Exemples : suites (sens de variation)

Exemples : suites (sens de variation)
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Exemples : suites (sens de variation)
I)
Sens de variation : formule directe
1. Soit un = 2n − n. Déterminer le sens de variation de u
un+1 − un = 2n+1 − (n + 1) − 2n + n · · · = 2n − 1 > 0 (car 2n > 20 pour n > 0).
Donc u est croissante.
2n
pour n > 1. Déterminer le sens de variation de u.
2. un =
n
n−1
un+1 − un = · · · = 2n
> 0, donc u est croissante.
n(n + 1)
un+1
2n
ou bien :
> 1 (car 2n > n + 1 car · · · ). Donc, puisque u > 0,
= ··· =
un
n+1
u est croissante.
n+3
. Déterminer le sens de variation de u
3. Soit vn =
n+1
−2
vn+1 − vn = · · · =
< 0, donc v est strictement décroissante.
(n + 2)(n + 1)
x+3
2
ou bien : soit f : x 7→
définie sur [0; +∞[. f 0 (x) = · · · = −
< 0, donc
x+1
(x + 1)2
f est strictement décroissante, donc v aussi car vn = f (n).
4. Soit un la somme des carrés des nombres entiers de 0 à n. Déterminer le sens de
variation de u
un = 02 + 12 + 22 + · · · + n2 . un+1 − un = (n + 1)2 > 0, donc u est strictement
croissante.
1
1
1
5. Soit un = 1 + + 2 + · · · + n − n.. Déterminer le sens de variation de u
2 2
2
1
un+1 −un = · · · = n+1 −1 < 0 (car 2n+1 > 1). Donc u est strictement décroissante.
2
1 1 1
(−1)n−1
6. Soit sn = 1 − + − + · · · +
(n > 1). Soit un = s2n . Déterminer le sens
2 3 4
n
de variation de u.
1
1 1 1
Il faut bien comprendre la définition de u : u1 = s2 = 1− ; u2 = s4 = 1− + − ;
2
2 3 4
1 1
u2 − u1 = −
3 4
un+1 − un = · · · =
croissante.
1
1
−
> 0 car 2n + 2 > 2n + 1. Donc u est strictement
2n + 1 2n + 2
7. Soit un = (−1)n . Déterminer le sens de variation de u
u1 < u0 , donc u n’est pas croissante. u2 > u1 , donc u n’est pas décroissante.
u n’est ni croissante ni décroissante.
nn
pour n > 1 (« n! » se lit «factorielle n» et désigne le produit des
8. Soit un =
n!
nombres entiers de 1 à n : 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120).
un+1
et en déduire le sens de variation de u
Calculer
un
n
un+1
n+1
(n + 1)n+1
n!
=
× n = ··· =
(assurez-vous que vous savez faire ce
un
(n + 1)!
n
n
calcul ).
un+1
n+1
> 1, donc
> 1, donc un+1 > un (on multiplie
Or n + 1 > n > 0, donc
n
un
par un , positif), donc u est croissante.
II)
Sens de variation : formule de récurrence
9. Soit la suite u définie par u0 = 3 et un+1 = un + n − 5. Déterminer le sens de variation
de u.
un+1 − un = n − 5, donc u est strictement décroissante sur l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4}
puis croissante ensuite.
1
10. Soit u0 = 0 et un+1 =
pour tout n > 0.
2 − un
Démontrer par récurrence que un < 1 pour tout n > 0.
En déduire le sens de variation de u.
Notations : soit Pn la proposition « un < 1 »
Initialisation : P0 s’écrit « u0 < 1 ». C’est vrai car u0 = 0 et 0 < 1.
Hérédité : Soit un n tel que un < 1 (hypothèse de récurrence). A-t-on un+1 < 1 ?
1
un − 1
un+1 − 1 =
−1=
.
2 − un
2 − un
Exemples : suites (sens de variation)
Or ici (hypothèse de récurrence) un < 1, donc 2 − un > 0 et un − 1 < 0. Donc
un+1 − 1 < 0 et donc on a bien un+1 < 1, ce qui est la propriété Pn+1
Donc l’hérédité est démontrée : Pn ⇒ Pn+1
Conclusion : D’après le principe de récurrence, un < 1 pour tout n entier naturel.
