Calcul de Primitives 1 Primitives usuelles 2 Primitives de Fractions

Calcul de Primitives
P
Dans toute la suite, on appelera F ∈ R(X ) ou C(X ) cad F est une fraction rationnelle, F = Q
avec P,Q polynômes.
1
Primitives usuelles
Pour simplifier, on omet le « à une constante k près » ainsi que le (les) intervalle de primitivation :
Z
e
at
e at
dt =
a
∗
(a ∈ C )
Z
Z
Z
sinh t dt = cosh t
tan t dt =
Z
sin t dt = − cos t
Z
Z
cos t dt = sin t
t a dt =
sin t d t
= − ln | cos t |
cos t

a+1

t
a+1
a 6= −1
Z
tanh t dt = ln | cosh t |
Z
cosh t dt = sinh t

ln |t | a = −1
Z
dt
2
sin t
Z
dt
t2 +1
Z
2
=
−1
tan t
= arctan t
dt
= arcsin t
p
1− t2
dt
= tan t
cos2 t
dt
−1
2
sinh t tanh t


µ ¶
Z
Z
 argth t
sur ] − 1, 1[
dt
1
t
dt
=
arctan
=
t 2 + a2 a
a
t2 −1 
 1 ln ¯¯ t −1 ¯¯ sur R − {±1}
2
t +1
Z
Z
p
dt
dt
= argsh t
= argch t = ln(t + t 2 − 1)
p
p
1+ t2
t2 −1
Z
Z
=
dt
Z
cosh2 t
= tanh t
Z
ln t dt = t ln t − t
Primitives de Fractions Rationnelles
La méthode générale est de décomposer en éléments simples sur R. (sauf des cas particuliers du type
plus subtils comme par exemple
x2
1+x 6
u0
u
ou un peu
3
(Ici, on effectue le changement de variables u = x . . .Vu ?).
Sur R, la décomposition en éléments simples amène :
Ï Une partie entière, cad un polynôme. Il est nul ssi deg P < degQ, sinon il est de degré deg P −degQ. On le calcule
par une division euclidienne, si le cas échoit.
b
. Pas de problème pour primitiver.
(x − a)n
dx +e
Ï Des éléments simples de seconde espèce, cad du type
, avec des racines « vraies » complexes cad
(ax 2 + bx + c)n
2
∆ = b − 4ac < 0. On ne s’intéresse ici qu’au cas n = 1 (sinon on fait une ipp pour descendre le degré). La technique
Ï Des éléments simples de première espèce, cad du type
est d’utiliser la réduction canonique du trinôme. Exemple :
x +1
x2 + x + 1
=¡
1
x + 12
x +1
2
=
+
³
´
³
´
p 2
p 2
¢
¡
¢
¡
¢ ³ p3 ´2
3
3
1 2
1 2
1 2
x+2 + 2
x+2 + 2
x+2 + 2
|
{z
} |
{z
}
A(x)
¯µ
¶ à p !2 ¯¯
¯
1/2u 0
1 ¯¯
1 2
3 ¯ 1 ¯¯ 2
A(x) de la forme
se primitive en ln ¯ x +
+
¯ = ln x + x + 1¯
¯
¯
u
2
2
2
2
µ
¶
1/2u 0
1 2
2
1
se primitive en p arctan p (x + ) .
B (x) de la forme 2
u + a2
2 3
2
3
B (x)
3
Primitives de Polynômes en sinus, cosinus
On « coupe » le polynôme en monômes, donc du type sinm x cosn x. Ne pas oublier certain cas particuliers (Formule
de Trigo ou par exemple sin px cos q x qu’on peut primitiver par une formule produit-somme) :
Ï les deux entiers m et n sont pairs : dans ce cas-là la solution est de linéariser en utilisant les complexes et la
formule de Moivre1 . Il est vivement conseillé de réviser ces méthodes. Exemple
cos4 x =
µ
¶4
e i x + e −i x
2
=
´ 1
1 ³ 4i x
e + e −4i x + 4e 2i x + 4e −2i x + 6 =
(2 cos 4x + 8 cos 2x + 6)
16
16
Ï Si l’un des entiers est impair, on peut linéariser mais c’est assez maladroit. On procède comme suit :
Z
4
sin5 xd x =
Z
sin4 x sin xd x =
Z
(1−cos2 x)2 sin xd x
u=cos x Z
z}|{
=
(1−u 2 )2 −d u =
−u 5 2u 3 −u 2 − cos5 x 2 cos3 x − cos2 x
+
+
=
+
+
5
3
2
5
3
2
Primitives de Fractions rationnelles en sinus, cosinus, tangente
dx
2 + cos x
Z
On dispose donc ici de F (cos x, sin x, tan x). Par exemple
Z
dx sin x
tan x + 1
dx
Z
cos x sin3 x
Ces règles, appelées règles de Bioche2 , ne sont pas à apprendre par cœur sauf peut-être pour certains concours.
Ï Si F (−x) = −F (x), on effectue le changement de variables u = cos x
Ï Si F (π − x) = −F (x), on effectue le changement de variables u = sin x
Ï Si F (π + x) = F (x), on effectue le changement de variables u = tan x
x
1 − u2
Ï Sinon, on effectue u = tan( ) conjointement aux formules : cos x =
2
1 + u2
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Primitives de Polynômes ou Fractions rationnelles en
sin x =
2u
1 + u2
tan x =
2u
1 − u2
sinh x, cosh x, tanh x, e x , e −x
Pour les polynômes, procéder comme avec sin cos. Sinon, à part quelques cas d’application de trigonométrie
hyperbolique, la méthode générale est simplement d’utiliser le changement u = e x , car
sinh x =
6
Primitives du type
u − u1
2
cosh x =
u + u1
tanh x =
2
u2 − 1
u2 + 1
P (x) cos(x), P (x)e x , P (x) ln x, P (x) arctan x . . .
L’idée est ici de faire une IPP. On peut savoir par coeur que toute primitive ou dérivée d’une fonction du type
P (x)e ax est une fonction du type Q(x)e ax avecQ de même degré que P , car cela sert dans les techniques d’intégration d’équations différentielles.
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Primitives de Fractions rationnelles en
x
et
q
n
ax+b
c x+d
Z p
Z r
xd x
2x + 1 + 3
x +1
Par exemple
x + 1d x
dx
x
dx
p
p
2
x −1
xs+ 2
x + x 2x + 1
−d u n + b
n ax + b
On effectue le changement u =
, ce qui amènera à x =
pour le différentier ensuite d x = . . .
cx + d
cu n − a
Z p
Z
1. Abraham de Moivre : mathématicien français du XVIIe-XVIIIe.
2. Charles Bioche : mathématicien français du XIXe-XXe.
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Primitives de Fractions rationnelles en
x
et
p
ax 2 + bx + c
A Priori, cette section est juste pour « information » ou, autrement dit, ne se destine qu’aux élèves voulant « maximiser » leurs connaissances. Une réduction canonique du trinôme ramène à trois possibilités :
• Cas
p
(x + d )2 + e 2 Changement x + d = e sinh u (u = argsh . . . )
• Cas
p
(x + d )2 − e 2 Changement x + d = e cosh u avec u ≥ 0 (u = argch . . . )
• Cas
p
e 2 − (x + d )2 Changement x + d = e sin u avec u ∈] − π/2, π/2[ (u = arcsin . . . )