nyquist trace contour

UV Automatique
Cours 3
Réponse fréquentielle des
systèmes dynamiques continus LTI
ASI 3
Automatique
1
Contenu
! Introduction
" Définition de la réponse fréquentielle d'un système
" Types de réponse fréquentielle : Bode, Nyquist, Black
! Lieu de Bode
" Définition - tracé des diagrammes de Bode
" Diagrammes de Bode des systèmes fondamentaux
! Lieu de Nyquist
" Définition
" Lieu de Nyquist des systèmes fondamentaux
! Lieu de Black
" Définition
" Lieu de Black des systèmes fondamentaux
Automatique
2
Introduction (1)
! Système continu LTI
U(s)
H(s)
Y(s)
H(s) : fonction de transfert
?
Entrée du système : signal sinusoïdal u (t ) = A sin ωt
Quelle est la réponse harmonique du système ?
! Analyse fréquentielle
Pour s=jω, on a : Y ( jω ) = H ( jω )U ( jω )
Si u(t) et y(t) sont des signaux à énergie finie, alors U(jω) et Y(jω) sont
les transformées de Fourier de u et y
Y ( jω ) = H ( jω )U ( jω ) ⇒
Automatique
Y ( jω ) = H ( j ω ) U ( jω )
arg Y ( jω ) = arg H ( jω ) + arg U ( jω )
3
Introduction (2)
! Analyse fréquentielle
H ( jω ) : gain du système à la pulsation ω
ϕ (ω ) = arg Y ( jω ) − arg U ( jω ) : déphasage entre la sortie et l'entrée
à la pulsation ω avec ϕ (ω ) = arg H ( jω )
Réponse harmonique du système en régime permanent
u (t ) = A sin ωt ⇒ y (t ) = A H ( jω ) sin(ωt + ϕ (ω ))
H ( jω ) traduit le comportement fréquentiel du système
! Outils d'analyse de H(jω)
" Lieu de Bode
" Lieu de Nyquist
" Lieu de Black
Automatique
4
Lieu de Bode (1)
! Définition
Le lieu de Bode consiste à représenter H(jω) quand ω parcourt
R+ par deux diagrammes :
" Diagramme de gain représentant le module |H(jω)| en
fonction de la pulsation ω
# Abscisse : pulsation ω (rad/s) en échelle logarithmique
#
Ordonnée : gain exprimé en décibels (dB), soit
G (ω ) = 20 log10 H ( jω )
" Diagramme de phase représentant l'argument ϕ (ω) en
fonction de la pulsation ω
# Abscisse : pulsation ω (rad/s) en échelle logarithmique
# Ordonnée : phase ϕ (ω) en degré (°) ou radian (rad)
Automatique
5
Lieu de Bode (2)
! Principes
Soit H(s) une fonction de transfert factorisée sous la forme :
H ( s ) = H1 ( s ) H 2 ( s ) L H n ( s )
On en déduit H ( jω ) = H1 ( jω ) H 2 ( jω ) L H n ( jω )
" Gain (dB)
G (ω ) = 20 log10 H ( jω ) = ∑in=1 Gi (ω )
avec Gi (ω ) = 20 log10 H i ( jω )
" Phase
ϕ (ω ) = arg H ( jω ) = ∑in=1ϕi (ω ) avec ϕi (ω ) = arg H i ( jω )
Conclusion : le produit des fonctions de transfert se traduit par une
somme des gains (dB) et des phases des transmittances élémentaires
Automatique
6
Lieu de Bode (3)
! Principes (fin)
H(s) est factorisable à partir d'éléments de base sous la forme :
H ( s ) = ksα
∏i
(1 + T s ) βi
i
ξl ∈ [0 1[, ωn,l > 0,
∏l (
(s 2
)
γl
2
2
+ 2ξ lωn,l s + ωn,l ) / ωn,l
k , Ti ∈ R* et α , β i , γ l ∈ Z
" Gain (dB)
G (ω ) = 20 log10 k + α 20 log10 (ω ) + ∑i β i 20 log10 1 + jωTi
