14 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode - webwww03

eivd
14
Régulation automatique
Lieu de Nyquist et diagramme de Bode
14.1
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
G (s) =
K
Y (s)
=
U (s)
s · (1 + s · T )
pour K = 10 et T = 1 [s] :
Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
60
gain [dB]
40
20
0
−20
−40
−60
−2
10
−1
10
0
10
0
10
10
1
10
2
1
10
phase [degré]
0
−45
−90
−135
−180
−2
10
−1
10
10
ω [rad/s]
2
f_ra_14_1_1.eps
Lieu de Nyquist :
Diagramme de Nyquist
0
−100
−200
−300
Im
−400
−500
−600
−700
−800
−900
−1000
−10
−9
−8
−7
−6
−5
Re
−4
−3
−2
−1
0
f_ra_14_1_2.eps
Corrigé des exercices
42
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Régulation automatique
14.2
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
G (s) =
Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
20
gain [dB]
Y (s)
(1 + 10 · s)
=
U (s)
(1 + s) · (1 + 3 · s)
0
−20
−40
−2
10
−1
10
0
10
0
10
10
1
10
2
1
10
phase [degré]
90
45
0
−45
−90
−2
10
−1
10
10
ω [rad/s]
2
f_ra_14_2_1.eps
Lieu de Nyquist :
Diagramme de Nyquist
1
0.5
Im
0
−0.5
−1
−1.5
0
0.5
1
1.5
Re
2
2.5
3
f_ra_14_2_2.eps
14.3
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
G (s) =
Corrigé des exercices
Y (s)
(1 + 10 · s)
= 10 ·
U (s)
s · 10
43
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Régulation automatique
Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
gain [dB]
60
40
20
0
−3
10
−2
10
−1
10
−1
10
10
0
10
1
0
10
phase [degré]
0
−45
−90
−3
10
−2
10
10
ω [rad/s]
1
f_ra_14_3_1.eps
14.4
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
G (s) =
Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
60
gain [dB]
Y (s)
= 10 · (1 + s)
U (s)
40
20
0
−2
10
−1
10
0
10
0
10
10
1
10
2
1
10
phase [degré]
90
45
0
−2
10
−1
10
10
ω [rad/s]
2
f_ra_14_4_1.eps
Corrigé des exercices
44
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Régulation automatique
14.5
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
N1 (s) = 1 − s
et
N2 (s) = 1 + s
Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
gain [dB]
40
20
0
−2
10
−1
10
0
10
0
10
10
1
10
2
1
10
phase [degré]
90
45
0
−45
−90
−2
10
−1
10
10
ω [rad/s]
2
f_ra_14_5_1.eps
Corrigé des exercices
45
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Régulation automatique
14.6
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
gain [dB]
G (s) =
80
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
0.1
(1 + s · 0.3333)
100
·
s2 (1 + s · 0.01) · (1 + s · 0.003333)
Diagrammes de Bode exact et asymptotique (exact et asymptot ique)
1
10
1
10
59.6418
100
1000
10000
59.6418
100
1000
10000
phase [degré]
180
90
45
0
−45
−90
−135
−180
0.1
ω [rad/s]
f_ra_14_6_1.eps
Corrigé des exercices
46
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Régulation automatique
15
Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un
système asservi
On commence par mettre la fonction de transfert en boucle ouverte Go (s) sous
forme de Bode :
Go (s) = 10 ·
100
100
Ko
=
=
s + 10
1 + s · 0.1
1 + s · To
On en déduit l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée, régulation
de correspondance :
K
o
W (s)
Go (s)
=
= 1+s·TKoo
Gw (s) =
Y (s)
1 + Go (s)
1 + 1+s·To
Ko
1
Ko
Kw
=
·
=
=
To
1 + s · To + Ko
1 + Ko 1 + s · 1+Ko
1 + s · Tw
Le tracé des diagrammes de Bode exact et asymptotique est le suivant :
Diagrammes de Bode de Go(s) et Gw(s) (exact et asymptotique)
gain [dB]
40
20
Go
0
Gw
−20
−40
−1
10
0
0
phase [degré]
1
10
10
2
10
Go
3
10
3
10
10
4
10
5
4
10
Gw
−45
−90
−1
10
0
10
1
10
2
10
ω [rad/s]
10
5
f_ra_17_1.eps
Ces diagrammes confirment que :
1. Tout pendant que le gain de boucle |Go (j · ω)| est élevé, la précision en
boucle fermée est bonne puisque |Gw (j · ω)| → 1 ;
Corrigé des exercices
47
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Régulation automatique
2. Le système est généralement plus dynamique en boucle fermée qu’en boucle
ouverte ;
3. A partir d’une certaine pulsation, de l’ordre de grandeur de la pulsation de
coupure à 0 [dB] en boucle ouverte ωco , le gain en boucle fermée chute et
rejoint celui en boucle ouverte.
