CHAPITRE 10 : LES DIAGRAMMES ASYMPTOTIQUES DE BODE

CHAPITRE 10 :
LES DIAGRAMMES ASYMPTOTIQUES DE BODE
LES DIAGRAMMES ASYMPTOTIQUES DE BODE ................................................ 127
INTRODUCTION ................................................................................................................. 128
RAPPELS MATHÉMATIQUES .............................................................................................. 128
Multiplication de deux nombres complexes ................................................................. 128
Inversion d'un nombre complexe ................................................................................. 129
DIAGRAMME DE BODE DE DEUX SYSTÈMES EN SÉRIE ....................................................... 130
DIAGRAMME DE BODE DE SYSTÈMES SIMPLES .................................................................. 130
Gain statique................................................................................................................ 130
Intégrateur ................................................................................................................... 131
Dérivateur .................................................................................................................... 131
Système du premier ordre ............................................................................................ 132
Inverse du système du premier ordre........................................................................... 133
Système du premier ordre instable .............................................................................. 133
Inverse du système instable ......................................................................................... 135
Système de second ordre.............................................................................................. 135
SYSTÈMES À DÉPHASAGE NON-MINIMAL .......................................................................... 137
CALCUL APPROXIMATIF DE LA PHASE ............................................................................... 140
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
INTRODUCTION
Ce chapitre présente une méthode permettant de tracer approximativement les diagrammes de
Bode d'un système dont la fonction de transfert est connue.
De brefs rappels mathématiques faciliteront la compréhension de la technique qui sera par la suite
détaillée.
RAPPELS MATHÉMATIQUES
Multiplication de deux nombres complexes
Soient les deux nombres complexes suivants:
z1 = A1e jφ1
z2 = A2 e jφ 2
où A1 et A2 sont positifs. Les modules de ces deux nombres sont:
z1 = A1
z2 = A2
Le module de la multiplication des deux nombres précédents est:
z1z2 = A1e jφ1 A2 e jφ2
= A1 A2 e j(φ1 + φ2 )
= A1 A2
= z1 ⋅ z2
Si les modules sont exprimés en décibels, on obtient:
20 log z1z2 = 20 log z1 ⋅ z2
= 20log z1 + 20 log z2
L'argument de chacun des deux nombres complexes est:
∠z1 = φ1
∠ z2 = φ 2
L'argument de la multiplication des deux nombres complexes est:
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
128
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
∠z1z2 = ∠A1 A2 e j ( φ1 + φ2 )
= φ1 + φ 2
= ∠z1 + ∠z2
Inversion d'un nombre complexe
Soit un nombre complexe
z1 = a + bj
et son inverse
z2 =
1
a + bj
Le module de z1 est
z1 = a 2 + b 2
Le module de son inverse est:
z2 =
=
1
a + b2
1
2
z1
Si les modules sont exprimés en décibels, on obtient:
20 log z2 = 20 log
1
z1
= −20log z1
L'argument de z1 est:
∠z1 = arctg
b
a
L'argument de son inverse est:
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
129
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
1
a + bj
= ∠1 − ∠a + bj
∠z 2 = ∠
= 0 − arctg a + bj
= −∠z1
DIAGRAMME DE BODE DE DEUX SYSTÈMES EN SÉRIE
Lorsque deux systèmes G1 ( s) et G2 ( s) sont en série, leurs fonctions de transfert se multiplient:
G ( s) = G 1 ( s)G2 ( s)
À la lumière des résultats de la section précédente, le rapport d'amplitude de G ( s) est:
20 log G ( jω ) = 20 log G1 ( jω )G2 ( jω )
= 20 log G1 ( jω ) + 20 log G2 ( jω )
∠G ( jω ) = ∠G1 ( jω )G2 ( jω )
= ∠G1 ( jω ) + ∠G2 ( jω )
Par conséquent, sur le diagramme de Bode, le rapport d'amplitude et la phase de G(s) est la
somme des rapports d'amplitude et des phases de G1 ( s) et G2 ( s) .
DIAGRAMME DE BODE DE SYSTÈMES SIMPLES
Les diagrammes de Bode de systèmes simples peuvent être tracés de façon approximative à l'aide
uniquement de segments de droites. Cette méthode est très utilisée dans l'analyse des systèmes.
Gain statique
Fonction de transfert:
G ( s) = K
Rapport d'amplitude:
G ( jω) = K
Phase:
∠G(jω) = 0o si K ≥ 0 ; ∠G(jω) = -180o si K < 0
Diagramme de Bode:
voir figure 10.1
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
130
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
20log |G(jω)|
20log|K|
ω
G(s)= K
<G(jω)
si K > 0
0°
ω
si K < 0
-180°
Figure 10.1
Intégrateur
Fonction de transfert:
G ( s) =
1
s
G ( jω ) =
1
−j
=
jω ω
Rapport d'amplitude:
G ( jω ) =
1
ω
Phase:
∠G ( jω ) = arctg
Diagramme de Bode:
voir figure 10.2
−1/ ω
= −90°
0
Dérivateur
Fonction de transfert:
G(s) = s
G(jω) = jω
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
131
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
Le nombre complexe G(jω) du dérivateur est l'inverse de celui de l'intégrateur. Selon les rappels
sur les nombres complexes, on conclut que les rapport d'amplitude et la phase du dérivateur sont
de signe contraire à ceux de l'intégrateur (figure 10.3).
20log |G(jω)|
-20db/déc
ω
1
G(s) = 1/s
<G(jω)
ω
-90°
Figure 10.2
20log |G(jω)|
+20db/déc
ω
1
G(s) = s
<G(jω)
90°
ω
Figure 10.3
Système du premier ordre
1
(T > 0) a été étudié en profondeur au chapitre 5. Le diagramme
1 + Ts
asymptotique du rapport d'amplitude a alors été présenté. La figure 10.4 montre que sa phase
peut également être approximée avec des segments de droite. La plus grande erreur avec la phase
réelle est 6o.
Le système G ( s) =
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
132
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
20log |G(jω)|
1/T
ω
-20db/déc
<G(jω)
0.1/T
10/T
ω
G(s) = 1/(1+Ts)
(T>0)
-45°
-90°
Figure 10.4
Inverse du système du premier ordre
Fonction de transfert:
G ( s) = 1 + Ts
(T > 0)
