MEMOIRE BRUGIRARD Xavier

Transcription

Mémoire d’Actuariat I.S.U.P.
Promotion 2012
Mémoire présenté devant L’Université Pierre et Marie Curie
pour l’obtention du diplôme de statisticien mention d’Actuariat
et l’admission à l’Institut des Actuaires,
le 17 décembre 2012.
 Assurance
 Finance
Par :
Xavier BRUGIRARD
Titre :
Les rachats dynamiques : comportement des assurés en période de crise, nouvelle
modélisation et impact financier pour l’assureur.
Confidentialité :
 NON
 OUI (Durée :  1 an
 2 ans)
Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus
signature
Entreprise :
Membre présents du jury de l’Institut des
BNP Paribas Cardif
Actuaires
Florence Picard
Directeur de mémoire en entreprise :
Guillaume BROTTIER
:
Invité :
Emmanuelle Laferrere
Autorisation de publication et de mise en
Membre présents du jury de l’ISUP
ligne sur un site de diffusion de
documents actuariels (après expiration de
Olivier Lopez
l’éventuel délai de confidentialité)
Arnaud Cohen
Signature du responsable entreprise
Jean-Marie Nessi
Secrétariat
Signature du candidat
Bibliothèque
Institut de statistique de l'UPMC (ISUP) – UPMC Casier 157 4 place Jussieu 75252 Paris Cedex 05
Mémoire I.S.U.P. 2012
Xavier Brugirard
Sommaire
Résumé ......................................................................................................................................................... 5
Abstract ......................................................................................................................................................... 5
Note de synthèse .......................................................................................................................................... 6
Summary of the Actuarial memoir ...............................................................................................................10
Remerciements ...........................................................................................................................................14
Introduction .................................................................................................................................................15
PARTIE 1 : Contexte de l’étude ..................................................................................................................17
Les contrats d’assurance vie ..............................................................................................................17
I.
I.1
Généralités .................................................................................................................................. 17
I.1.1
Définition d’un contrat d’assurance vie .............................................................................. 17
I.1.2
Objectifs, durée et avantages des contrats d’assurance vie .............................................. 17
I.1.3
Les frais de l’assureur ........................................................................................................ 18
I.1.4
Les cotisations .................................................................................................................... 19
I.2
Supports et types de contrats ..................................................................................................... 19
I.2.1
Supports et arbitrage .......................................................................................................... 19
I.2.2
Les contrats d’assurance vie mono-support et multi-supports ........................................... 20
I.3
Les options de sortie et la provision mathématique .................................................................... 21
I.3.1
L’option de rachat ............................................................................................................... 21
I.3.2
L’avance ............................................................................................................................. 21
I.3.3
Option de sortie au terme du contrat .................................................................................. 22
I.4
II.
Fiscalité des rachats anticipés et réglementation des contrats assurance vie ........................... 22
I.4.1
Calcul de l’assiette d’imposition ......................................................................................... 22
I.4.2
Cas d’un rachat au cours des huit premières années du contrat ....................................... 23
I.4.3
En cas de rachat après la huitième année du contrat ........................................................ 24
I.4.4
Récapitulatif de l’imposition des intérêts (hors prélèvements sociaux).............................. 25
I.4.5
Les contributions sociales .................................................................................................. 25
Environnement règlementaire et risque de rachat .............................................................................26
II.1
Les normes IFRS .................................................................................................................... 26
II.2
Solvabilité II ............................................................................................................................ 27
Tour d’horizon de Solvabilité II ........................................................................................... 27
II.2.1
II.2.2
II.3
III.
Risque de rachat en Solvabilité II ....................................................................................... 28
Les rachats dynamiques dans le QIS5 ................................................................................... 29
Problématique du mémoire. ...............................................................................................................31
PARTIE 2 : Analyse qualitative et quantitative des rachats ........................................................................32
I.
Introduction .........................................................................................................................................32
II.
Description et limites de la base de données .....................................................................................33
III.
Analyse qualitative des rachats ..........................................................................................................34
III.1
Recueil des données .............................................................................................................. 34
III.2
Profil de client et opinion sur l’assurance vie. Impact de la crise financière .......................... 34
III.2.1
Une division des assurés dans deux classes ................................................................ 34
III.2.2
Opinion sur l’épargne et l’assurance vie ........................................................................ 35
III.2.3
L’impact de la crise financière sur le comportement des assurés ................................. 36
III.3
Analyse des clients ayant effectué un rachat en 2011 ........................................................... 36
2
III.3.1
Une origine structurelle et conjoncturelle des rachats ................................................... 37
III.3.2
Les causes de rachat ..................................................................................................... 37
III.3.3
Prévenir les rachats ....................................................................................................... 38
III.4
IV.
Pistes à explorer pour contrer les rachats .............................................................................. 39
III.4.1
Au niveau de l’information .............................................................................................. 39
III.4.2
Offres commerciales et pistes pour contrer la décollecte .............................................. 40
Analyse quantitative des rachats........................................................................................................40
IV.1
Suivi de production ................................................................................................................. 40
IV.1.1
Historique des rachats en montant par semaine entre 2008 et début 2012 .................. 41
IV.1.2
Evolution en nombre par type de rachat par rapport au CAC 40 .................................. 42
IV.1.3
Evolution en montant par type de rachat par rapport au CAC 40 .................................. 43
IV.2
V.
Xavier Brugirard
La répartition des rachats vue par la FFSA ............................................................................ 44
Conclusion et résultats .......................................................................................................................44
PARTIE 3 : Taux de rachat conjoncturel et étude des variables explicatives ............................................46
