STABILITE : CRITERE DE NYQUIST T.D. G.E.I.I. 1. Préparation au

STABILITE : CRITERE DE NYQUIST
T.D. G.E.I.I.
1. Préparation au tracé des lieux de Nyquist :
donner sous forme de tableau l’évolution du module et de la phase des complexes suivants (
p = j! ) quand ! varie de 0 à +1 :
1
;
p
1
;
1+ p
1+2
où les paramètres ; ;
1
np +
n
2 p2
n
;
Tp
e
;
1 + p;
1
1
p
;
1
p;
1
2
1
np +
2 p2
n
sont positifs.
2. Les systèmes Fi sont asservis par retour unitaire à l’aide d’un gain K: Pour chacun d’eux, tracer
le lieu de Nyquist de Fi et conclure sur la possibilité de stabilité asymptotique du système ainsi
asservi : on précisera, dans l’a¢ rmative, les conditions sur K:
F1 =
F2 =
F3 =
F4 =
F5 =
F6 =
F7 =
F8 =
1
p(1 + 0:1p)(1 + 2p)
1
p
(1 + p)2 (1 + 2p)
1+
2
1 p
(1 + p)(1 + 3p + p2 )
2
p(1 0:3p)
1 2p
p(4 3p)
1 2p
p(1 + p)
1 + 2p
p(1 + p + p2 )(3p 1)
1 2p
(1 + p)(1 + 4p)
Pr. I. Zambettakis
SOLUTION
1.
transferts
1
p
1
1+ p
1
1 + 2 np +
e Tp
2
modules
2
1!0
0!
2 p2
n
2
0!
0!+
1
np +
2 p2
n
1!0
1!0
0!
1+ p
1
1
p
1
p
1
phases
1 1
2
1!1
0!+
2
1!0
0!
2
1!1
0!+
1!0
(a)
F1 =
1
p(1 + 0:1p)(1 + 2p)
F1 =
1
p(1 + 2:1p + 0:2p2 )
Tracé du lieu de Nyquist :
transferts
1
p
1
1 + 2:1p + 0:2p2
F1
phases
modules
2
1!0
0!
1!0
2
!
3
2
1!0
ce résultat permet de tracer la partie pour ! variant de 0 à +1; puis la partie pour !
variant de 1 à 0 s’obtient par symétrie par rapport à l’axe réel; l’existance d’un pôle
nul assure la fermeture du lieu en faisant 1/2 tour dans le sens trigo pour aller de 0 à
0+:
Pr. I. Zambettakis
Nyquis t Diagram
lieu de Nyquis t de F1
0.3
0-
0.2
Imaginary Axis
0.1
fermeture
du lieu par
1/2 tour dans
le sens trigo
I
+inf
0
- inf
-0.1
-0.2
0+
-0.3
-0.5
-0.45
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
Real Axis
Conditions de stabilité :
F1 (donc K F1 ) possède un pôle non asymptotiquement stable ( 0 ) : le lieu de Nyquist
de la boucle ouverte K F1 doit entourer 1 une fois dans le sens trigo pour que le système
bouclé par retour unitaire soit asymptotiquement stable. Il faut donc choisir, pour K > 0;
K tel que l’intersection I soit à droite du point 1 ( sinon on ne l’entoure pas dans le
sens trigo); pour K < 0 le lieu n’entoure pas 1 (symétrie par rapport à l’origine ) donc
le système bouclé n’est jamais stable.
Il faut d’abord chercher ce point d’intersection I avec l’axe réel :
1
8! et que le second ordre déphase de
pour
or on sait que déphase toujours de
p
2
2
1
1
1
! = !n = p
( son module vaut alors
=
). Pour cette valeur de
2
2
1 + 2 np + np
2
0:2
! la phase de F1 est de
et le module vaut :
jF1 j!=!n =
1 2:1
1 1
=
! n = 0:095:
!n 2
!n 2
Pour le système K F1 le point I sera en 0:095K;
on veut :
1 < 0:095K
donc les conditions nécessaires et su¢ santes de stabilité asymptotique du système asservi
sont :
0 < K < 10:5
Pr. I. Zambettakis
(b)
1
p
1+
(1 + p)2 (1 + 2p)
2
F2 =
F2 =
1
5
1 + p + p2 (1 + 2p + p2 )
2
Tracé du lieu de Nyquist :
transferts
1
5
1 + p + p2
2
1
1 + 2p + p2
F2
phases
modules
0!
1!0
0!
1!0
0!