(
+ ∑l γ l 20 log10 ( jω ) 2 + 2ξl ωn,l ( jω ) + ωn2,l − 20 log10 ωn2,l
)
" Phase
ϕ (ω ) =
sgn( k ) − 1
π + α π + ∑i β i arg(1 + jωTi )
2
2
+ ∑l γ l arg ( jω ) 2 + 2ξl ωn,l ( jω ) + ωn2,l
(
Automatique
)
7
Lieu de Bode (4)
! Préliminaires
Le lieu de Bode d'un système de fonction de transfert H(s) peut
être tracé facilement à partir de la connaissance des
diagrammes de Bode des éléments de base :
" k (gain)
" (s )±1 (intégrateur ou dérivateur)
" (1 + Ts )±1 (éléments du premier ordre)
±1
 s 2 2ξ



"  ω 2 + ω s + 1 (éléments du second ordre)
n
 n

Automatique
8
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (1)
G (dB)
! Gain k
20log10|k|
" Gain G = 20 log10 k
ωlog
Droite horizontale
 0 si k > 0
" Phase ϕ = 
− π si k < 0
! Dérivation H ( s ) = s
" Gain G = 20 log10 ω
Droite de pente 20dB/décade
ou pente +1
" Phase
Automatique
π
ϕ =+
2
ϕ (rad)
k>0
-π
ωlog
k<0
$ Intégration H ( s ) = s −1
" Gain G = −20 log10 ω
Droite de pente -20dB/décade
ou pente -1
π
ϕ
=
−
" Phase
2
9
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (2)
! Dérivation H ( s ) = s −1
$ Intégration
G (dB)
G (dB)
pente +1
0dB
1
10
pente -1
20dB
20dB
100
ωlog
0dB
0.1
1
10
ωlog
-20dB
ϕ (rad)
π/2
Automatique
ϕ (rad)
ωlog
ωlog
−π/2
10
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (3)
! Premier ordre H ( s ) = 1 + Ts (T > 0)
" Gain G = 10 log10 (1 + ω 2T 2 )
# ωT >> 1, G ≈ 20 log10 ωT
# ωT << 1, G ≈ 0
asymptote horizontale
asymptote de pente +1
1
Les deux asymptotes se coupent en ω =
c T
# A ω=ωc, on a G=3dB
" Phase ϕ = arctan(ωT )
# ωT << 1, ϕ ≈ 0
π
ω
T
>>
ϕ
≈
1
,
#
2
# A ω=ωc, on a ϕ =
Automatique
asymptotes horizontales
π
4
11
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (4)
! Premier ordre H ( s ) = 1 − Ts (T > 0)
G = 10 log10 (1 + ω 2T 2 ) mais ϕ = − arctan(ωT )
La phase change de signe par rapport au cas précédent 1+Ts
ϕ (rad)
H ( s ) =1 ± Ts
G (dB)
40
35
H ( s ) =1 + Ts
π/2
30
25
20
π/4
15
10
5
0 -1
10
0
10
1
T
3dB
10
ωlog
ωlog
3
2
10
0 -1
10
0
H ( s ) =1 − Ts
ϕ (rad)
0
10
1
T
2
10
3
10
−π/4
−π/2
-1
Automatique
10
0
10
1
T
2
10
3
10
ωlog
12
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (5)
! Premier ordre H ( s ) = (1 + Ts )−1
(T > 0)
" Gain G = −10 log10 (1 + ω 2T 2 )
# ωT << 1, G ≈ 0
# ωT >> 1, G ≈ −20 log10 ωT
asymptote horizontale
asymptote de pente -1
1
Les deux asymptotes se coupent en ω =
c T
# A ω=ωc, on a G=−3dB. ωc pulsation de coupure à 3dB
" Phase ϕ = − arctan(ωT )
# ωT << 1, ϕ ≈ 0
asymptotes horizontales
π
#ωT >> 1, ϕ ≈ −
2
π
ϕ
=
−
# A ω=ωc, on a
4
Automatique
13
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (6)
! Premier ordre H ( s ) = (1 − Ts )−1
(T > 0)
G = −10 log10 (1 + ω 2T 2 ) mais ϕ = arctan(ωT )
La phase change de signe par rapport au cas précédent (1+Ts)−1
G0 (dB)
(
H ( s ) = 1 ± Ts
)− 1
(
H ( s ) = 1 + Ts
ϕ (rad)
0
3dB
)− 1
-5
-10
-15
−π/4
-20