I.
Méthodologie de calcul du taux de rachat ..........................................................................................46
I.1
Loi de rachats totaux en nombre ................................................................................................ 46
I.2
Lois de rachats partiels en montant ............................................................................................ 47
I.3
Taux de rachats mensuel ............................................................................................................ 48
II.
Sélection des variables structurelles ..................................................................................................49
II.1
Variables étudiées .................................................................................................................. 49
II.1.1
L’âge ................................................................................................................................... 49
II.1.2
L’ancienneté ....................................................................................................................... 50
II.1.3
Les catégories de contrats ................................................................................................. 51
II.1.4
Le CAC 40 .......................................................................................................................... 53
II.2
Variables macroéconomiques additionnelles ......................................................................... 56
II.3
Estimateurs de la volatilité du CAC 40 ................................................................................... 57
II.4
Détermination d’une période de crise financière mensuellement .......................................... 60
II.5
Résumé des données et variables disponibles ...................................................................... 61
PARTIE 4: Construction d’une loi de rachats dynamiques en fonction d’une seule variable exogène ......63
I.
Comprendre la loi de rachats dynamiques actuelle ...........................................................................63
I.1
La loi dynamique du QIS 5 .......................................................................................................... 63
I.2
II.
Application à notre étude ............................................................................................................ 65
Choix des variables descriptives ........................................................................................................67
II.1
Sélection des variables les mieux corrélées........................................................................... 68
II.2
Validation de la sélection (Test de Student) ........................................................................... 69
Construction du seuil d’activation β ....................................................................................................70
III.
III.1
Les courbes ROC ................................................................................................................... 70
III.1.1
Construction du tableau de Probabilités (Sensibilité, Spécificité) .................................. 71
III.1.2
Calcul des sensibilités et des spécificités ...................................................................... 72
III.1.3
Construction de la courbe ROC ..................................................................................... 73
III.1.4
Mise en œuvre ............................................................................................................... 74
III.2
Autres méthodes de calibration du seuil................................................................................. 76
III.2.1
Les diagrammes de Shewhart ....................................................................................... 77
III.2.2
La carte de contrôle ....................................................................................................... 78
IV.
Détermination de la pente entre β et α ...............................................................................................80
V.
Lois de rachats dynamiques obtenues ...............................................................................................81
3
Xavier Brugirard
PARTIE 5 : Valorisation de l’impact financier de la loi de rachats dynamiques .........................................83
I.
Objectifs et notions importantes .........................................................................................................83
II.
Un modèle simplifié ............................................................................................................................84
II.1
Hypothèses globales .............................................................................................................. 85
II.2
Hypothèses propres à l’Épargne ............................................................................................ 87
II.3
L’Actif ...................................................................................................................................... 89
III.
Chocs sur le bilan et calcul du BEL ....................................................................................................89
IV.
Simulation des variables macroéconomiques ....................................................................................90
IV.1
Le rendement des Actifs ......................................................................................................... 90
IV.2
Scénarios de cotation de « BBB-AAA » ................................................................................. 91
IV.2.1
Données et sélection du modèle.................................................................................... 91
IV.2.2
Le modèle de Vasicek .................................................................................................... 92
IV.2.3
Calibrage du modèle ...................................................................................................... 93
IV.2.4
Résultats ........................................................................................................................ 94
IV.2.5
Faire coïncider les scénarios ......................................................................................... 96
IV.3
V.
Confiance des ménages (annexe 4) ....................................................................................... 96
Impact financier des lois dynamiques de rachats ..............................................................................96
V.1
Méthode et grandeurs utilisées .............................................................................................. 96
V.2
Quelques exemples d’utilisation de l’outil ............................................................................... 97
V.3
Distribution de la VAN des coûts sur les scénarios ................................................................ 98
V.4
Coût de la composante dynamique des rachats .................................................................... 99
Conclusion ................................................................................................................................................100
Glossaire ...................................................................................................................................................101
Références ................................................................................................................................................104
Annexe 1 : Etudes traitant des rachats dynamiques ................................................................................107
Annexe 2 : Calcul du BEL et du SCR sous Solvabilité 2 ..........................................................................108
Annexe 3 : Code R pour le modèle de Vasicek (Partie 5) ........................................................................110
Annexe 4 : Construction de scénarios pour la variable « confiance des ménages » (Partie 5) ...............112
Annexe 5 : Méthodes alternatives de modélisation des rachats dynamiques et idées à développer ......116
4
Xavier Brugirard
Résumé
Les rachats de contrats d’assurance vie sont, sous Solvabilité I, évalués à l’aide d’une loi de
rachats dits structurels (ou statiques), qui correspondent aux rachats observés en période économique
« normale ». Solvabilité II contraindra les assureurs à estimer l’ensemble de leurs risques. Pour les
rachats, il faudra notamment ajouter à cette loi une nouvelle loi de rachats dits conjoncturels (ou
dynamiques) qui sont fonction de variables exogènes.
C’est l’observation d’une inadéquation entre la loi de rachats utilisée par BNP Paribas Cardif (loi
proposée par le QIS5) et la chronique de rachats subis qui a motivé la rédaction de ce mémoire.