1!0
2
ce résultat permet de tracer la partie pour ! variant de 0 à +1; puis la partie pour !
variant de 1 à 0 s’obtient par symétrie par rapport à l’axe réel; le lieu est une courbe
fermée puisqu’il n’y a pas de pôle à partie réelle nulle:
Nyquist Diagram
lieu de F2
1
0.8
0.6
0.4
w=+inf
Imaginary Axis
0.2
I
w=0
0
w=-inf
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Conditions de stabilité :
F2 (donc K F2 ) ne possède pas de pôle non asymptotiquement stable : le lieu de Nyquist
de la boucle ouverte K F2 ne doit pas entourer 1 dans le sens trigo pour que le système
bouclé par retour unitaire soit asymptotiquement stable. Il faut donc, pour K > 0; choisir
K tel que l’intersection I soit à droite du point 1 ; pour K < 0 le lieu n’entourera pas
1 (symétrie par rapport à l’origine ) si jKj < 1, donc pour K > 1.
Recherche du point d’intersection I avec l’axe réel pour K > 0 :
Pr. I. Zambettakis
Nyquist Diagram
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
0.2
w=-inf
w=0
0
-0.2
w=+inf
I
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Real Axis
Figure 1: lieu de Nyquist de -F2
pour ! = ! n = 1 ( le même pour les 2 ! ).
Les seconds ordres déphasent chacun de
2
Pour cette valeur de ! la phase de F2 est donc de
et le module vaut :
jF2 j!=!n =
Pour le système K F2 le point I sera en
on veut :
1 1
1
= :
2 5=2
5
K
;
5
K
5
donc les conditions nécessaires et su¢ santes de stabilité asymptotique sont :
1<
1<K<5
Pr. I. Zambettakis
(c)
F3 =
1 p
(1 + p)(1 + 3p + p2 )
Tracé du lieu de Nyquist :
transferts
phases
1
0!
2
1!1
0!
2
1!0
p
1
(1 + p)
1
(1 + 3p + p2 )
F3
modules
0!
1!0
0!
1!0
2
Remarque : il convient ici d’étudier globalement la limite du module de F3 pour ne pas
avoir l’indétermination apparente en faisant le produit des limites.
ce résultat permet de tracer la partie pour ! variant de 0 à +1; puis la partie pour !
variant de 1 à 0 s’obtient par symétrie par rapport à l’axe réel; le lieu est une courbe
fermée puisqu’il n’y a pas de pôle imaginaire pur:
Nyquist Diagram
lieu de F3
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
0.2
I
w=+inf
w=0
0
w=-inf
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Conditions de stabilité :
F3 (donc K F3 ) ne possède pas de pôle non asymptotiquement stable : le lieu de Nyquist
de la boucle ouverte K F3 ne doit pas entourer 1 dans le sens trigo pour que le système
bouclé par retour unitaire soit asymptotiquement stable. Il faut donc choisir K tel que
l’intersection I soit à droite du point 1 ; pour K < 0 le lieu n’entourera pas 1 (symétrie
par rapport à l’origine ) si jKj < 1, donc pour K > 1.
Recherche du point d’intersection I avec l’axe réel pour K > 0 :
Il est judicieux ici de remarquer ici que la phase de F3 est, 8! , identique à celle de
1
1
1
et que les seconds ordres
et
ont le même
2
2
2
(1 + p) (1 + 3p + p )
(1 + p)
1 + 3p + p2
Pr. I. Zambettakis
! n = 1; Pour cette valeur de ! la phase de F3 est de
jF3 j!=!n =
Pour le système K F3 le point I sera en
on veut :
et le module vaut :
1
1
= :
2
1 + 3p + p
3
K
;
3
K
3
donc les conditions nécessaires et su¢ santes de stabilité asymptotique du système bouclé
par un gain K sont :
1<
1<K<3
Pr. I. Zambettakis
(d)
F4 =
2
p(1 0:3p)
Tracé du lieu de Nyquist :
transferts phase
2
p
2
1
0!