Les lieux de Nyquist correspondants sont tracés ci-dessous et ne font que corroborer ces dires.
Lieu de Nyquist de Go(s)
−10
−0.1
−20
−0.2
−30
−0.3
−40
−0.4
−50
−0.5
−60
−0.6
−70
−0.7
−80
−0.8
−90
−100
Lieu de Nyquist de Gw(s)
0
Im(Gw(jω))
Im(Go(jω))
0
−0.9
0
20
40
Re(G (jω))
60
80
−1
100
0
o
0.2
0.4
Re(G (jω))
0.6
0.8
16
1
w
f_ra_17_2.eps
f_ra_17_3.eps
Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un
système asservi
16.1
Les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée Gw (s) ou Gv (s) sont les
valeurs annulant leur dénominateur ; écrire que celui-ci est égal à zéro revient à
résoudre l’équation caractéristique dc (s) :
dc (s) = 1 + Go (s) = 0
La fonction de transfert en boucle ouvert Go (s) a pour expression :
Go (s) = Kp · (1 + s · Td ) ·
Ka2
Ke
Ko (1 + s · Td )
·
=
·
(1 + s · T ) s
s (1 + s · T )
avec Ko = Kp · Ka1 · Ke
On peut en déduire soit directement l’équation caractéristique, soit tout d’abord
la fonction de transfert en boucle fermée, régulation de correspondance, Gw (s) :
Ko (1+s·Td )
· (1+s·T )
Y (s)
Go (s)
Ko · (1 + s · Td )
s
Gw (s) =
=
=
=
d)
W (s)
1 + Go (s)
s · (1 + s · T ) + Ko · (1 + s · Td )
1 + Kso · (1+s·T
(1+s·T )
=
(1 + s · Td )
1 + s · Td + K1o + s2 ·
Corrigé des exercices
T
Ko
48
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eivd
Rgulation automatique
Le dénominateur obtenu est à identifier terme à terme au dénominateur de la
fonction de transfert d’un système fondamental d’ordre 2 :
G2 (s) =
On a :
ωn =
ζ=
1
2
q
1+
K2
·s+
2·ζ
ωn
1
2
ωn
· s2
Ko
T
· Td +
1
Ko
· ωn =
1
2
· Td +
1
Ko
q
· KTo
On en extrait l’expression de Ko en fonction de ζ :
2
1
1
2
ζ = 4 · Td + Ko · KTo
4 · ζ 2 · T · Ko = Ko2 · Td2 + 2 · Td · Ko + 1
Ko2 · Td2 + Ko · 2 · (Td − 2 · ζ 2 · T ) + 1 = 0
Finalement :
2
Ko2 · Td2 + Ko · 2 · (Td −
1=0
√2 · ζ · T ) +
2
−2·(Td −2·ζ ·T )± 4·(Td −2·ζ 2 ·T )2 −4·Td2
Ko1,2 =
2·Td2
√
√
2
−(Td −2·ζ ·T )± (Td −2·ζ 2 ·T )2 −Td2
−(Td −2·ζ 2 ·T )± −4·Td ·ζ 2 ·T +4·ζ 4 ·T 2
=
=
Td2 √
Td2
2
2
−(Td −2·ζ ·T )±2·ζ· T ·(−Td +ζ ·T )
=
T2
d
Pour que ζ = 0.5, il faut donc que :
Ko1,2
− (1 − 2 · 0.25 · 10) ± 2 · 0.5 ·
=
1
p
10 · (−1 + 0.25 · 10)
=
7.873
0.127
On choisit ici de manière arbitraire la solution assurant le comportement le plus
rapide en boucle fermée. Sachant que la durée de réglage Treg est donnée, pour
un système à deux pôles dominants, de manière relativement précise par
Treg =
3
3
=
δ
ζ · ωn
et que selon la relation obtenue précédemment
r
Ko
ωn =
T
il est évident que c’est la valeur la plus élevée de Ko qui doit être choisie. On en
déduit le gain Kp du régulateur :
Kp =
Ko
7.873
=
= 0.7873
Ka1 · Ke
10 · 1
Le programme MATLAB suivant permet de vérifier qu’avec cette valeur de Kp , le
taux d’amortissement ζ est bien égal à 0.5.