Après un bref tour d’horizon de l’environnement réglementaire, fiscal et social de l’assurance
vie, nous avons donc proposé de construire pas à pas une nouvelle loi de rachats dynamiques,
statistiquement corrélée à l’historique des rachats subis par BNP Paribas Cardif.
La construction de cette loi fait intervenir une étude approfondie, tant qualitative que
quantitative, des causes de rachats. Grâce à cela, nous avons sélectionné un certain nombre de
variables à partir desquelles nous avons construit notre loi : volatilité du CAC 40, indice de confiance
des ménages ou des entreprises, spread « AAA-BBB ».
Pour finir, nous avons quantifié l’impact financier, en termes de coût des options et garanties,
des lois de rachats construites.
Mots clés : Assurance vie, Rachats dynamiques, Comportement des assurés, Solvabilité II,
Générateurs de scénarios économiques, Modèle de Vasicek, séries temporelles, modèles linéaires.
Abstract
In this memoir, we first dealt with the context of life insurance and its positioning as a savings
product, to understand why it is of interest to individuals.
The regulation that will soon be in force will compel the insurance company to estimate the
surrenders through a double vision, first by determining the structural surrenders that correspond to the
surrenders in a “normal” economic period, and a second called Dynamic, where the evolution depends
on exogenous variables. Our study is centred around the study of Dynamic Surrenders.
The need for changing the actual Dynamic Surrender Law used by BNP Paribas Cardif had
been driven by the unsuitability with the chronicle of surrenders. Therefore, a new Dynamic Surrender
Law had been ordered to find a better anticipation of the surrender in the future.
The construction of this law used two in depth studies, one quantitative and the other qualitative
that helped to understand the reasons for surrenders. These studies helped us to select variables from
which we constructed our laws.
After constructing these laws, we quantified their financial impact for the insurance company, in
terms of cast of option and warranties.
Key words :Life insurance, Dynamic surrenders, Policyholders behaviour, Solvency 2, Economic
Scenario Generator, Vasicek models, Time series, Linear models.
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Xavier Brugirard
Mémoire d’Actuariat I.S.U.P.
Promotion 2012
Note de synthèse du mémoire présenté pour l’obtention du diplôme de
statisticien mention d’Actuariat et l’admission à l’Institut des Actuaires.
Xavier BRUGIRARD
Les rachats dynamiques : comportement des assurés en période de crise,.
nouvelle modélisation et impact financier pour l’assureur.
Mémoire confidentiel pour deux ans.
Mots clefs : Assurance vie, Rachats dynamiques, Comportement des assurés, Solvabilité II,
Générateurs de scénarios économiques, Modèle de Vasicek, séries temporelles, modèles linéaires.
Contexte
L’objectif de l’assurance vie pour les épargnants est multiple. Elle trouve sa place parmi les
moyens d’épargne grâce à sa flexibilité : la durée d’épargne, le type de versement ou simplement la
liberté du support sur lequel un client souhaite investir. Enfin, la gestion du capital est libre : il existe des
possibilités d’arbitrage entre les différents fonds mis à disposition du contrat, mais aussi des possibilités
d’avance ou de sortie du capital via des rachats partiels ou totaux. La fiscalité afférente à toute sortie du
capital avant son terme est spécifique et dégressive en fonction de la durée d’épargne.
Il est nécessaire et bientôt obligatoire dans le cadre de Solvabilité II pour l’assureur de
chercher, en se basant sur sa chronique de rachats, à estimer les rachats qui seront subis dans l’avenir.
Pour cela, la règlementation a évolué dans le but de motiver les compagnies d’assurances à étudier de
façon plus approfondie les rachats pour mieux conjecturer leur évolution à horizon 1 an. La vision des
rachats est double, d’abord l’assureur déterminera un taux de rachats dits structurels (ou statiques) qui
correspond aux rachats observés en période économique « normale », ensuite, l’assureur étudiera les
rachats dits conjoncturels (ou dynamiques) qui sont fonction de variables exogènes. Notre étude se
concentre sur les rachats dynamiques.
Aujourd’hui, la majorité des assureurs et bancassureurs utilise une loi proche de celle proposée
dans le QIS5 mais avec des paramètres qui leurs sont propres. Cette loi se base sur l’observation du
taux d’intérêt servi par la concurrence. De cette façon, lorsque le rendement servi sur le contrat
d’assurance est inférieur au rendement de la concurrence, on observera l’année suivante plus de
rachats que ceux prévus dans la loi structurelle et inversement. Ce mémoire développe et teste l’impact
d’une nouvelle loi dynamique de rachats assez proche de la structure actuelle de la loi proposée dans
le QIS5, mais se basant sur une variable différente du rendement offert par la concurrence. Nous
justifierons statistiquement la solidité de cette loi innovante.
Problématique
Ce besoin de changement dans la loi de rachats dynamiques actuellement utilisée par Cardif
est motivé par deux observations. Tout d’abord, cette loi n’est pas documentée correctement et donc la
définition des paramètres est remise en question. Ensuite, en 2011, pour un encours stable par rapport
à 2010, les rachats ont augmenté de façon anormale pour atteindre certains mois des montants
supérieurs de plus de 250%. Or la loi de rachats dynamiques actuellement utilisée ne s’est pourtant pas
activée malgré la survenance manifeste de rachats conjoncturels sur 2011. Par conséquent, il a été
6
Xavier Brugirard
demandé de construire une nouvelle loi de rachats dynamiques documentée permettant de mieux
anticiper les futurs rachats dynamiques.
Démarche de construction de la loi
1. Hypothèse générale
La loi recherchée doit mettre en évidence un comportement global des assurés en période de
crise vis-à-vis de leur épargne investie sur des contrats d’assurance vie. Il n’est donc pas question dans
ce mémoire d’étudier uniquement les contrats sur les supports en unités de compte, même s’ils sont a
priori mieux corrélés au marché. La justification de ce choix vient du fait que nous étudions les rachats
et non les arbitrages sur des contrats en quasi-totalité multi-supports. Un assuré souhaitant sécuriser
son épargne effectuera un arbitrage entre son support UC et l’actif général plutôt que de racheter tout
ou partie de son capital. Nous avons néanmoins écarté les contrats mono-support pour plus de
précision dans les résultats.
2. Analyse qualitative des rachats
Une étude qualitative menée par BNP Paribas Cardif montre que le sur-rachat supporté par la
plupart des bancassureurs proposant ce type de contrat, est dû à une multitude de causes imbriquées
les unes aux autres. Nous retiendrons tout d’abord la succession de crises économiques et des
marchés financiers qui suscite une anxiété chez la plupart des épargnants, et qui impacte aussi le
rendement. Ensuite, la baisse continuelle des taux de rémunération qui n’a pas symétriquement allégé
les contraintes afférentes aux produits d’assurance vie, comme les frais associés. L’étude quantitative
des rachats nous a permis de mettre en évidence une corrélation a priori entre les marchés financiers et
les rachats exceptionnellement élevés sur certaines périodes de l’historique. L’étude met aussi en
évidence une différence de comportement suivant l’encours.
3. Analyse quantitative des rachats
Les données disponibles pour cette étude sont l’ensemble des contrats d’assurance vie BNP
Paribas Cardif France souscrits par la banque de détail France (BDDF) et en portefeuille entre janvier
2007 et mars 2012. Ces contrats se subdivisent en deux catégories. La banque privée (BPF), proposée
aux clients ayant un encours important et le « Retail », ouvert à tous. Pour chacun des contrats, nous
disposons mensuellement de l’encours des PM en fonction de plusieurs variables (âge, ancienneté,
réseau, numéro et type de contrat…) ainsi que des mouvements effectués sur les contrats, à savoir les
rachats partiels, rachats totaux et décès touchant des encours en euros ou en unités de compte (UC).
4. Calcul du taux de rachats et détermination des variables explicatives
Après avoir défini la méthode de calcul du taux de rachats, nous avons étudié les variables
structurelles explicatives des rachats. Nous observons qu’il y a principalement l’âge de l’assuré,
l’ancienneté du contrat et la catégorie de contrat possédé par l’assuré (« Retail » ou « BPF ») qui ont un
fort impact sur le niveau des rachats structurels.
Souhaitant illustrer le comportement des assurés en période de crise, nous avons eu besoin de
trouver un indicateur le plus représentatif possible de la santé des marchés. Nous avons choisi tout