Le nombre de complexe associé à cette fonction de transfert est l'inverse de celui d'un système du
premier ordre précédent. Par conséquent, le rapport d'amplitude et la phase de G(s) = 1+ Ts est
de signe contraire à ceux d'un système de premier ordre (figure 10.5).
Système du premier ordre instable
Fonction de transfert:
Rapport d'amplitude:
G ( s) =
1
1 − Ts
(T > 0)
G ( jω ) =
1
1 − Tjω
G ( jω) =
1
1
=
1 − Tjω
1 + T 2 ω2
Ce rapport d'amplitude est le même que celui de G ( s) =
Phase:
1
(figure 10.6).
1 + Ts
∠G ( jω ) = ∠1 − ∠1 − jωT = − arctg − ωT = arctgωT
Cette phase est la même que celle de G ( s) = 1 + Ts (figure 10.6).
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
133
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
20log |G(jω)|
+20db/déc
1/T
ω
<G(jω)
G(s) = 1+Ts
+90°
(T>0)
+45°
ω
0.1/T
10/T
Figure 10.5
Les systèmes instables possèdent une fonction de transfert et par conséquent la réponse en
fréquences peut être calculée. Cependant, la réponse en fréquences des systèmes instables n'a pas
d'interprétation physique basée sur la réponse en régime permanent à des essais harmoniques. En
effet, le pôle à partie réelle positive de la fonction de transfert provoque une réponse homogène
divergente qui masque la réponse particulière (on ne voit pas la sinusoïde à la sortie car cette
dernière diverge et n'atteint pas un régime permanent). La réponse en fréquences des systèmes
instables demeure toutefois utile et peut aider à analyser le comportement du système et à
concevoir des régulateurs (au même titre que la réponse en fréquences des systèmes stables).
20log |G(jω)|
1/T
ω
-20db/déc
G(s) = 1/(1-Ts)
<G(jω)
+90°
(T>0)
+45°
ω
0.1/T
10/T
Figure 10.6
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
134
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
Inverse du système instable
G ( s) = 1 − Ts
Fonction de transfert:
Les rapports d'amplitude et la phase de cette fonction de transfert sont, au signe près, égaux à
1
ceux de G ( s) =
(figure 10.7).
1 − Ts
Système de second ordre
Ce système a été étudié en détails au chapitre 8:
G ( s) =
1
2z
s2
1+
s+ 2
ωn
ωn
On suppose les pôles complexes (sinon le système peut être représenté par deux systèmes du
premier ordre en série).
Le diagramme approximatif s'obtient de façon similaire à celui d'un système du premier ordre
(figure 10.8). Les erreurs peuvent être plus ou moins grandes à certaines fréquences selon la
valeur du facteur d’amortissement.
20log |G(jω)|
+20db/déc
1/T
ω
G(s) = 1-Ts
<G(jω)
0.1/T
10/T
ω
(T>0)
-45°
-90°
Figure 10.7
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
135
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
ωn
20log |G(jω)|
ω
-40db/déc
1
<G(jω)
0.1ωn
10ωn
ω
G(s) =
1+ 2zs/ωn + s2/ωn2
-90°
-180°
Figure 10.8
__________________________________
EXEMPLE 10.1
Tracez le diagramme asymptotique de Bode du système suivant:
G1 ( s) =
10(1 + 10s)
(1 + s)(1 + 100s)
Ce système peut être décomposé en sous-systèmes dont les réponses en fréquences viennent d'être
étudiées
G1 ( s) = 10 ⋅ (1 + 10s) ⋅
1
1
⋅
1 + s 1 + 100s
Les sous-systèmes étant en série, le diagramme de Bode de G(s) est la somme des rapports
d'amplitude et de la phase de chacun des sous-systèmes (figure 10.9).
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
136
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
20log |G1(jω)|
G1(s)
1+10s
10
20
ω
.001
.01
.1
1
10
1/(1+100s)
1/(1+s)
<G1(jω)
-90°
1+10s
+45°
.001
ω
.01
.1
1
10
-45°
-90°
1/(1+s)
1/(1+100s)
Figure 10.9
__________________________________
SYSTÈMES À DÉPHASAGE NON-MINIMAL
Un système qui possède un zéro dans le demi-plan de droite (partie réelle positive) est dit à
déphasage non-minimal.
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
137
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
__________________________________
EXEMPLE 10.2
Le système suivant:
G2 ( s) =
10(1 − 10s)
(1 + s)(1 + 100s)
est à déphasage non-minimal. Son rapport d'amplitude est identique à celui du système G1 ( s) de
l’exemple 10.1.
Sa phase est cependant beaucoup plus prononcée (négativement), comme le montre la figure
10.10.
<G2(jω)
.001
.01
.1
1
10
ω
-90°
-180°
G2(s)
-270°
Figure 10.10
__________________________________
Si un système ne possède pas de zéro à partie réelle positive mais présente un retard, le système
est souvent qualifié également de système à déphasage non-minimal (le retard ne modifie pas le
rapport d'amplitude mais la phase est beaucoup plus négative comparativement au système sans
retard).
Lorsqu'on sait qu'un système est à déphasage minimal, il est possible de déduire sa fonction de
transfert uniquement à partir de son rapport d'amplitude. Cette déduction n'est pas possible avec
les systèmes à déphasage non-minimal; la phase est requise pour établir la fonction de transfert.
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
138
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
Les systèmes à déphasage non-minimal causé par la présence d'un zéro à partie réelle positive ont
une réponse à l'échelon très particulière. La réponse de ces systèmes présente un départ malin.
Ils partent dans le sens opposé à la valeur en régime permanent (figure 10.11)
u(t)
t
Système à
déphasage
non-minimal
y(t)
t
Départ malin
Figure 10.11
L'origine du départ malin du système à déphasage non-minimal suivant:
G ( s) =
K (1 − To s)
(1 + T1s)(1 + T2 s)
To , T1 , T2 > 0
est expliqué par la figure 10.12.
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
139
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
u(t)
K
(1+T1s)(1+T2s)
1
t
y(t)
K
(1+T1s)(1+T2s)
-T0s
G(s)=
Y(s)
U(s)
=
K(1-T0s)
(1+T1s)(1+T2s)
Figure 10.12
CALCUL APPROXIMATIF DE LA PHASE
Connaissant la fonction de transfert G(s) d'un système, la phase peut être calculée à une fréquence
donnée. En effet, la phase à ω est ∠G ( jω ) . Le calcul de ∠G ( jω ) fait habituellement intervenir
des arctangentes. La conception des régulateurs peut faire appel à l'expression de ∠G ( jω ) et la
présence des arctangentes rend la résolution difficile. Dans ce type de situations, il peut être utile
d'employer une approximation de l'arctangente afin de simplifier l'expression de ∠G ( jω ) . Cette
approximation se base sur le développement en série de Taylor de l'arctangente:

