Devoir surveillé du cours Mécanique, applications industrielles et

UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
Département de Mécanique
Devoir surveillé du cours Mécanique, applications
industrielles et recherche.
Samedi 24 octobre 2015
Durée : 2 heures. Sans document ni calculatrice
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Un formulaire vous rappelant un certain nombre d’équations est disponible à la fin de l’énoncé.
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
Si vous rencontrez une erreur dans l’énoncé, mentionnez le sur votre copie et poursuivez l’exercice.
Bon courage !
Question de cours (9,5 points)
Q1) Exprimer les coordonnées cylindriques (r, θ, z) en fonction des coordonnées cartésiennes (x, y et z)
(1 point).
−−→
~ R /R ∧ −
Q2) A partir de la formule de composition des vitesses ~v (M/R1 ) = ~v (M/R2 )+~v (O2 /R1 )+ Ω
O2 M
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et de la formule de Bour, démontrer la formule de composition des accélérations. (2 points)
Q3) Enoncer (précisément) les deux définitions données en cours des forces conservatives et non conservatives et démontrer qu’elles sont équivalentes. (2,5 points)
Q4) Une personne est dans un wagon de train et peut éventuellement se déplacer dans ce wagon. Décrivez dans quelle situation (mouvement du train, mouvement de la personne dans le train) les différentes
composantes de la force d’entrainement et de la force de Coriolis (rappelées dans le formulaire) jouent-elles
un rôle (2 points)
Q5) Démontrer en partant de la définition, l’expression du gradient d’un champ f (x, y, z) en coordonnées
cylindriques. (2 points)
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Exercice d’applications du cours (1,5 points)
Q6) Soit le point de coordonnées cylindriques (r, θ, z) = (1, π, 1). Déterminer les coordonnées sphériques
de ce point. (1,5 points)
(r ′ , θ ′ , φ′ )
1
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Problème 1 : Vitesse d’un point dans différents référentiels (3,5 points)
M
λ
x~2
O2
y~2
z~1
z~2
O1
y~1
x~1
Figure 1 – Schéma question 8.
Q7) On considère le système suivant : deux solides 1 et 2 sont en liaison rotule (voir figure 1). L’orientation
relative des deux repères R1 = (O1 , x~1 , y~1 , z~1 ) et R2 (O1 , x~2 , y~2 , z~2 ) liés respectivement à ces deux solides est
donnée par les 3 angles d’Euler ψ(t), θ(t), et ϕ(t) définissant 3 rotations autour des axes (z~1 , ~u et z~2 )
respectivement :
Rot(Ψ,z~1 )
Rot(θ,~
u)
Rot(ϕ,z~2 )
(x~1 , y~1 , z~1 ) −−−−−−→ (~u, ~v , z~1 ) −−−−−→ (~u, w,
~ z~2 ) −−−−−−→ (x~2 , y~2 , z~2 )
avec :
~u = cos ψ x~1 + sin ψ y~1
~v = − sin ψ x~1 + cos ψ y~1
w
~ = cos θ~v + sin θ z~1
z~2 = − sin θ~v + cos θ z~1
x~2 = cos ϕ~u + sin ϕw
~
y~2 = − sin ϕ~u + cos ϕw
~
Le vecteur O1~O2 vaut d z~1 , avec d une constante. Enfin, le point M peut se translater suivant x~2 et est
donc tel que que O2~M = λ(t)x~2 . Quelle est la vitesse du point M dans le référentiel R2 . En utilisant la
formule de composition des vitesses, déterminer la vitesse du point M dans le référentiel R1 . (3,5 points)
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Problème 2 : Croix de Malte (6,5 points)
Le mécanisme représenté figure 2 est un mécanisme à croix de Malte qui transforme le mouvement de
rotation continu de l’arbre 1 en un mouvement de rotation intermittent de l’arbre 2. Sur la figure :
2
— α, β, et γ désignent respectivement les angles (~x, x~1 ), (~x, x~2 ) et (x~1 , y~2 )
— d et r désignent respectivement les distance OC et OA fixes telles que d/r > 1
— y désigne la distance variable AC
Figure 2 – Croix de Malte.
Le repère R(0, ~x, ~y , ~z) est lié au bâti 0, le repère R1 (0, x~1 , y~1 , ~z) est lié à 1 en liaison pivôt d’axe (O, ~z)
avec le batî 0, et le repère R2 (C, x~2 , y~2 , ~z) est lié à 2 en liaison pivôt d’axe (C, ~z ) avec le batî 0.
La liaison entre 1 et 2 est une liaison linéaire annulaire qui autorise la translation d’axe y~2 et la rotation
d’axe (A, ~z).
Q8) Montrez que la loi d’entrée sortie du mécanisme à croix de Malte, c’est à dire la relation entre les
angles α et β s’écrit : cos(α − β) = dr cos(β). (2,5 points)
Q9) En observant attentivement cette relation, montrez que l’angle β ne peut pas parcourir des angles
allant de 0 à 2π lorsque l’angle γ = π2 − (α − β) parcourt des angles allant de 0 à 2π. (1 point)
Q10) Dans le cas où les angles (α − β) et β sont très faibles (ce qui est possible si le rapport d/r est
proche de 1), établir une équation du second degré en α, en faisant le développement limité de l’équation
établie à la question Q1. La résoudre et en déduire une relation entre α et β. (3 points)
Formulaire
Soient R′ un référentielhquelconque et Rg un référentiel Galiléen.
−−−→
−−−
→i
~˙ R′ /R ∧ O′ M + Ω
~ R′ /R ∧ (Ω
~ R′ /R ∧ O′ M ) désigne les forces d’en• F~e = −m~γie = −m ~γ (O′ /Rg ) + Ω
g
g
G
−−′−→
~cen = −mΩ
~ R′ /R ∧ (Ω
~ R′ /R ∧ O M ) la force centrifuge,
trainement et en particulier F
g
g
~
~
• et Fcor = −m~γco = −2mΩR′ /Rg ∧ ~vM/R′ désigne la force de Coriolis.
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