d’abord le CAC 40 comme étant le meilleur indicateur français des marchés : tout le monde peut
facilement suivre, jour après jour, sa cotation. Nous avons ensuite calculé de plusieurs façons la
volatilité du CAC 40 dans le but de maximiser la corrélation entre cet indice et les rachats. Nous avons
aussi observé d’autres variables exogènes telles que l’indice de confiance des ménages ou des
entreprises de production française puis la cotation de l’écart entre les spread de taux accordés aux
7
Xavier Brugirard
entreprises notées BBB et AAA. Enfin, nous avons déterminé quelles étaient les périodes de crise
économique les plus fortes entre janvier 2007 et mars 2012 et ainsi créé une variable binaire mensuelle
indiquant les périodes de forte instabilité économique.
5. Construction d’une loi de rachats dynamiques en fonction d’une unique variable exogène
Nous avons construit six lois de rachats dynamiques : une par catégorie de contrat (BDDF,
Retail et BPF) pour les rachats totaux et partiels. Chacune des six lois est construite sur la base de la
loi de rachats dynamiques proposée dans le QIS5 mais est fonction d’une autre variable, à déterminer.
Quelle que soit la variable sélectionnée pour illustrer le taux de rachats dynamiques, il est décisif que
celle-ci illustre correctement l’instabilité des marchés. Par exemple, lorsque la Volatilité du CAC 40
augmente, elle présage une instabilité sur les marchés grandissante. Nous devons donc, pour chacune
des variables et indépendamment des rachats, construire un seuil à partir duquel nous pouvons dire
que l’instabilité sur les marchés est « suffisante » pour que nous soyons en crise. Une fois ce seuil
construit, nous avons testé a posteriori l’historique de crise donné par ce seuil pour chacune des
variables et avons vérifié si elles constituent un bon indicateur de période de crise.
La formule, ainsi que la forme des lois de rachats construites est la suivante :
( )
(RD le taux de rachats dynamiques,
et
des seuils définis plus bas pour une variable spécifique (VS)
RD
ayant une corrélation négative avec les rachats.)
Variable
à déterminer (VS)
-
Pour chacune des six catégories observées, nous avons adopté la méthode suivante :
a. Déterminer la variable la mieux corrélée au comportement dynamique des assurés et sur
laquelle la loi sera construite. Validation par le test de Student.
b. Déterminer le seuil β de cette variable à partir duquel les rachats dynamiques vont se
déclencher. Nous avons testé ensuite sa qualité a posteriori de ce seuil par :
o
Les courbes ROC : elles se basent sur la définition des crises que nous avons faite plus
tôt pour déterminer un seuil à partir duquel nous pouvons supposer que nous sommes en
crise,
o
Les diagrammes de « Shewhart » et la « carte de contrôle ». Ces méthodes sont fondées
sur l’hypothèse principale que le marché s’adapte en une année à une nouvelle situation.
Le seuil ainsi construit se base donc sur les cotations sur 1 an de la variable concernée.
8
c.
Xavier Brugirard
Déterminer le seuil α au-delà duquel les rachats dynamiques n’évoluent plus et sont égaux
à
. Nous avons pris un seuil α égal à k fois le maximum des valeurs observées sur
l’historique.
d. Déterminer la pente de la droite entre β et α en effectuant une régression entre le taux de
rachat et la variable explicative. Cette régression est faite sur l’ensemble puis sur les données
supérieures à la moyenne des taux ; nous avons sélectionné le maximum entre ces deux
grandeurs, par mesure de prudence.
Principales conclusions : Valorisation de l’impact financier de la loi de rachats dynamiques
L’option de rachat offerte à l’assuré doit être valorisée par l’assureur. La méthodologie
Embedded Value permet de calculer ce coût par des méthodes stochastiques. Pour cela, nous avons
fait appel à des générateurs de scénarios économiques (GSE), des modèles de taux (Vasicek) ainsi
qu’à des séries temporelles. Ces trois méthodes nous ont permis de construire 500 scénarios, en
moyenne égaux à un scénario central, pour étudier l’impact dans différents cas de figure de la loi de
rachats construite. Ceci a permis de calculer le prix de l’option de rachats et particulièrement sa
composante dynamique.
L’impact de la loi de rachats dynamiques en nombre (rachats totaux) a un impact beaucoup
plus important que la loi de rachats dynamiques en montants (rachats partiels). Sur 19 années de
projections, la loi de rachats dynamique en nombre s’active toujours alors que la loi de rachats
dynamiques en montant ne s’active pas dans une centaine de scénarios. Cette observation fait écho à
l’historique sur lequel nous avons paramétré notre seuil. Ce seuil est atteint plusieurs fois sur nos 5
années d’historique, il est donc naturel qu’il soit franchi dans les scénarios de projections que nous
avons construits soit via des GSE soit via un modèle de Vasicek.
Nous avons quantifié l’impact financier pour l’assureur de notre loi de rachats dynamique pour
trouver près de 400 000€. La loi de rachats dynamiques en nombre (rachats totaux) pèse dans ce coût
pour plus de 350 000€ et la loi de rachats dynamiques en montant (rachats partiels) pour environ
50 000€.
Limites de l’étude et axes d’amélioration
La loi de rachats dynamiques construite dans ce mémoire se base, pour chacune des six
catégories étudiées, sur une seule variable explicative. Ainsi, même si ces lois semblent mieux
adaptées aux marchés que celle du QIS5, elles ne captent pas toute la complexité du caractère
dynamique des rachats, souvent motivé par de multiples variables. Nous pouvons imaginer une loi en
plusieurs dimensions faisant intervenir plusieurs variables et donc plusieurs seuils d’activation. Notons
de plus que l’incertitude liée à la législation n’est pas captée par ce modèle.
Pour aller plus loin
Nous avons illustré la construction d’un modèle linéaire liant un taux de rachats à plusieurs
variables exogènes. Un modèle de cette qualité semble bien adapté au problème mais n’est pas adapté
au modèle utilisé chez BNP Paribas Cardif. Ceci est dû à sa complexité de paramétrisation et au besoin
fréquent de calibration. Notons que l’extension naturelle en termes d’impact de la loi de rachats est de
calculer l’impact précis sur le SCR de l’entreprise. Nous avons donné plusieurs pistes à ce travail dans
la partie V ainsi que dans l’annexe 2.
9
Xavier Brugirard
Actuarial Memoir of I.S.U.P.
Year 2012
Summary of the Actuarial memoir introduced to obtain Statistical Masters in
Actuarial Sciences specialisation and admission to the French Actuarial Institute.
Xavier BRUGIRARD
Dynamic Surrender Law : Policyholders’ behaviour during a crisis period,
new modelling and financial impact for the insurer.
Confidential for two years.
Key words :Life insurance, Dynamic surrenders, Policyholders’ behaviour, Solvency 2, Economic
Scenario Generator, Vasicek models, Time series, Linear models.
Context
Life insurance has several main objectives for savers. Its advantage over other means of
savings lies in its flexibility - the length of contracts, the type of deposits or simply the freedom of
investment options (General fund: GF or Unit link fun: UL) given to the client. Also, the capital
management is free - there are arbitration options for all available funds of the contract, advanced
options as well as capital output before its term by using partial of total surrenders. Tax system
pertaining to every surrender of the capital before its term is special and decreasing gradually according
to the length of the saving.
It is necessary and soon compulsory with Solvency II for the insurer to estimate the surrenders
supported in the future by using a surrender historic. To do so, the regulation evolved in order to
motivate insurance companies to study deeply their surrenders and thus find a best approximation of
their evolution over a period of one year. There is a double vision of surrenders, one called structural
which corresponds to the surrenders in a “normal” economic period and a second called Dynamic,
which states that evolution is dependent on exogenous variables. Our study is centred around the study
of dynamics surrenders.
Nowadays, a majority of insurance and banking companies use a Dynamic Surrender Law that
is close to the one suggested in QIS5, but on which they adapt the parameters. This law is based on the
observation of interest rate offered by competitors. When the interest rate is better in a competitors’
insurance, the insurance company will face more surrenders next year than predicted in the static
surrender law. In this memoir, we have developed and tested the impact of a new Dynamic Surrender
Law which is structurally close to QIS5 but based on different variables. Every choice in this memoir had
been statistically proven to show the solidity of our law.
Problematic