1
1
 x − x 3 + x 5 +…
3
5

arctg x = 
 π 1
1
1
± − + 3 − 5 +…
 2 x 3x 5 x
x <1
+ si x ≥ 1
− si x ≤ 1
En négligeant les termes en x d'ordre élevé et en supposant, ce qui sera notre cas, que x > 0, on
obtient:

x

arctg x = 
π 1
 −
 2 x
Systèmes et commande linéaires GEL-2005
0< x<1
x ≥1
140
Chapitre 10
Les diagrammes asymptotiques de Bode
__________________________________
EXEMPLE 10.3
Calculez, à ω = 20 rad / s , la phase du système suivant:
G ( s) =
10
s 
s 


s 1 +   1 +
 10   100 
Puisque
1
G ( s) = 10 ⋅ ⋅
s
1
1
⋅
s
s
1+
1+
10
100
alors
∠ G ( jω ) = 0 −
π
ω
ω
− arctg − arctg
2
10
100
À la fréquence ω = 20 rad / s , on obtient:
π
− arctg 2 − arctg 0.2
2
π  π 1
≈ − −  −  − 0.2
2  2 2
∠G ( j ⋅ 20) = −
≈ −2.84 rad = −162.7 o
La réponse obtenue sans approximation est -164o.
__________________________________
La page suivante est une feuille semi-logarithmique qui vous servira à tracer des diagrammes
asymptotiques de Bode (faites-en des copies).
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141