Analyse spectrale Série de Fourier

Analyse spectrale
Série de Fourier
Table des matières
1 Représentation d’un signal
1.1 Représentation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Représentation fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2 Calcul du développement en série de Fourier d’un signal périodique simple
3
3 Série de Fourier
5
4 Formule de Parseval
7
5 Spectre du signal
7
1
Lycée JB de BAUDRE à AGEN
Académie de Bordeaux
Avertissement : Le cours suivant est destiné à des élèves de BTS SE dont le niveau en mathématiques n’est pas
toujours suffisant. L’ensemble perd parfois de sa rigueur au profit de la compréhension du phénomène. Le lecteur
averti trouvera davantage de précision dans la dernière partie de ce cours.
1
Représentation d’un signal
Les signaux rencontrés peuvent être analogiques(continus) ou numériques(discrets). L’échantillonnage permet
le passage de l’un à l’autre et le théorème de Shanon assure la fidélité du processus.
Les oscillogrammes comme les logiciels de traitement du son (Audacity) représente par défaut l’amplitude d’un
signal en fonction du temps ; on parle alors de représentation temporelle du signal. On peut aussi le représenter
en fonction d’une fréquence. On parle alors de représentation fréquentielle du signal
1.1
Représentation temporelle
Une exemple simple d’un signal périodique :
s(t) = 20sin(50t)
d’amplitude 20 et de pulsation ω = 50, dont la courbe représentative est :
20
10
0.5
−0.5
−10
−20
−30
Un exemple un peu plus complexe :
.
s(t) = 2cos(t) − 5sint(2t) + 3cos(4t)
dont la représentation graphique est :
BTS SE
Lycée JB de BAUDRE à AGEN
Académie de Bordeaux
5
4
3
2
1
−5
1.2
−4
−3
−2
1
−1−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
2
3
4
Représentation fréquentielle
Il s’agit de représenter l’amplitude du signal en fonction de la pulsation du signal encore appelé spectre du
signal. Rappelons que pulsation et fréquence sont liées par la relation ω = 2πf , qui traduit la proportionnalité des
deux grandeurs.Le spectre obtenu est alors le même si on représente l’amplitude en fonction de la pulsation ou de
la fréquence.
Reprenons les exemples précédents dont le spectre est facile à réaliser :
Amplitude
5
4
Amplitude
3
20
2
1
ω
10
2
20
30
40
50
ω
−1
−1
1
2
3
4
Calcul du développement en série de Fourier d’un signal périodique simple
La décomposition en série de Fourier d’un signal périodique permet d’établir le spectre de fréquence de ce
signal.
En effet, le principe ✍ de la décomposition de Fourier est le suivant :
Tout signal périodique s se décompose en une somme de sinusoı̈des de différentes harmoniques.
✍. Il s’agit bien ici d’un principe et non d’une définition rigoureuse !
BTS SE
Lycée JB de BAUDRE à AGEN
Académie de Bordeaux
En d’autres termes, on peut écrire :
s(t) = A0 + A1 sin(ωt + φ1 ) + A2 sin(2ωt + φ2 ) + A3 sin(3ωt + φ3 ) + ... + An sin(nωt + φn ) + ...
ou bien encore :
s(t) = a0 + a1 cos(ωt) + b1 sin(ωt) + a2 cos(2ωt) + b2 sin(2ωt) + ... + an cos(nωt) + bn sin(nωt) + ...
où les (ai ) et les (bi ) sont appelés les coefficients de Fourier du signal s avec :
Z
1
s(t)dt
a0 =
T T
Z
Z
2
2
s(t)cos(nωt)dt et bn =
s(t)sin(nωt)dt
et pour tout n > 1, an =
T T
T T
Le symbole
Z
signifie qu’on intègre sur une période, ou plus précisément sur un intervalle de longueur égale à la
T
période.
EXEMPLE
On considère le signal 2π- périodique représenté ci-dessous sur une période :
3
2
1
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
−2
−3
−4
On a donc :
π
t si t ∈ [0; [
2
π 3π
−t + π si t ∈ [ ; [
s(t) =