-25
-30
-35
-40
-1
10
0
10
1
T
2
3
10
10
ωlog
−π/2
-1
10
ϕ (rad)
0
10
1
T
ωlog
2
3
10
10
2
3
π/2
(
H ( s ) = 1 − Ts
Automatique
)− 1
π/4
0 -1
10
0
10
1
T
10
10
ωlog
14
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (7)
! Rappels
# On
appelle pulsation de coupure, la pulsation pour laquelle le
gain a diminué de 3dB par rapport à sa valeur maximale. On
définit de la même manière la pulsation de coupure à 6dB.
# On
appelle bande passante, l'intervalle de pulsations pour
lequel le gain ne diminue pas de plus de 3dB par rapport à sa
valeur maximale.
−1
! Relation temps-fréquence pour un 1er ordre H ( s ) = (1 + Ts )
" Un système du 1er ordre est un filtre passe-bas
1
1
" Sa pulsation de coupure est ωc = , soit f c =
2πT
T
" Bande passante BP=[0, ωc]
f ≈ 0.35 avec tm le temps de montée (tm=2,2T)
m c
⇒ On augmente la rapidité du système en élargissant sa
Automatique bande passante
"t
15
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (8)
ωn2
! Deuxième ordre H ( s ) = 2
s + 2ξωn s + ωn2
(0 < ξ < 1)
" Gain
G (ω ) = −10 log10 ((ωn2 − ω 2 ) 2 + 4ξ 2ω 2ωn2 ) + 40 log10 ωn
# ω << ω n , G ≈ 0
asymptote horizontale
ω
ωn
asymptote de pente -2
# ω >> ω n , G ≈ −40 log10
Les asymptotes se coupent en ωn
# ω = ω n , G = −20 log10 (2ξ )
On remarque que pour de faibles valeurs de ξ, le gain peut être
très supérieur à 0dB. L'amplitude du gain passera par un
maximum (phénomène de résonance) pour la pulsation ω telle
que G ' (ω ) = 0
Automatique
16
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (9)
! Deuxième ordre en dénominateur (suite)
2
<
ξ
On montre que la résonance se produit pour
2
% Pulsation de résonance ω R = ωn 1 − 2ξ 2
% Facteur de résonance Q = H ( jω R ) =
1
2ξ 1 − ξ 2
Si ξ→0, alors ωR→ ωn et Q→∝
ξ faible ⇒ grande résonance
 2ξωnω 

" Phase ϕ = − arctan 2
2
 ωn − ω 
# ω << ω n , ϕ ≈ 0
# ω >> ωn , ϕ ≈ −π
Automatique
# ω = ωn , ϕ = −
π
2
asymptotes
π
ω
=
ω
ϕ
≈
−
+ arcsin
,
horizontales #
R
2
ξ
1−ξ 2
17
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (10)
! Deuxième ordre en dénominateur (fin)
20
G (dB)
ξ =0.05
ξ =0.2
ξ =0.5
ξ = 0.9
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60 -1
10
0
ϕ (rad)
10
0
ωn
10
1
ωlog
ξ =0.05
ξ =0.2
ξ =0.5
-π/2
-π
-1
10
Automatique
10
2
ξ =0.9
10
0
ωn
10
1
ωlog
18
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (11)
! Deuxième ordre en numérateur H ( s ) =
s 2 + 2ξωn s + ωn2
ωn2
(0 < ξ < 1)
Le gain et la phase changent de signe par rapport au cas précédent
60
G (dB)
50
40
30
20
ξ =0.9
ξ =0.5
ξ =0.2
ξ =0.05
10
0
-10
-20 -1
10
π
ϕ (rad)
10
0
ωn
π/2
Automatique
0
10
-1
10
0
ωn
10
1
ξ =0.9
ξ =0.5
ξ =0.2
ξ =0.05
10
1
10
2
ωlog
ωlog
19
Lieu de Bode des systèmes élémentaires (12)
! Retard H ( s ) = e −Tr s
" Gain
G = 0dB
" Phase
ϕ = −ωTr
Le retard ne modifie pas le diagramme de gain. La phase
décroît selon une droite de pente –Tr.