The need for changing the actual Dynamic Surrender Law used by BNP Paribas Cardif had
been driven by two observations. Firstly, this law was not referenced enough, which was why the
calibration of parameters was challenged. Secondly, in 2011, for quite a stable outstanding compared to
2010, surrenders were dramatically raised to reach an augmentation of more than 250% compared to
the same month one year earlier. Yet, the actual dynamic surrender law had not been activated in spite
of the obvious occurring of dynamic surrenders in 2011. Therefore, a new Dynamic Surrender Law had
been ordered to find a better anticipation of the surrender in the future.
10
Xavier Brugirard
Construction approach of the law
1. General hypothesis
The law we constructed had to give prominence to a global behaviour of the policyholders
during a crisis period towards their savings placed on life insurance contracts. Thus, our goal was not to
exclusively study the unit link contracts, even though they have a better correlation a priori with the
market movements. The rationale behind this choice came from the fact that we were studying the
surrenders, not the arbitrages, on contracts that had both general and unit link funds parts for almost all
of them. A policyholder who would like to secure his or her savings would make an arbitrage between its
unit link and general fund rather than surrender all or part of its capital. We did however exclude
contracts that have only one fund available to improve the quality of our results.
2. Quantitative analysis of surrenders
A quantitative study led by BNP Paribas Cardif shows that the unexpected surrenders of 2011
were due to several reasons linked together. The succession of economic crisis of the financial markets
led to an increase in a good number of savers and had an impact on interest rate. Then, the continual
decrease of interest rate had not symmetrically reduced the fiscal pressures carried by life insurance
contracts. The quantitative study of surrenders allowed us to give prominence to a correlation of a priori
between financial markets and exceptionally high surrenders of some historical periods. The study lastly
gave rise to a difference of behaviour according to the level of saving owned on the contract.
3. Quantitative analysis of surrenders
All the available data for this study were obtained from BNP Paribas Cardif life insurance
contracts subscribed by the detailed bank in France (BDDF) in the portfolio between January 2007 and
March 2012. These contracts were subdivided into two categories, Private Bank (BPF), which was
offered to high net worth individuals, and Retail, which was offered to every other new clients. For each
and every contract, we disposed of the monthly Mathematical Premium (PM) as a function of several
variables (age, seniority in the company, network, number and type of contracts) along with the
movements made on these contracts, namely partial surrenders, total surrenders and deaths on both
unit link and general funds.
4. Surrender rate calculus and determination of explanatory variables
After defining the method of calculus for the surrender rate, we studied the structural
explanatory variables of the surrenders. We concluded that the age of the policyholder, the seniority and
the category (“Retail” or “BPF”) of the contract predominantly had a strong impact on the level of
structural surrenders.
For the purpose of illustrating the policyholders’ behaviour during a crisis period, we had to
define an indicator that could determine the health of the market. Our first intuition led us to study the
CAC 40, being the best French market indicator: everybody can easily access to a day by day
quotation. Then we calculated with different methods the CAC 40 volatility with the intention of
maximising its correlation with the surrender rate. We also followed other exogenous variables such as
the household confidence indicator, the manufacturing - synthetic business indicator and the quotation
of the gap between rate spread offered to companies marked BBB and AAA (Standard and Poor's
grade). Eventually, we defined precisely the economic crisis periods of our chronicle to get a monthly
binary variable that indicated periods of high economic instability.
11
Xavier Brugirard
5. Construction of a dynamic surrender law in function of a unique exogenous variable
We built six dynamic surrender laws: one per category (BDDF, Retail and BPF) for both partial
and total surrenders. Each law was based on the dynamic surrender law suggested in the QIS5 but are
functions of another variable that we had to determine. The variable selected to illustrate the dynamic
rate had to also illustrate the market instability. For instance, when the CAC 40 volatility rises, it
presages instability on the markets. Thus, independent to surrenders, we built a threshold from which
we can declare that the instability on market is sufficient to conclude we are in a crisis. Once this
threshold had been found, we tested it a posteriori with our chronicle of crisis to conclude its quality.
Below is the formula and the structure of the dynamic surrender laws we constructed:
( )
(RD is the dynamic surrender rate,
and
are thresholds defined lower for a specific variable (VS)
RD
having a negative correlation with the surrenders.)
- Variable TBD (VS)
-
For each categories observed, we adopted the following method :
a. Determined the exogenous variable that has the best correlation with the dynamic behaviour of
policyholders and on which our law will be constructed. Validated this variable with a Student
test.
b. Determined the threshold β of this variable from which the dynamic surrenders will trigger.
We tested the quality of this threshold a posteriori with :
o
ROC curves: based on the definition of crisis we have made earlier to determine a
threshold from which we can suppose we are under crisis.
o
« Sheward » diagrams and “control cards”. These methods are both based on the
hypothesis that the markets can adapt to a new situation within one year. That’s is why
the thresholds are based on the one year quotation of the concerned variable.
c.
Determined the second threshold α beyond which dynamic surrenders would not evolve and
were equal to
. We chose to define α equal to k times the maximum observed on the
chronicle.
d. Determined the slope between β and α by using multiple regressions between the surrender
rate and the explanatory variable. This regression was made on the whole data and then on the
data that were greater than the mean of rates; we have selected the maximum between these
two results as a precaution.
12
Xavier Brugirard
Main conclusions: Enhancement of the financial impact of the dynamic surrender laws
Surrender option offered to the policyholder had to be enhanced by the insurance company.
The Embedded Value methodology helped us to calculate this cost using stochastic methods. To do so,
we used Economic Scenario Generator, rate models (Vasicek) and Time Series. These three methods
allowed us to build 500 scenarios, which on average, equalled to a central scenario, to study the impact
in different cases that the law constructed. This allowed us to calculate the price of the option of
surrender and in particular it’s dynamic element.
The impact of the Dynamic Surrender Law in terms of number of surrenders (total surrenders)
had a greater impact that the one in amount (partial surrenders). On the 19 years of projections, the law,
in terms of number, activated in every scenarios while the one in amount did not activate in a hundred of
scenarios. This observation is logical considering our chronicle with which we defined our thresholds this threshold was reached several times on our five year chronicle.
We quantified the financial impact of our law for the insurance company around 400 000€:
350 000€ for the total surrenders and 50 000€ for the partial surrenders.
Limits of our studies and ameliorations possible
The dynamic surrender law constructed in this memoir is based on a unique explanatory
variable for all the 6 categories studies. Thus, even though it is statistically better than QIS5 law, this
law did not capture the whole complexity of its dynamic character, often driven by numerous variables.
We could first imagine a three (or n) dimensions law using several variables and thus several
thresholds. Let us note that the legislation and its uncertainly would not be captured by the law in any
way.
To go further
We illustrated the construction of a linear model that linked the surrender rate to numerous
exogenous variables. This type of model seemed to be adapted to our issue but was not adapted to the
model used by BNP Paribas Cardif. This was due to the complexity of parameterization and the need