Sens de variation de u :
(un − 1)2
un+1 − un = · · · =
> 0 puisque 2 − un > 0 (car un < 1).
2 − un
Donc u est croissante.
2
3
1
Il est toujours prudent de vérifier : u0 = 0 ; u1 = ; u1 = ; u2 = ;
2
3
4
1
2
3
et on a bien 0 < < < .
2
3
4
Du point de vue purement logique, cette prudence n’est pas indispensable à la
rédaction de la démonstration. Mais la prudence est une qualité intellectuelle indispensable pour bien faire des mathématiques.
D’autre part, cette prudence peut s’allier à la curiosité : ces calculs permettent de
conjecturer une formule directe pour la suite : un = ...? . Et si cette curiosité s’allie
à la rigueur, alors on essaye ensuite de démontrer la propriété conjecturée. Et si on
fait preuve ensuite de réflexion, de recul et d’initiative, on peut ensuite trouver une
méthode différente de celle de l’énoncé pour démontrer que u est croissante, grâce
à la formule directe. Tout cela serait une démarche mathématique exemplaire..
1
2
11. Soit u0 = 4 et un+1 =
un +
pour n > 0.
un
2
√
√
2
1
x+
. On admettra que, pour tout x de [ 2; +∞[, 2 6 f (x) 6 x
Soit f (x) =
2
x
(pour le démontrer, on peut étudier les variations de f et de g : g(x) = f (x) − x).
En raisonnant par récurrence, démontrer que, pour tout n entier naturel,
√
2 6 un+1 6 un . En déduire le sens de variation de u.
√
Notations : soit Pn : « 2 6 un+1 6 un ».
√
Initialisation : P0 : « 2 6 u1 6 u0 ».
√
9
C’est vrai car 2 ≈ 1, 414, u1 = · · · = = 2, 25 et u0 = 4.
4
√
Hérédité : soit un n tel que
2
6
u
6
un (hypothèse de récurrence).
n+1
√
Pour un tel n, a-t-on 2 6 un+2 6 un+1 ?
√
√
On sait d’après l’énoncé que, pour tout x de [ 2; +∞[, 2 6 f (x) 6 x.
Or un+2 = f (un+1 ) d’après
l’énoncé. Il suffirait alors de poser x = un+1 et de
√
prouver que un+1 ∈ [ 2; +∞[ pour pouvoir appliquer la propriété de f .
Mais
√ cela est vrai dans cette partie (hérédité) d’après l’hypothèse de récurrence
(√ 2 6 un+1 ). Donc on peut appliquer√la propriété de f et on a bien :
2 6 f (un+1 ) 6 un+1 , c’est-à-dire 2 6 un+2 6 un+1 , ce qui est bien la
propriété Pn+1 .
Donc on vient de démontrer l’hérédité (Pn ⇒ Pn+1 ).
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√
Conclusion : d’après le principe de récurrence, on a 2 6 un+1 6 un pour tout
n entier.
Cela implique en particulier
que u est décroissante (et cela montre aussi que
√
u est minorée par 2 et majorée par u0 = 4).
√
Remarque : cette suite est célèbre depuis l’antiquité, sa limite est 2 (à prouver
plus tard).
12. Récurrence mutuelle entre deux suites u et v.
un+1 + vn
un + vn
; v0 = 4 et vn+1 =
; wn = vn − un
Soit u0 = 3 et un+1 =
2
2
Démontrer que w est une suite géométrique positive
Démontrer que u est croissante et que v est décroissante (exprimer un+1 − un et
vn+1 − vn en fonction de wn ).
• Etude de w :
un + vn
1
un+1 + vn
−
= (un+1 − un ) = . . .
wn+1 = vn+1 − un+1 =
2
2
2
1 un + vn
1
1 −un + vn
=
− un =
= (wn ).
2
2
2
2
4
Donc w est une suite géométrique de raison
1
4
n
1
Son premier terme est w0 = v0 − u0 = 1, donc sa formule directe est wn =
.
4
En particulier wn > 0 .
• Sens de variation de u :
wn
> 0. Donc u est croissante.
un+1 − un = · · · =
2
• Sens de variation de v :
wn
vn+1 − vn = · · · = −
< 0. Donc v est décroissante.
4