Formulaire de math

MPSI 1
Formulaire de mathématiques
Trigonométrie circulaire
Arcs remarquables
α (rad)
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sinα
0
1
2
2
2
1
cosα
1
3
2
2
2
3
2
1
2
tanα
0
3
3
1
3
∞
cotα
∞
3
1
3
3
0
π

cos  − α  = sin α
2


π

cos  + α  = − sin α
2

cos ( π − α ) = − cos α
cos ( π + α ) = − cos α
π

sin  − α  = cos α
2


π

sin  + α  = cos α
2

sin ( π − α ) = sin α
π

tan  − α  = cot α
2


π

tan  + α  = − cot α
2

tan ( π − α ) = − tan α
sin ( π + α ) = − sin α
tan ( π + α ) = tan α
0
π

cot  − α  = tan α
2


π

cot  + α  = − tan α
2

cot ( π − α ) = − cot α
cot ( π + α ) = cot α
Formules d'addition
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
tan ( α + β ) =
sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
tan α + tan β
1 − tan α tan β
tan ( α − β ) =
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
sin 2α = 2sin α cos α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan 2 α
tan α − tan β
1 + tan α tan β
cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α
3 tan α − tan 2 α
tan 3α =
1 − 3 tan 2 α
Somme → produit
p+q
p−q
cos
2
2
p+q
p−q
sin p + sin q = 2sin
cos
2
2
sin ( p + q )
tan p + tan q =
cos p cos q
p+q
p−q
sin
2
2
p+q
p−q
sin p − sin q = 2 cos
sin
2
2
sin ( p + q )
cot p + cot q =
sin p sin q
cos p + cos q = 2 cos
cos p − cos q = −2 sin
Produit → somme
1
cos ( α + β ) + cos ( α − β ) 
2
1
sin α cos β = sin ( α + β ) + sin ( α − β ) 
2
1
cos ( α + β ) − cos ( α − β ) 
2
1
cos α sin β = sin ( α + β ) − sin ( α − β ) 
2
cos α cos β =
En fonction de t = tan
cos α =
1− t2
1+ t2
sin α sin β =
α
2
sin α =
2t
1+ t2
Trigonométrie circulaire
tan α =
2t
1− t2
1
MPSI 1
Formulaire de mathématiques
Trigonométrie hyperbolique
Définitions
cosh (cosinus hyperbolique) et sinh (sinus hyperbolique) sont respectivement les parties paire et impaire de la fonction
exponentielle :
eu + e − u
eu − e − u
sinh u eu − e − u
1
cosh u =
sinh u =
tanh u =
= u
coth u =
−u
2
2
cosh u e + e
tanh u
cosh 2 u − sinh 2 u = 1
cosh u + sinh u = eu
cosh u − sinh u = e − u
Formules d'addition
cosh ( u + v ) = cosh u cosh v + sinh u sinh v
cosh ( u − v ) = cosh u cosh v − sinh u sinh u
sinh ( u + v ) = sinh u cosh v + cosh u sinh v
tanh ( u + v ) =
sinh ( u − v ) = sinh u cosh v − cosh u sinh v
tanh u + tanh v
1 + tanh u tanh v
tanh ( u − v ) =
cosh 2u = cosh 2 u + sinh 2 u = 2 cosh 2 u − 1 = 2 sinh 2 u + 1
2 tanh u
tanh 2u =
1 + tanh 2 u
tanh u − tanh v
1 − tanh u tanh v
sinh 2u = 2sinh u cosh u
Somme → produit
p+q
p−q
cosh
2
2
p+q
p−q
sinh p + sinh q = 2 sinh
cosh
2
2
p+q
p−q
sinh
2
2
p+q
p−q
sinh p − sinh q = 2 cosh
sinh
2
2
cosh p + cosh q = 2 cosh
cosh p − cosh q = 2 sinh
Produit → somme
1
 cosh ( u + v ) + cosh ( u − v ) 
2
1
sinh u cosh v = sinh ( u + v ) + sinh ( u − v ) 
2
1
cosh ( u + v ) − cosh ( u − v ) 
2
1
cosh u sinh v = sinh ( u + v ) − sinh ( u − v ) 
2
cosh u cosh v =
En fonction de t = tanh