for frequent calibration. Let us note that a natural extension in terms of impact of this law was to
calculate the precise impact on the SCR of BNP Paribas Cardif. We gave a few hints to do this in the
adjoining part of the memoir.
13
Xavier Brugirard
Remerciements
L’écriture de ce mémoire doit beaucoup à un certain nombre de collègues, encadrants ou
proches que je souhaite remercier dans cette partie.
Je remercie chaleureusement mes encadrants et collègues de chez BNP Paribas Cardif pour
l’accueil qu’ils m’ont réservé, leur encadrement et leur conseils. Je pense particulièrement à Jean-Pierre
Diaz, Guillaume Brottier, Emmanuelle Laferrère, Myrtille Carmouze, Emmanuelle Braive ainsi que
Pierre Valade, Corinne Lefumat, Jean-Christophe Barou, Matthieu Goas, Serge Werlé et Thibault
Gauthier.
Je remercie également mes tuteurs et responsables à l’ISUP et notamment Michael Delecroix,
Olivier Lopez, Arnaud Cohen et Elodie Sellam pour leur disponibilité tout au long de de stage.
Enﬁn, mes plus aﬀectueux remerciements vont à ma famille et mes amis pour leur relecture,
soutien et conseils en statistique et en structure du mémoire.
14
Xavier Brugirard
Introduction
Les crises économiques que nous avons subies ont complètement changé la vision des grands
assureurs sur plusieurs domaines. Avant celles-ci, les assureurs étaient centrés sur leurs produits et
leurs partenaires. Aujourd’hui, les assureurs sont face à des problématiques originales à propos du
comportement des assurés, qu’ils doivent étudier plus précisément.
Le risque de rachat est l’un des principaux risques portés par les assurances vie. En pratique, il
correspond au risque que beaucoup d’assurés rachètent leur contrat plus tôt que prévu pour aller
l’investir dans un autre produit ou dans un projet personnel. Une vague de rachats massifs est un
danger pour l’assureur, tout d’abord parce que les frais d’acquisition ne peuvent pas être amortis, mais
surtout parce que ceci peut le mettre en difficulté pour honorer ses engagements et donc entraver sa
solvabilité à court terme. De plus, la vente d’actifs pour régler les rachats implique une moins-value
potentielle lors de la cession desdits actifs, ainsi qu’une perte des produits futurs.
Chaque année, les assurés qui effectuent des rachats sur leur contrat d’assurance vie le font
principalement pour financer des projets personnels (construction d’une maison, achat d’une voiture
…), en raison d’avantages fiscaux (le palier des 8 ans en France) ou pour investir dans un autre produit
d’épargne. Dans le contexte réglementaire actuel, les assureurs doivent calibrer ces taux de rachats
(aussi appelés de chute) dit structurels pour conjecturer les rachats de l’année à venir. Ces taux
peuvent être expliqués par plusieurs facteurs tels que l’âge de l’assuré, l’ancienneté de son contrat ou
encore le patrimoine total du client.
Sous Solvabilité II, dans le cadre d’un modèle interne ou d’un modèle basé sur la formule
standard, il est demandé aux assureurs d’inclure une étude plus approfondie de valorisation des options
des assurés envers les assureurs. C’est dans ce cadre que, même si le calcul n’est pas explicitement
demandé par l’ACP (Autorité de Contrôle Prudentielle), les rachats vont être observés sous un angle dit
« dynamique », c’est à dire faisant intervenir des paramètres exogènes. La loi de rachats dynamiques
actuellement utilisée par BNP Paribas Cardif se base sur la différence entre le taux de rendement d’un
contrat d’assurance vie et celui qu’un assuré pourrait obtenir sur un autre produit disponible sur le
marché (loi proposée par le QIS5). Dans la pratique, lorsque l’écart entre ces taux est faible, le taux de
rachats structurels expliquera la majorité des rachats effectués sur le portefeuille. En revanche, si cet
écart croît ou devient important, une quantité plus importante d’assurés prendront la décision de
racheter tout ou partie de leur contrat d’assurance vie pour investir leur épargne sur d’autres produits
plus rémunérateurs. Mais cette loi c’est avérée être en inadéquation avec l’observation, notamment des
rachats enregistrés en 2011, qu’elle a totalement sous-estimés.
Ce mémoire nous permet d’exposer pas à pas la construction d’une nouvelle loi de rachats
dynamiques, non plus basée sur l’observation de rendements disponibles sur les marchés, mais sur
l’observation de variables de marchés tels que le CAC 40 ou sa volatilité, la confiance des ménages,
l’indice de confiance des industries françaises, ou le spread « AAA-BBB ». Une fois cette loi construite,
nous avons étudié le coût de celle-ci sur le modèle de BNP Paribas Cardif, basé sur la formule
standard.
15
Xavier Brugirard
Pour cela, nous avons tout d’abord introduit plusieurs notions dont nous allons nous servir pour
la construction d’une loi de rachats dynamiques : les principales particularités des contrats d’assurance
vie, qui en font un produit d’épargne original, puis l’environnement règlementaire dans lequel ces
contrats évoluent, et enfin le risque de rachats, que nous souhaitons modéliser. C’est à partir de ces
observations que nous avons pu développer la problématique du mémoire.
Dans une seconde partie, nous avons décrit l’ensemble des données disponibles à partir
desquelles nous avons travaillé. Une étude qualitative nous a permis d’approfondir les raisons qui ont
motivé les assurés à racheter en 2011 et ainsi orienter notre recherche et mieux comprendre
notamment le rôle des conseillers. Une étude quantitative nous permet d’observer les rachats partiels et
totaux chronologiquement depuis 2008 face à l’évolution du CAC 40, pour tenter de comprendre
graphiquement la corrélation qui peut exister entre ces deux grandeurs.
La troisième partie expose la méthode de calcul du taux de rachats sur le portefeuille
disponible. Nous avons ensuite sélectionné les variables structurelles disponibles ayant un impact sur
les rachats et enfin étudié les variables exogènes que nous avons utilisées dans notre loi de rachats
dynamiques.
Dans la partie 4, nous avons construit une nouvelle loi de rachats dynamiques inspirée de la loi
proposée dans le QIS5, mais construite de façon complètement nouvelle. L’originalité vient du fait que
nous déterminons non seulement les paramètres de celle-ci, mais aussi la variable la plus explicative
pour chacune des lois construites. Nous verrons que cette loi est, pour le portefeuille de BNP Paribas
Cardif, mieux adaptée à la modélisation des rachats dynamiques que la loi du QIS5. Avant de
déboucher sur la méthode exposée dans cette partie, nous avons étudié plusieurs méthodes.
L’objectif de la dernière partie du mémoire est d’étudier l’impact des lois de rachats dynamiques
que nous avons construites. Pour cela, nous avons décrit précisément l’outil d’évaluation utilisé pour
cette étude, ainsi que les résultats obtenus à partir des lois de rachats dynamiques que nous avons
définies dans la partie 4.
16
Xavier Brugirard
PARTIE 1 : Contexte de l’étude
Cette partie nous permet d’introduire plusieurs notions dont nous allons nous servir pour la
construction d’une loi de rachats dynamiques. Tout d’abord, nous rappelons les principales
particularités des contrats d’assurance vie qui en font un produit d’épargne original. Nous observons
ensuite l’environnement règlementaire dans lequel ces contrats évoluent ainsi que le risque de rachat,
que nous souhaitons modéliser. Enfin, nous développons la problématique du mémoire.
I. Les contrats d’assurance vie
I.1
Généralités
I.1.1
Définition d’un contrat d’assurance vie
Un contrat d’assurance vie est, par définition, un contrat par lequel l’assureur s’engage à verser
une rente ou un capital à une personne, le bénéficiaire, moyennant une prime payée par l’assuré. Les
modalités de ce versement dépendent du type de contrat souscrit. En effet, deux sortes de contrats
d'assurance vie se distinguent en fonction du risque supporté par la tête assurée : un contrat
d'assurance en cas de décès et un contrat d'assurance en cas de vie.
Dans un contrat d’assurance en cas de vie, le risque assuré est la vie de l’assuré, ainsi le
capital sera versé à l’assuré à l’échéance du contrat et en cas de vie de celui-ci. Dans un contrat
d’assurance en cas de vie, l’assuré peut être le bénéficiaire.
Dans le cadre d’une assurance décès, le risque se réalise si l’assuré décède avant le terme du contrat,
le capital sera versé au bénéficiaire désigné par le souscripteur, le bénéficiaire désigné devant être
différent du souscripteur.
Il existe naturellement des contrats liant une garantie en cas de vie et une garantie en cas de décès, en
proportions égales, ou non.
I.1.2
Objectifs, durée et avantages des contrats
d’assurance vie
Objectifs
Les objectifs de l’assurance vie sont multiples. Ce moyen d’épargner peut répondre à différents
besoins à moyen ou long terme des assurés. Nous retiendrons principalement :

