appliqué cette
méthode à l'exemple (5.3), mais on ne donne pas ici le détail des calculs.
Fig. 5.2 Diagramme de Nyquist de la fonction de transfert (5.3).
Jean-Marc Allenbach
5–2
021008
Asservissements linéaires
Représentations graphiques
Deux inconvénients sont à mentionner pour ce mode de représentation: il faut reporter sur la
courbe les valeurs de ω et la définition est faible pour les pulsations élevées.
5.2.3 Assistance de tracé par ordinateur
Pour obtenir le tracé de Nyquist, la fonction MATLAB nécessaire est facile à mémoriser:
>> nyquist(num,den,omega)
On doit définir auparavant la plage de fréquence en créant le vecteur omega car on ne
parcourt pas toute la plage de 0 à ∞ : on précise les bornes, le nombre de points et leur
répartition (linéaire ou logarithmique). Les variables num et den sont des vecteurs qui
contiennent les coefficients des polynômes développés numérateur N0(s) et dénominateur
D0(s) de la fonction de transfert à étudier. Les coefficients sont écrits dans l’ordre décroissant
des puissance de s. On peut aussi introduire numérateur et dénominateur sous forme de
variable symbolique comme en (5.3).
>> No='(1–3*s)*(1+20*s)';
>> Do='(1+s)*(1+2*s)*(1+10*s)'
>> syms s;
>> Nfact=sym(No);%Conversion de variable ‘string’ en 'symbolic'
>> Dfact=sym(Do);%
>> omega=logspace(-1,2,500); %Plage de pulsation
>> Ndev=expand(Nfact);%Développement du polynôme symbolique
>> Ddev=expand(Dfact);
>> num=[sym2poly(Ndev)];Conversion du polynôme symbolique en vecteurs de ses coefficients
>> den=[sym2poly(Ddev)];
>> [RE,IM,W]=nyquist(num,den,omega);
On a développé au Laboratoire d'Automatique de l'eig un programme affnyq qui
contient tout cet environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat. En outre, on
affiche sur le même graphique le cercle–unité et la droite définie par la marge de phase
recherchée. La notion de la marge de phase est définie au chapitre suivant (§ 6.3.3).
1
(1-3*s)*(1+20*s)
D iagram m e de N yquist : G o (s)= ----------------------------------------------(1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Fig. 5.3 Tracé de Nyquist (5.3) obtenu avec affnyq.
Jean-Marc Allenbach
5–3
021008