cosh u =
1+ t2
1− t2
sinh u sinh v =
u
2
sinh u =
2t
1− t2
Trigonométrie hyperbolique
tanh u =
2t
1+ t2
2
MPSI 1
Formulaire de mathématiques
Dérivées et primitives
Dans le tableau qui suit u est, à priori, une fonction de x et u' sa dérivée. On note F=fou la fonction composée de f par u ;
pour avoir la dérivée de la fonction f(x) il suffit de remplacer u par x et u' par 1.
Rappel très important : si F=fou alors F'=u'.f'ou
F
un
u+v
F'
nu'un−1
u' + v'
*
*
sinu
u'cosu
*
−u'sinu
cosu
tanu
*
u'
= u ' (1 + tan 2 u )
cos 2 u
u'
− 2 = −u ' (1 + cot 2 u )
sin u
u'eu
u'
u
u'coshu
cotu
eu
ln|u|
sinhu
*
*
*
*
*
F
uv
u
v
arcsinu
F'
u'v + uv'
vu '− uv '
v2
u'
arccosu
1− u2
u'
−
arctanu
*
1− u2
u'
1+ u2
u'
−
1 + u2
u'aulna (a > 0)
u'
log a e
u
u'
arccotu
au
logau
argshu
*
*
1+ u2
coshu
u'sinhu
tanhu
u'
cosh 2 u
u'
−
sinh 2 u
cothu
*
argchu
u'
(u > 1)
u2 −1
u'
(u2 < 1)
1− u2
u'
(u2 > 1)
1− u2
argthu
argcothu
Dans ce tableau toutes les fonctions sont supposées définies sur l'intervalle d'intégration.
α
∫ u du =
u α+1
+C
α +1
∫ tan udu = − ln cos u + C
du
∫ sin
2
∫ e du = e
u
du
∫
2
*
∫ cot udu = ln sin u + C
du
∫ cos
u
+C
*
∫ tanh udu = ln cosh u + C
∫ sinh
∫
= − cot u + C
u
u
du
1+ u
2
du
= ln u + C
u
*
2
u
*
du
∫ tan
au
∫ a du = ln a + C
*
∫ coth udu = ln sinh u + C
du
∫ cosh
= − coth u + C
(
2
)
u
= tanh u + C
= argsh u + C = ln u + 1 + u 2 + C
*
u
2
udu = tan u − u + C
∫ sinh udu = cosh u + C
du
u
∫ sinh u = ln tanh 2 + C
du
∫ 1+ u
∫
2
= arctan u + C
du
1− u
2
= arcsin u + C
∫ cos udu = sin u + C
*
π
u
du
∫ sin u = ln tan 2 + C
= tan u + C
u
∫ sin udu = − cos u + C
∫ cos u = ln tan  2 + 4  + C
*
∫ cot
*
∫ cosh udu = sinh u + C
2
udu = − cot u − u + C
du
∫ cosh u = 2 arctan e
du
∫ 1− u
∫
2
=
du
u −1
2
u
*
+C
1 1+ u
ln
+C
2 1− u
= ln u + u 2 − 1 + C
* : à savoir absolument !
Dérivées et primitives
3
MPSI 1
Formulaire de mathématiques
Développements limités
Formule de Taylor-Young
Si la fonction f est définie, continue et pourvue de dérivées successives jusqu'à l'ordre n sur un intervalle I comprenant x0, le
développement limité de f à l'ordre n au voisinage de x0 s'écrit :
f ( x ) = f ( x0 ) +
( x − x0 )
1!
f ' ( x0 ) +
( x − x0 )
2!
2
f " ( x0 ) + ... +
( x − x0 )
n!
n
f
( n)
( x0 ) +
( x − x0 )
n!
n
ε ( x)
avec lim ε ( x ) = 0 .
x → x0
Formule de Mac-Laurin
Ce développement correspond à un développement de Taylor au voisinage de x0 = 0 :
f ( x ) = f ( 0) +
x
x2
x n ( n)
xn
f ' ( 0) +
f " ( 0 ) + ... +
f (0) + ε ( x)
1!
2!
n!
n!
avec lim ε ( x ) = 0 .
x →0
Développements limités usuels au voisinage de x0 = 0
On utilise la notation de Landau :
( x − x0 )
n!
n
(
ε ( x ) = 0 ( x − x0 )
n
)
A savoir absolument :
α ( α − 1) 2
α ( α − 1) ... ( α − n + 1) n
α
x + ... +
x + 0 ( xn )
(1 + x ) = 1 + αx +
n!
2!
n
x x2
xn
x x2
n x
e x = 1 + + + ... + + 0 ( x n ) d'où l'on tire : e − x = 1 − + + ... + ( −1)
+ 0 ( xn )
1! 2!
n!
1! 2!
n!
ln (1 + x ) = x −
n