2 2


 t − 2π si t ∈ [ 3π ; 2π[
2





BTS SE
3
4
5
6
7
Lycée JB de BAUDRE à AGEN
Académie de Bordeaux
Calculons les coefficients de Fourier de ce signal avec les formules ci-dessus :
– 2πa0 =
Z
s(t)dt =
Z
2π
s(t)dt = 0 après calculs.
0
T
– Pour n > 1, on a :
Z 3π
Z 2π
Z 2π
Z π
2
tcos(nt)dt + π 2 (−t + π)cos(nt)dt + 3π (t − 2π)cos(nt)dt = 0 après calπan =
s(t)cos(nt)dt =
0
0
2
culs ✍ .
2
– Pour n > 1, on a :
Z 2π
Z 3π
Z π
Z 2π
2
2
tsin(nt)dt + π (−t + π)sin(nt)dt + 3π (t − 2π)sin(nt)dt,
s(t)sin(nt)dt =
πbn =
0
0
4
nπ
soit πbn = 2 sin( ) après calculs.
n
2
4
4
Donc b1 = , b2 = −0; b3 = − ; ... et enfin :
π
9π
2
2
s(t) = b1 sin(t) + b2 sin(2t) + b3 sin(3t) + ... =
4
4
sin(t) −
sin(3t) + ...
π
9π
Représentation graphique du signal obtenu jusqu’aux harmoniques de rang 5 :
3
2
1
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
−1
2
3
4
−2
−3
−4
3
Série de Fourier
On considère une fonction f continue par morceaux, T -périodique, et vérifiant
∀x ∈ R, f (x) =
f (x+ ) + f (x− )
2
✍. On verra plus tard que ce résultat était prévisible.
BTS SE
5
6
7
Lycée JB de BAUDRE à AGEN
Définition 1 On
Académie de Bordeaux
appelle
série
de
Fourier
de
f
la
série
Sn (f )
=
+∞
X
(ak cos(kωx) + bk sin(kωx)) où :
k=1
Z
1
s(t)dt
a0 =
T T
Z
Z
2
2
s(t)cos(nωt)dt et bn =
s(t)sin(nωt)dt
et pour tout n > 1, an =
T T
T T
a0
+
2
Les conditions de Dirichlet sont suffisantes pour affirmer la convergence de la série de Fourier vers la fonction
f.
En d’autres termes, si la fonction f est continue, la somme de la série est d’autant plus proche de f que n est
grand.
Dans le cas de discontinuité de la fonction la série ne converge pas au point de discontinuité.Graphiquement, on
constate l’apparition d’ondes, connue sous le nom de phénomène de Gibbs(voir ci-dessous).
Visualisation du phénomène de Gibbs
6
4
2
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
Les propriétés des signaux étudiés peuvent simplifier le calcul des coefficients de Fourier de la fonction.
Proposition 1 Si la fonction f est paire(resp. impaire) alors quelque soit l’entier n , bn = 0
(resp. an = 0).
On rappelle que :
– Une fonction est paire si pour tout t, on a :
s(t) = s(−t)
La courbe représentative est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
– Un signal est dit impair si pour tout t, on a :
b
s(t) = −s(−t)
BTS SE
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Académie de Bordeaux
La courbe représentative est alors symétrique par rapport à l’origine du repère.
4
Formule de Parseval
Proposition 2 Lorsque la fonction f vérifie les conditions de Dirichlet, on a :
1
T
Z
+∞
f 2 (t)dt = a20 +
T
1X 2
(an + b2n )
2
n=1
On calcule donc avec les coefficients de Fourier, le carré de la valeur efficace de f . En pratique, on ne garde que
quelques coefficients, l’approximation étant alors assez bonne.
Exemple :On considère le signal triangle, 2π-périodique défini par :
s(t) = t sur [0; 2π[.
2
On trouve après calculs, a0 = π et ∀n ∈ N∗ , an = 0 et bn = − .
n
La formule de Parseval donne donc :
1
2π
5
Z
+∞
f 2 (t)dt = π 2 +
T
1X 4
2
n2
n=1
Spectre du signal
Le spectre d’un signal est le diagramme obtenu où :
– Les abscisses sont des entiers correspondants aux rangs des harmoniques( fondamentale= harmonique de
rang 1) ;
p
– Les ordonnées sont les amplitudes An de chaque harmonique, avec An = a2n + b2n
BTS SE
Lycée JB de BAUDRE à AGEN
Académie de Bordeaux
Quelques exemples :
Amplitude
s(t) =
4
4
4
sin(t) −
sin(3t) +
sin(5t)
π
9π
25π
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
−0.1
−1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
n
Amplitude
2.5
2.0
1
s(t) = 2 − 2cos(t) + sin(t) − cos(2t) + sin(2t)
2
1.5
1.0
0.5
−1
BTS SE
n