O t e s

PSI/MP
2008/2009
DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST
Lycée Paul Valéry
Pour l’étude fréquentielle des systèmes asservis, nous utilisons déjà les diagrammes de Bode de gain et de Phase. Deux
autres diagrammes sont souvent utilisés pour étudier la stabilité des systèmes asservis linéaires :
•
le diagramme de Black
•
le diagramme de Nyquist
L’objectif de ce cours est de savoir tracer le diagramme de Black et savoir lire le diagramme de Nyquist d’un système
quelconque dans le but d’étudier sa stabilité.
I.
ETUDE FREQUENTIELLE : RAPPEL
Le système étudié à une fonction transfert
H ( p ) quelconque. Il est soumis à une sollicitation (entrée) sinusoîdale. La
réponse de ce système linéaire est aussi sinusoïdale de même pulsation que l’entrée mais elle est déphasée et son
amplitude est différente.
eo
différence d'amplitude
so
s(t)
t
O
e(t)
H ( j.ω ) est la fonction transfert complexe du système :
s
• de module AdB(w)= 20. log H ( jω ) = 20. log 0 qui est le gain en décibel du système.
e0
• d’argument Arg(H(jw))= ϕ qui est la phase du système.
Conclusion :
L’étude de la fonction de transfert harmonique en fonction de la pulsation ω permet de déterminer l’amplitude et la phase
de la réponse harmonique du système. On utilisera pour cela les lieux de transfert qui sont des représentations
graphiques du gain
s0
et de la phase ϕ .
e0
Nous étudierons les diagramme de Black et de Nyquist des systèmes du premier ordre et du second ordre.
II.
DIAGRAMME DE BLACK
1. Définition
Le diagramme de Black est le tracé du gain
FBK
AdB (ω ) en fonction de la phase ϕ (ω ) .
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DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST
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2. Système du premier ordre
Soit un système du premier ordre de fonction transfert :
E(p)
K
1+τ.p
S(p)
Système du premier ordre
Le tracé du diagramme de Black se fait à partir du diagramme de Bode de gain et de phase.
Diagrammes de Bode
Diagramme de Black
Gain
Phase
FBK
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3. Système du deuxième ordre
Soit un système du second ordre de fonction transfert :
E(p)
S(p)
K
1+
2z
ω0
.p +
p
ω02
système du second ordre
Le tracé du diagramme de Black se fait à partir du diagramme de Bode de gain et de phase.
Diagrammes de Bode
Diagramme de Black
Gain
Phase
FBK
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III.
DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST
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DIAGRAMME DE NYQUIST
1. Définition
Le diagramme de Nyquist est le tracé de la partie Im de la fonction transfert complexe en fonction de la partie Re de la
fonction transfert complexe H ( j.ω ) .
Diagramme de Nyquist :
2. Système du premier ordre
Soit un système du premier ordre de fonction transfert :
E(p)
K
1+τ.p
S(p)
Système du premier ordre
Calcul des parties réelles et imaginaires de
FBK
H ( j.ω ) :
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DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST
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Tracé du diagramme de Nyquist :
Evolution pour K=1 puis 5 puis 10
IMAG
1
0
K=1
-1
-2
K=5
-3
-4
K=10
-5
-6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
REEL
Transformation :
4. Système du deuxième ordre
Soit un système du second ordre de fonction transfert :
E(p)
S(p)
K
1+
2z
ω0
.p +
p
ω02
système du second ordre
FBK
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DIAGRAMMES DE BLACK ET DE NYQUIST
Tracé du diagramme de Nyquist pour ω 0
= 1 rad/s , z =
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1
, K = 1 puis 5 puis 10 :
2
IMAG
2
-1
0
K=1
-2
-4
K=5
-6
-8
K=10
-10
-12
-4
-2
0
2
4
6
8
10
REEL
Transformation :
Tracé du diagramme de Nyquist pour ω 0
= 1 rad/s , K = 1 , z =
1
1
puis z =
puis z = 2,5 puis z = 5
4
2
IMAG
0.5
-1
0.0
z=5
-0.5
z=2,5
-1.0
z=0,5
-1.5
z=0,25
-2.0
-2.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
REEL
FBK
6/6