x 2 x3
x 2 x3
xn 
n −1 x
+ + ... + ( −1)
+ 0 ( x n ) d'où l'on tire : ln (1 − x ) = −  x + + + ... +  + 0 ( x n )
2
3
n
2
3
n 

sin x = x −
x 3 x5
x 2 n +1
n
+ ... + ( −1)
+ 0 ( x 2 n +1 )
3! 5!
( 2n + 1) !
cos x = 1 −
2n
x2 x4
n x
+ − ... + ( −1)
+ 0 ( x 2n )
2! 4!
( 2n ) !
tan x = x +
sinh x =
x3 2 5 17 7
+ x +
x + 0 ( x7 )
3 15
315
x x3
x( )
+ + ... +
+ 0 ( x 2 n +1 ) (facile à retenir : c'est la partie impaire de ex)
1! 3!
( 2n + 1) !
2 n +1
x2 x4
x 2n
+ + ... +
+ 0 ( x 2 n ) (facile à retenir : c'est la partie paire de ex)
2! 4!
2n !
Un peu moins utiles (en physique !) :
1.3.5... ( 2n − 1) x 2 n +1
1 x3 1.3 x5
arcsin x = x +
+
+ ... +
+ 0 ( x 2 n +1 )
2 3 2.4 5
2.4.6... ( 2n ) 2n + 1
cosh x = 1 +
arccos x =
1.3.5... ( 2n − 1) x 2 n +1
π
1 x 3 1.3 x5
−x−
−
− ... −
+ 0 ( x 2 n +1 )
2
2 3 2.4 5
2.4.6... ( 2n ) 2n + 1
2 n +1
x3 x5
n x
+ ... + ( −1)
+ 0 ( x 2 n +1 )
3 5
2n + 1
x3 2
17 7
tanh x = x − + x 5 −
x + 0 ( x7 )
3 15
315
x3 x5
x 2 n +1
arg tanh x = x + + ... +
+ 0 ( x 2 n +1 )
3 5
2n + 1
arctan x = x −
Développements limités
4
MPSI 1
Formulaire de mathématiques
Systèmes de coordonnées
M =
cart
ez
z
Coordonnées cartésiennes
dz
x
y
z
dy
dx
M
z
ey
ex
Domaines de définition : x, y, z ∈ ℝ
Vecteur position : OM = xe x + ye y + ze z
Déplacement élémentaire : dl = dxe x + dye y + dze z
y
O
 dxe x ∧ dye y = dxdye z

Surfaces élémentaires :  dye y ∧ dze z = dydze x
 dze ∧ dxe = dxdze
x
y
 z
Volume élémentaire : dxdydz
y
x
x
Coordonnées cylindriques
z
ρ
M =
cyl
ez
ϕ
z
eϕ
dz
ρ = ( OH ) , ρ ∈ ℝ
Définitions et domaines de définition : 
ϕ = ( Ox, OH ) , ϕ ∈ [ 0, 2π[
Vecteur position : OM = ρeρ + ze z
+
z dϕ
ρdϕ
dρ
eρ
M
O
Déplacement élémentaire : dl = d ρeρ + ρd ϕeϕ + dze z
 d ρeρ ∧ ρd ϕeϕ = ρd ρd ϕe z

Surfaces élémentaires : ρd ϕeϕ ∧ dze z = ρd ϕdzeρ
 dze ∧ d ρe = d ρdze
ρ
ϕ
 z
Volume élémentaire : ρdρdϕdz
y
ρ
ϕ
H
x
Coordonnées sphériques
r
M =
sph
θ
ϕ
z
 r = ( OM ) , r ∈ ℝ

Définitions et domaines de définition : θ = ( Oz , OM ) , θ ∈ [ 0, π]
ϕ = ( Ox, OH ) , ϕ ∈ [ 0, 2π[

er
+
θ
(H a la même définition que sur le schéma des coordonnées
cylindriques)
Vecteur position : OM = rer
dθ
eϕ
r
O
Déplacement élémentaire : dl = dre r + rd θeθ + r sin θd ϕeϕ
 dre r ∧ rd θeθ = rdrd θeϕ

Surfaces élémentaires :  rd θeθ ∧ r sin θd ϕeϕ = r 2 sin θd θd ϕe r
 r sin θd ϕe ∧ dre = r sin θdrd ϕe
ϕ
r
θ

dr
M
ϕ
eθ
y
dϕ
x
Volume élémentaire : r2sinθdrdθdϕ
Systèmes de coordonnées
5
MPSI 1
Formulaire de mathématiques
Opérateur gradient
Définition :
On appelle gradient au point M du champ scalaire f(M) le vecteur noté gradf(M) tel que :
∫
AB
gradf ( M ) .dl ( M ) = ∫ df = f ( B ) − f ( A )
AB
où dl(M) désigne le vecteur déplacement élémentaire au point M appartenant à la courbe AB .
Sous forme différentielle : df ( M ) = gradf ( M ) .dl ( M ) .
Propriétés
L'opérateur gradient transforme un champ scalaire en champ vectoriel.
perpendiculaire aux surfaces isoscalaires f = cte
* Le vecteur gradf(M) est :
orienté dans le sens des f croissants
* Par sa définition même, la circulation du vecteur gradf est indépendante du chemin suivi, gradf est donc à circulation
conservative. Réciproquement, si un champ vectoriel F(M) est à circulation conservative, il existe un champ scalaire U(M),
défini à une constante additive près, tel que F = −gradU ; on dit alors que F dérive du potentiel scalaire U.
*
Expressions dans les différents systèmes de coordonnées
gradf =
cart
∂f
∂x
∂f
=
∂y
∂f
∂z
cyl
∂f
∂ρ
1 ∂f
=
ρ ∂ϕ
∂f
∂z
sph
∂f
∂ρ
1 ∂f
r ∂θ
1 ∂f
r sin θ ∂ϕ
Opérateur gradient
6