Construire un complément à sa retraite : l’assuré choisit dans son contrat une date à
laquelle il bénéficiera de son épargne, celle-ci correspond logiquement à l’arrêt de l’activité
17
Xavier Brugirard
professionnelle. Puis il bénéficiera de son capital ou d’une rente dont il choisira la périodicité.
Ceci viendra compléter sa retraite.

Constituer une épargne de précaution. Par exemple, l’épargne peut être constituée pour
permettre l’accès à des services spécifiques en cas de perte d’autonomie.

L’épargne peut aussi être constituée pour la réalisation d’un projet futur à plus ou moins
long terme. Par exemple pour un investissement immobilier, pour aider financièrement un
bénéficiaire désigné comme ses enfants.

La transmission d’un patrimoine déjà constitué.
Durée
La durée d’un contrat d’assurance vie est liée à l’objectif de départ que s’est fixé le souscripteur.
Cependant, nous comprendrons par la suite que, d’un point de vue fiscal, il est plus avantageux
d’envisager un engagement d’au moins huit ans, quitte à reconduire le contrat après la durée fixée. Par
ailleurs, si l’assuré décède avant la fin du contrat, des dispositions sont incluses au contrat (décrites
dans le Code des Assurances) et permettent à des bénéficiaires désignés de recevoir une prestation :
c’est la "contre-assurance décès".
Avantages
Il existe de nombreux avantages aux contrats d’assurance vie. Tout d’abord, le souscripteur a la
liberté (certes soumise à règlementation) de choisir à la fois la tête assurée, c'est-à-dire la personne qui
portera le risque, et le bénéficiaire de son assurance vie, c'est-à-dire celui qui touchera le capital ou la
rente dès la réalisation du risque. On imagine facilement l’intérêt de ceci pour la transmission d’un
patrimoine.
Ensuite, l’assureur garantit un taux de rémunération sur l’épargne engagée. Ce taux est limité, et les
tables utilisées pour les projections sont toujours prudentes (différentes si assurance en cas de vie ou
en cas de décès, tables règlementaires). La bonne protection des assurés passe par la bonne santé de
l’assureur, il est donc nécessaire de protéger ce dernier dans un premier temps. Cependant, si
l’assureur parvient à faire des bénéfices sur l’ensemble de ses contrats, la législation prévoit une
redistribution d’une partie de ces bénéfices aux assurés.
Enfin, il existe des avantages fiscaux pour ce type de contrats. L’épargne constituée peut profiter d’un
abattement fiscal, les plus-values peuvent être exonérées d’impôt sur le revenu et la transmission du
patrimoine bénéficie d’exonérations fiscales importantes. (Détail dans la partie Fiscalité)
I.1.3
Les frais de l’assureur
Des frais prévus dans le contrat peuvent être prélevés, par exemple les frais d’acquisition
(souvent à l'occasion des versements effectués) et les frais de gestion (généralement prélevés sur les
encours). Pour les contrats d’assurance vie multi-supports (définis plus bas), il peut exister des frais
d'arbitrage calculés sur les sommes transférées en cas de changement de supports, et des frais
d’acquisition inhérents à certains supports (Sicav, par exemple).
18
I.1.4
Xavier Brugirard
Les cotisations
Il existe trois grandes méthodes pour alimenter un contrat d’assurance vie.