1 0:3p
2
!0
F4
2
module
1!0
1!0
1!0
ce résultat permet de tracer la partie pour ! variant de 0 à +1; puis la partie pour !
variant de 1 à 0 s’obtient par symétrie par rapport à l’axe réel; l’existance d’un pôle
nul assure la fermeture du lieu en faisant 1/2 tour dans le sens trigo pour aller de 0 à
0+:
Nyquist Diagram
0-
8
6
4
Imaginary Axis
2
w=-inf
0
w=+inf
-2
fermeture
par un 1/2 tour
dans le sens trigo
-4
-6
-8
0+
-10
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Real Axis
Conditions de stabilité :
F4 (donc K F4 ) possède deux pôles non asymptotiquement stables ( 0 et 1=0:3) : le lieu
de Nyquist de la boucle ouverte K F4 doit entourer 1 deux fois dans le sens trigo pour
que le système bouclé par retour unitaire soit asymptotiquement stable. Or pour K > 0
le lieu n’entoure 1 qu’une fois; pour K < 0 le lieu n’entoure pas 1 :
ce système n’est pas stabilisable par bouclage à l’aide d’un gain K:
Pr. I. Zambettakis
(e)
F5 =
2p 1
p(3p 4)
F5 =
1 2p
p(4 3p)
Tracé du lieu de Nyquist :
transferts phases
1
2p
1
4 3p
1
p
F5
modules
0!
2
1!1
0!+
2
1=4 ! 0
1!0
2
!
1!0
2
2
Remarque : il convient ici d’étudier globalement la limite du module de F5 pour ne pas
avoir l’indétermination apparente en faisant le produit des limites.
ce résultat permet de tracer la partie pour ! variant de 0 à +1; puis la partie pour !
variant de 1 à 0 s’obtient par symétrie par rapport à l’axe réel; l’existance d’un pôle
imaginaire pur (le pôle nul) assure la fermeture du lieu en faisant 1/2 tour dans le sens
trigo pour aller de 0 à 0 + :
Nyquis t Diagram
lieu de F5
1.5
w=01
0.5
Imaginary Axis
w=-inf
0
fermeture
par 1/2 tour
dans le sens trigo
w=+inf
-0.5
-1
w=0+
-1.5
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
Real Axis
Conditions de stabilité :
F5 (donc K F5 ) possède deux pôles non asymptotiquement stables ( 0 et 4=3) : le lieu
de Nyquist de la boucle ouverte K F5 doit entourer 1 deux fois dans le sens trigo pour
que le système bouclé par retour unitaire soit asymptotiquement stable. Or pour K > 0
le lieu n’entoure 1 qu’une fois; pour K < 0 le lieu n’entoure pas 1 :
ce système n’est pas stabilisable par bouclage à l’aide d’un gain K:
Pr. I. Zambettakis
(f)
F6 =
1 2p
p(1 + p)
Tracé du lieu de Nyquist :
transferts phases
1
p
2
1 2p
0!
2
1
0!
1+p
2
F6
2
!
modules
1!0
1!1
1!0
3
2
1!0
Remarque : il convient ici d’étudier globalement la limite du module de F6 pour ne pas
avoir l’indétermination apparente en faisant le produit des limites.
ce résultat permet de tracer la partie pour ! variant de 0 à +1; puis la partie pour !
variant de 1 à 0 s’obtient par symétrie par rapport à l’axe réel; l’existance d’un pôle
nul assure la fermeture du lieu en faisant 1/2 tour dans le sens trigo pour aller de 0 à
0+:
Nyquist Diagram
lieu de F6
10
w=0-
Imaginary Axis
5
fermeture
par 1/2
tour
dans
le sens
0 trigo.
I
w=+inf
w=-inf
-5
-10
w=0+
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
Conditions de stabilité :
F6 (donc K F6 ) possède un pôle non asymptotiquement stable ( 0 ) : le lieu de Nyquist
de la boucle ouverte K F6 doit entourer 1 une fois dans le sens trigo pour que le système
bouclé par retour unitaire soit asymptotiquement stable. Il faut donc, pour K > 0; choisir
K tel que l’intersection I soit à droite du point 1 ( sinon le lieu n’entoure pas 1 dans
le sens trigo); pour K < 0 le lieu n’entoure pas 1 (symétrie par rapport à l’origine )
donc le système bouclé n’est jamais stable.
Il faut d’abord chercher ce point d’intersection I avec l’axe réel :
Pr. I. Zambettakis
or on sait que
1
déphase toujours de
p
2
8! et que le second ordre déphase de
1
1
! = ! n = p ( son module vaut alors
1 + 2 np +
2
! la phase de F6 est de
et le module vaut :
1
jF6 j!= p1 =
2
1
jp
2
Pour le système K F6 le point I sera en
on veut :
1
2j p
2
1
1 + jp
2
2 p2
n
=
2
pour
1
). Pour cette valeur de
2
= 2:
2K;
1<
2K
donc les conditions nécessaires et su¢ santes de stabilité asymptotique sont :
0 < K < 0:5
Pr. I. Zambettakis
(g)
F7 =
1 + 10p
p(1 + p + p2 )(3p
1)
Tracé du lieu de Nyquist :
La complexité de ce système nécessite le passage par les diagrammes asymptotiques de
Bode pour obtenir l’évolution de sa phase et de son module; la somme des diagrammes
asymptotiques des di¤érents systèmes élémentaires contenus dans F7 conduit aux conclusions suivantes :
Bode Diagram
Magnitude (dB)
100
50
0
-50
-135
Phase (deg)
-180
-225
-270
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
Frequency (rad/sec)
lieux de Bode de F7
Le module jF7 j varie de +1 ! 0 régulièrement,
3
3
la phase croit de
à
puis décroit de
à
;
2
2
2
2
la phase passe 2 fois par
: il y aura 2 intersections avec l’axe réel.
