Une belle formule : eiπ +1=0

Une belle formule : eiπ + 1 = 0
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Une belle formule : eiπ + 1 = 0
Cette formule fait intervenir cinq nombres célèbres et fondamentaux en mathématiques :
e la base de la fonction exponentielle : e = exp(1).
Le concept (la constante 2,71828...) vient de John Napier (l’inventeur des logarithmes) et la première trace écrite est datée de 1618. La notation par la lettre e a
été introduite par Euler en 1727, et on n’est pas sûr de la raison du choix de cette
lettre (peut-être est-ce simplement parce qu’il représentait les constantes par des
voyelles et que dans son texte la voyelle a était déjà prise).
Le mot «exponentielle» a été introduit vers 1800.
cos(θ) = lim
n→+∞
n
X
(−1)k
k=0
n
X
θ2k
θ2
θ4
=1−
+
+ ...
(2k)!
2
24
θ2k+1
θ3
θ5
=θ−
+
+ ...
n→+∞
(2k + 1)!
6
120
k=0
Ces développements sont fondés sur des calculs de dérivées (dérivez la série qui
représente ex , vous la retrouvez à l’identique ; dérivez celle de sin(x), vous retrouvez
celle de cos(x), etc.).
On fait le lien entre ces formules en posant x = iθ dans le développement de ex . Comme
les puissances successives de i sont1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, . . . , on a
i i est le nombre «imaginaire» permettant d’engendrer tous les nombres complexes :
(iθ)2 = −θ2 , (iθ)3 = −iθ3 , (iθ)4 = θ4 , (iθ)5 = iθ5 , . . . .
i2 = −1.
En séparant les parties réelles et les parties imaginaires, on retrouve les formules de
Le concept date de 1550 environ (Bombelli, Cardan) et la notation par la lettre i cos(θ) et sin(θ), et «donc» eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
date de 1777 (Euler). Le mot ”imaginaire” (et le mot ”réel”) a été introduit par En remplaçant ensuite θ par π, on obtient eiπ = −1, soit la formule eiπ + 1 = 0
Descartes en 1637.
Euler a donc joué un rôle important dans cette formule : il l’a «découverte», il l’a
π π est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Le concept (le justifiée partiellement et il a introduit ou popularisé les notations e, i et π.
fait que ce rapport soit constant) est très ancien en géométrie , mais on a mis du
temps à considérer qu’il s’agissait d’un «nombre». La lettre π est la première lettre Avec le recul que permet l’histoire, on peut dire qu’il a en fait généralisé la nob
du mot grec qui signifie «périmètre». On la voit apparaı̂tre en 1706 (Jones ) pour tation a en donnant une définition pour un cas qui n’était pas encore défini à son
désigner la constante mathématique en question (3, 14159 . . . ). Elle est reprise par époque (le cas où a est le nombre e et où b est un imaginaire pur iθ), et cela d’une façon
cohérente avec d’autres connaissances : les développements en série entière de ex , cos(x)
Euler en 1737.
et sin(x), les propriétés des puissances, de l’exponentielle, les formules de trigonométrie,
0 0 est l’élément neutre de l’addition. Le concept de ”zéro” a plusieurs aspects («rien», les équations différentielles. Ce qui est remarquable, c’est qu’une notation introduite
«vide», etc.) et il est très ancien mais l’utilisation d’un symbole spécial 0 pour le pour une raison particulière soit cohérente avec tant d’autres connaissances.
représenter dans un système de numération date environ du 7ème siècle, en Inde.
Il n’est vraiment utilisé en Europe que vers le 13ème siècle.
1 1 est l’élément neutre de la multiplication. Son utilisation est bien antérieure au zéro.
Mais il n’a pas été tout de suite reconnu comme un nombre (quand on pense à un
«nombre», on pense à «plusieurs», donc les nombres commenceraient à 2).
Historiquement, le lien entre ces nombres a été fait par Euler, à partir de formules
permettant d’exprimer ex , cos(x) et sin(x) comme des limites de sommes de puissances
de x (ce type de formule s’appelle «développement en série entière»)
n
X
x2
x3
x4
x5
xk
=1+x+
+
+
+
+ ...
ex = lim
n→+∞
k!
2
6
24 120
k=0
sin(θ) = lim
(−1)k