ϕ (degré)
0
ϕ (degré)
0
T r = 0.25
-50
T r = 0.5
-100
Tr = 1
T r = 0.5
Tr = 1
-100
-150
-200
T r = 0.25
-50
-150
0
Automatique
50
100
150
200
ω
-200
-1
10
10
0
10
1
10
2
10
3
ωlog
20
Règles de tracé pratique du lieu de Bode (1)
Ces règles permettent de tracer les diagrammes asymptotiques
de gain et de phase du lieu de Bode
! Etape préliminaire
" Ecrire la fonction de transfert H(s) sous la forme normalisée
γl
ξ ∈ [0 1[, ωn,l > 0,
H (s) =
Ksα
∏i
(1 + T s ) βi
i
 s2

2
ξ
l
∏l  2 + ω s + 1
n,l
 ωn,l

" Classer les pulsations de coupure
par ordre croissant
K , Ti ∈ R*
α , βi , γ l ∈ Z
1
et les pulsations propres ωn, l
Ti
! Tracé du diagramme asymptotique de gain
" Si α=0, on démarre avec une asymptote horizontale G=20log10|K|
Si α≠0, on démarre avec une asymptote de pente α (α ∈ Z)
et qui passe par le point (ω=1, G=20log10|K|)
Automatique
NB : pente α ⇔ pente α20dB/décade
21
Règles de tracé pratique du lieu de Bode (2)
" A chaque pulsation 1/Ti, on modifie la pente de l'asymptote
de βi (βi ∈ Z)
" A chaque pulsation ωn, l, on modifie la pente de l'asymptote
de 2γl (γl ∈ Z)
! Tracé du diagramme asymptotique de phase
sgn( K ) − 1
π
" Si α=0, on démarre avec une asymptote ϕ =
2
sgn( K ) − 1 + α
ϕ
π
=
Si α≠0, on démarre avec une asymptote
2
" A chaque pulsation 1/Ti, ajouter à l'asymptote βi π/2 (βi ∈ Z)
" A chaque pulsation ωn, l, ajouter à l'asymptote γl π (γl ∈ Z)
Automatique
22
Exemple de tracé de lieu de Bode (1)
! Exemple 1
Tracer le diagramme de Bode du système H ( s ) =
avec K > 0, T1 > T2 > 0
Automatique
K
s (1 + T1s )(1 + T2 s )
23
Exemple de tracé de lieu de Bode (2)
! Exemple 2
Tracer le diagramme de Bode du système H ( s ) =
Automatique
k (1 + 3s )
(1 + s )( s 2 + s + 4)
24
Lieu de Nyquist (1)
! Définition
Le lieu de Nyquist est le lieu en coordonnées polaires des points
d'affixe H(jω) lorsque ω varie de 0 à +∞. Le diagramme de Nyquist
est gradué avec les valeurs de ω.
Im
M
Im(H(jω))
j
(
H
|
Soit le point M associé à H(jω)
|
ω)
ϕ(ω)
Re(H(jω))
M (|H(jω)|, arg(H(jω))
Re
Le diagramme de Nyquist (lieu complet) correspond à ω variant de -∞
à +∞. Il s'obtient par symétrie par rapport à l'axe réel du lieu de
Nyquist.