Pr. I. Zambettakis
Nyquist Diagram
25
fermeture du lieu
par un 1/2 tour dans le sens trigo
20
w=0+
15
10
Imaginary Axis
5
0
B
A
C
-a
-b
w=inf
-5
-10
-15
W=0-20
-25
-10
-8
-6
-4
-2
0
Real Axis
lieu de nyquist de F7
Conditions de stabilité :
F7 (donc K F7 ) possède deux pôles non asymptotiquement stables ( 0 et 1/3 ) : le lieu de
Nyquist de la boucle ouverte K F7 doit entourer 1 deux fois dans le sens trigo pour que
le système bouclé par retour unitaire soit asymptotiquement stable. Il faut donc choisir
K tel que le point 1 soit à l’intérieur de la zone B ( sinon le lieu n’entoure pas 1 dans
le sens trigo); pour K < 0 le lieu (symétrie par rapport à l’origine ) n’entoure 1 qu’une
fois, donc le système bouclé n’est jamais stable.
Soient a et b les abscisses des points d’intersection, la condition de stabilité asymptotique de K F7 bouclé par retour unitaire est :
1
1
<K<
a
b
Pr. I. Zambettakis
(h)
F8 =
1 2p
(1 + p)(1 + 4p)
Tracé du lieu de Nyquist :
transferts phases
1 2p
0!
1+p
1
0!
1 + 4p
2
3
F8
0!
2
modules
1!2
1!0
1!0
1 2p
1
est la même que celle du second ordre
:
1+p
(1 + p) (1 + 2p)
Remarque 2 : le module de F8 ne décroit pas forcément partout.
ce résultat permet de tracer la partie pour ! variant de 0 à +1; puis la partie pour !
variant de 1 à 0 s’obtient par symétrie par rapport à l’axe réel; le lieu est une courbe
fermée puisqu’il n’y a pas de pôle imaginaire pur:
Remarque 1 : la phase de
Nyquist Diagram
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
0.2
I
w=+inf
w=0+
0
w=0-
w=-inf
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
lieu de Nyquist de F8
Conditions de stabilité :
F8 (donc K F8 ) ne possède pas de pôle non asymptotiquement stable : le lieu de Nyquist
de la boucle ouverte K F8 ne doit pas entourer 1 dans le sens trigo pour que le système
bouclé par retour unitaire soit asymptotiquement stable. Il faut donc, pour K > 0; choisir
K tel que l’intersection I soit à droite du point 1 ; pour K < 0 le lieu n’entourera pas
1 (symétrie par rapport à l’origine ) si jKj < 1, donc pour K > 1.
La recherche du point d’intersection I avec l’axe réel nécessite ici le calcul suivant ( pas
de solution par l’analyse phase-module) :
calcul de la partie imaginaire Im et de la partie réelle Re de F8 (j!)
Pr. I. Zambettakis
1 2j!
1 2j!
=
(1 + j!) (1 + 4j!)
1 4! 2 + 5j!
2
(1 2j!) (1 4!
5j!)
=
2
2
2
(1 4! ) + 25!
1 14! 2 + j! (8! 2 7)
=
(1 4! 2 )2 + 25! 2
F8 (j!) =
recherche du ! qui annule Im
Im = 0 pour ! =
calcul de Re pour cet !
1
Re =
1
4
Pour le système K F8 le point I sera en
7
8
7
8
14
7
8
r
2
+ 25
7
8
= 0:4
0:4K;
on veut :
1<
0:4K
donc les conditions nécessaires et su¢ santes de stabilité asymptotique sont :
1 < K < 2:5
Remarque : lien avec la marge de gain mg
mg = 20 log j 1j
20 log j0:4Kj =
20 log j0:4Kj > 0 pour K < 2:5:
Pr. I. Zambettakis