Formulaire de trigonométrie hyperbolique 1 Formules

Fonctions de R dans R
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Elément de cours des exercices
Formulaire de trigonométrie hyperbolique
1
Formules élémentaires
cosh a + sinh a = ea
cosh a − sinh a = e−a
cosh2 a − sinh2 a = 1
cosh a ≥ 1
1 − tanh2 a =
2
1
cosh2 a
−1 < tanh a < 1
Formules d’addition
cosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b
sinh (a + b) = sinh a cosh b + cosh a sinh b
cosh (a − b) = cosh a cosh b − sinh a sinh b
sinh (a − b) = sinh a cosh b − cosh a sinh b
cosh 2a = cosh2 a + sinh2 a = 2 cosh2 a − 1
sinh 2a = 2 sinh a cosh a
On obtient ensuite en quotientant :
tanh a + tanh b
1 + tanh a tanh b
2 tanh a
tanh 2a =
1 + tanh2 a
tanh (a − b) =
tanh (a + b) =
3
tanh a − tanh b
1 − tanh a tanh b
Transformation de produits en sommes
Les formules suivantes résultent de celles du paragraphe précédent :
1
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Fonctions de R dans R
1
(cosh (a + b) + cosh (a − b))
2
1
sinh a cosh b = (sinh (a + b) + sinh (a − b))
2
1
sinh a sinh b = (cosh (a + b) − cosh (a − b))
2
cosh a cosh b =
Pour a = b, on obtient :
cosh2 a =
4
cosh 2a + 1
2
sinh2 a =
cosh 2a − 1
2
Transformation de sommes en produits
En posant p = a + b et q = a − b, il vient alors :
p−q
p+q
cosh
2
2
p+q
p−q
sinh p + sinh q = 2 sinh
cosh
2
2
cosh p + cosh q = 2 cosh
5
p+q
p−q
sinh
2
2
p−q
p+q
sinh p − sinh q = 2 sinh
cosh
2
2
cosh p − cosh q = 2 sinh
Changement de variable
Les fonctions hyperboliques peuvent s’exprimer en fonction de t = tanh x2 . On
obtient les formules :
tanh x =
2t
1 + t2
cosh x =
2
1 + t2
1 − t2
sinh x =
2t
1 − t2