Corrig des exercices
49
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%
Régulation automatique
Initialisation
T = 10;
Ka2 = 10
Ke = 1 ;
des
parametres
Kp = 0 . 7 8 7 3 ;
Td = 1 ;
a = 1 e −3;
%
%
%
%
F o n c t i o n s de t r a n s f e r t
Regulateur
[ numGc, denGc ] = p a r a l l e l ( [ Kp ] , [ 1 ] , Kp∗ [ Td , 0 ] , [ a ∗Td , 1 ] ) ;
Systeme a r e g l e r
numGa = Ka2∗Ke ;
denGa = [ T , 1 , 0 ] ;
F o n c t i o n s de t r a n s f e r t en b o u c l e o u v e r t e
[ numGo, denGo ] = s e r i e s ( numGc, denGc , numGa, denGa ) ;
%
F o n c t i o n s de t r a n s f e r t en b o u c l e f e r m e e
[ numGw, denGw ] = c l o o p ( numGo, denGo ) ;
%
C a l c u l du t a u x
damp( denGw)
%
A f f i c h a g e de p o l e s e t d e s c o u r b e s e q u i a m o r t i s s e m e n t
figure (1)
pzmap (numGw, denGw)
sgrid ( [ 0 . 1 : 0 . 1 : 0 . 9 ] , [ ] )
axis ( [ − 2 , 0 , − 1 , 1 ] )
axis ( ’ s q u a r e ’ )
t i t l e ( ’ C o n f i g u r a t i o n p o l e −zé r o en b o u c l e f e r mé e ’ )
%
Trace de l a r e p o n s e i n d i c i e l l e
figure (2)
s t e p m e (numGw, denGw)
d ’ amortissement
zeta
regulation
a l ’ aide
de
de
la
correspondance
fonction
avec
damp
mise en f or me
Le tracé de la configuration pôle-zéro en boucle fermée confirme que ζ = 0.5
1
Configuration pole−zéro en boucle fermée
0.9
0.7
0.8
0.6
0.5
0.4
0.3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−2
0.8
0.9
−1.8
−1.6
−1.4
0.7
−1.2
−1
Real Axis
0.6
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
f_ra_18_1.eps
alors que la réponse indicielle de Gw (s) montre un comportement bien amorti.
Corrigé des exercices
50
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Régulation automatique
Réponse indicielle
1.4
D=26.6875%
1.2
1
yInf=1
y(t)
0.8
0.6
Tm=1.2[s]
0.4
0.2
Treg+/−5%=5[s]
T90%
T10%
0
0
Tdep
2
4
6
t [s]
8
10
12
14
f_ra_18_2.eps
16.2
Les fonctions de transfert en boucle ouverte Go (s) ainsi qu’en boucle fermée
Gw (s), régulation de correspondance, ont déjà été calculées au point précédent.
La fonction de transfert en boucle fermée Gv (s), régulation de maintien, a quant
à elle pour expression :
Ka2 ·Ke
1
· (1+s·T
Ga2 (s)
Ka2 · Ke
Y (s)
s
)
Gv (s) =
=
=
=
(1+s·T
)
K
d
o
V (s)
1 + Go (s)
s · (1 + s · T ) + Ko · (1 + s · Td )
1 + s · (1+s·T )
1
1
=
·
Kp 1 + s · T + 1 + s 2 · T
d
Ko
Ko
Les diagrammes de Bode des trois fonctions de transfert sont donnés ci-dessous.
Corrigé des exercices
51
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Régulation automatique
Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
60
40
gain [dB]
20
0
−20
−40
−60
−80
−2
10
−1
10
0
10
0
10
10
1
10
2
1
10
phase [degré]
0
−45
−90
−135
−180
−2
10
−1
10
10
ω [rad/s]
2
f_ra_18_3.eps
Corrigé des exercices
52
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eivd
Régulation automatique
17
Lieu de Nyquist et diagramme de Bode de
systèmes possédant un retard pur
17.1
Diagramme de Nyquist de G(s) = e−s·Tr , avec Tr = 2 [s] :
Lieu de Nyquist de G(s)
1.5
1
Im(G(jω))
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5
−1
−0.5
0
Re(G(jω))
0.5
1
1.5
f_ra_15_1.eps
Diagramme de Bode :
gain [dB]
20
0
−20
−1
10
phase [degré]
Diagramme de Bode
0
10
0
10
10
1
0
−45
−90
−135
−180
−225
−270
−360
−450
−540
−630
−1
10
10
ω [rad/s]
1
f_ra_15_2.eps
La représentation de la phase de l’élément retard pur en échelles linéaires pour
la pulsation est la suivante :
Corrigé des exercices
53
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Régulation automatique
Phase de G(s)
0
−100
arg(G(jω)) [deg.]
−200
−300
−400
−500
−600
0
1
2
3
4
5
ω [rad/s] (lin.)
6
7
8
9
10
f_ra_15_3.eps
18
Lieu de Nyquist
L’examen du diagramme de Bode met en évidence les comportement suivants :
– Pour les basses fréquences, la phase tend vers −180 [◦ ] et le gain vers l’infini.
– A hautes fréquences, le gain tend naturellement vers zéro et la phase vers
−180 [◦ ].
– Dans une zone de fréquences intermédiaires, la phase remonte provisoirement,
avant de chuter vers −180 [◦ ].
I m
G
w
w
=
0
[ r a d
/ s ]
- 1
=
¥
)
[ r a d
/ s ]
R
0
f _
Corrigé des exercices
( j w
54
2
0
_
1
. e p
e
s
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