Automatique
25
Lieu de Nyquist (2)
! Définition
Le diagramme de Nyquist est l'image par H(s) du contour fermé
appelé contour d'exclusion de Nyquist. Ce contour entoure tous
les pôles et zéros de H(s) à partie réelle strictement positive. Si
H(s) a des pôles nuls ou imaginaires purs, le contour d'exclusion
les évite par des demi-cercles de rayon ε→0.
Im Contour d'exclusion de Nyquist
ω → +∞
Im
ω → +∞
Re
ω → 0+
ω → 0−
+∝
R→
R→
+∝
+jω0
Re
ε
−jω0
ω → −∞
Automatique
ω → −∞
26
Lieu de Nyquist des systèmes usuels (1)
! Intégrateur H ( s ) = s −1
Im
ω → 0, H ( jω ) → +∞
ω → +∞
ω → +∞, H ( jω ) → 0
ϕ=−
π
2
Re
ω↑
∀ω ∈ [0 + ∞[
ω=0
! Premier ordre H ( s ) = K
1 + Ts
( K > 0, T > 0) Im
ω = 0, H ( jω ) = K et ϕ = 0
ω=
π
K
1
, H ( jω ) =
et ϕ = −
T
4
2
ω → ∞, H ( jω ) = 0 et ϕ → −
π
2
ω → +∞
K/2
-π/4
K
ω=0
Re
ω↑
ω =1/T
Le lieu de Nyquist est un demi-cercle de rayon K/2 et de centre (K/2, 0)
Automatique
27
Lieu de Nyquist des systèmes usuels (2)
Kωn2
! Deuxième ordre H ( s ) = 2
s + 2ξωn s + ωn2
ω = 0 H ( jω ) = K et ϕ = 0
Im
ω = ω n H ( jω ) = 2ξ et ϕ = − π
Κ
2
Re
ω → ∞ H ( jω ) = 0 et ϕ = −π
! Retard pur H ( s ) = e −Tr s
ω↑
Im
ξ=0.7
ξ=0.9
ξ=0.3 ξ=0.5
ωTr=3π/2 + 2kπ
ωTr=(2k+1)π
Automatique
ωTr=2kπ
0
ω ↑ ωTr=π/2 + 2kπ
Re
Le lieu de Nyquist est un cercle
centré en 0 et de rayon unité
28
Exemple de tracé de lieu de Nyquist
Tracer le diagramme de Nyquist du système H ( s ) =
avec K > 0, T > 0
Automatique
K
s (1 + Ts )
29
Lieu de Black (1)
! Définition
Le lieu de Black est la représentation cartésienne de H(jω) lorsque
ω varie de 0 à +∞. Le lieu de Black est gradué avec les valeurs du
paramètre ω.
" Abscisse : la phase en degré ou radian
" Ordonnée : le gain en décibel (dB)
! Lieu de Black d'un intégrateur H ( s ) = s −1
G(dB)
ω → +∞
-π/2
Automatique
ω=0
ϕ(rad)
30
Lieu de Black (2)
K
! Lieu de Black d'un 1er ordre H ( s ) =
1 + Ts
G(dB)
( K > 0, T > 0)
ω=0
20log10 K
ϕ(rad)
-π/2
ω → +∞
! Lieu de Black d'un 2e ordre H ( s ) =
G(dB)
Kωn2
s 2 + 2ξωn s + ωn2
20log10 K
ω=0
-π
-π/2
ϕ(rad)
ω → +∞
Automatique
31
Lieu de Black (3)
! Exemple
Tracer le diagramme de Black du système
avec K > 0, T > 0
Automatique
H (s) =
K
s (1 + Ts )
32
Im
Im
ω → +∞
R→
R→
+∝
+jω0
+∝
ω → +∞
Re
ω → 0+
Re
ω → 0−
−jω0
ω → −∞
Automatique
ω → −∞
33