Les versements programmés et périodiques : Le souscripteur s'engage à respecter un
calendrier de versements prévu dans le contrat (mensuels, trimestriels, annuels…) Ils autorisent
généralement les versements complémentaires à n’importe quelle date.

Les versements libres : Le souscripteur décide librement du montant des cotisations qu’il
souhaite effectuer ainsi que de la date à laquelle il souhaite les faire. Il existe certains contrats
où il est prévu un montant minimum de cotisation.

La cotisation unique : Une seule cotisation est faite au moment de la souscription.
I.2
Supports et types de contrats
I.2.1
Supports et arbitrage
Les contrats d’assurance vie en euros (le fonds général)
Ces contrats sont plutôt destinés aux personnes qui souhaitent investir « sans prendre de
risque ». En effet, l’assureur propose a minima la garantie du capital, et souvent un taux minimum de
rémunération du capital fixé à la signature du contrat. L’assuré, prend donc assez peu de risque
puisqu’il ne porte que le risque de faillite de l’Assureur. De son côté, l’assureur investit les fonds qui lui
sont confiés majoritairement en obligations, le rendement de son portefeuille est donc directement
fonction des taux obligataires et est relativement indépendant des aléas des marchés Actions.
Ce type de contrat bénéficie d’une double garantie :

Le rendement minimal garanti, évoqué plus haut, limité légalement par le Code des
assurances, ainsi qu’une participation aux bénéfices.

Un effet cliquet : A la fin de chaque période, le capital du souscripteur génère des
intérêts (à taux fixe ou variable selon le contrat). Ces intérêts seront incorporés au capital, qui
ne peut alors plus baisser. Ceci s’appelle l’effet cliquet.
Les contrats d’assurance vie en unités de compte (UC) ou à capital variable
Dans ces contrats, la référence n’est pas l’euro (ou une devise de façon générale) mais une
unité de compte d’un actif financier quelconque. Les actifs financiers sont de tous types, listons
principalement (cette liste n’est pas exhaustive) :

Des parts d’actions ou d’obligations,

Des parts de SICAV (Société d'Investissement à Capital Variable),

Des parts de SCI (Société Civile Immobilier) ou de SCPI (Société Civile de Placement
Immobilier),

Des parts de FCP (Fonds Commun de Placement),

Des titres de créances négociables
Ces contrats permettent donc d’investir de façon diversifiée un capital sur des marchés
financiers ou immobiliers habituellement peu accessibles au grand public. En revanche, sauf cas de
garantie plancher, le capital est sujet aux variations à la hausse comme à la baisse de l’actif sous-
19
Xavier Brugirard
jacent. Le souscripteur porte donc un risque financier important. A condition d’accepter cela, ce type de
contrat offre des perspectives de rendement historiquement supérieurs à long terme.
Les contrats d’assurance vie investis en actions
Afin de favoriser l’investissement des particuliers vers des entreprises dites « innovantes » et
non cotées, la loi de finances pour 2005 a créé un tout nouveau type de contrat d’assurance vie. Ceuxci viennent remplacer les contrats « DSK » (investis à 50% au moins en actions françaises et
européennes, dont un quota de 5% au moins en actifs dits risqués) qui existent encore mais ne peuvent
plus être souscrits.
A l’instar de son prédécesseur, ce type de contrat est soumis à plusieurs restrictions en ce qui
concerne les placements. Les cotisations versées doivent être représentées par une ou plusieurs unités
de compte constituées de parts d’OPCVM (Organismes de Placement Collectif en Valeurs Mobilières)
dont l’actif est constitué pour 30 % d’actions françaises ou européennes et titres assimilés, dont au
moins 10 % de placements à risque (parts de fonds communs de placement à risques, fonds
d'investissement de proximité, fonds communs de placement dans l'innovation, actions de sociétés de
capital risque), dont au moins 5 % de titres non côtés. En cas de contrat d’assurance vie se référant à
plusieurs unités de compte, le montant des cotisations doit être ventilé de telle sorte que ces
proportions soient respectées.
L'arbitrage entre supports
Arbitrer son capital signifie modifier sa répartition parmi les différents supports disponibles au
contrat. Si seulement les supports euro et UC sont disponibles, il est possible d’arbitrer son capital (ou
une partie) depuis le fonds en euros vers UC, depuis UC vers le fonds en euros ou même depuis UC
vers UC avec modification de l’unité de compte considérée. La logique veut que lorsqu’un assuré
pressent un danger sur ses UC, il choisira d’arbitrer une partie de son capital vers d’autres UC ou vers
le fonds en Euros.
Dans un premier temps, il est donc envisageable qu’en période de crise, il n’y ait pas
d’augmentation massive de rachats sur les contrats multi-supports mais plutôt une augmentation des
arbitrages en faveur du fonds général.
L’arbitrage au sein d’un contrat n’est pas toujours possible et il peut exister des conditions, différentes
suivant le contrat, qui limitent ou encadrent son recours (nombre d’arbitrages limité ou interdit hormis
situation exceptionnelle, arbitrages parfois automatiques).
I.2.2
Les contrats d’assurance vie mono-support
et multi-supports
Deux types de contrats à distinguer :

les contrats mono-support pour lesquels les primes du souscripteur sont investies dans
des actifs de même nature.

Aujourd’hui en France, la quasi-totalité des contrats d’assurance vie sont multi-
supports. Le capital investi ainsi que les cotisations sont répartis entre un ou plusieurs supports.
Un contrat peut donc avoir 25% de son capital investi dans une unité de compte A, 25% dans
20
Xavier Brugirard
une unité de compte B et le reste dans le fonds en euro (appelé aussi fonds général ou actif
général).
I.3
Les options de sortie et la provision
mathématique
Le contrat d’assurance vie est aujourd’hui généralement proposé par les bancassureurs comme
un produit « bancaire ». Les assurés ont la possibilité de retirer tout ou partie de l’argent versé avant le
terme du contrat selon les modalités détaillées dans la présente partie.
I.3.1
L’option de rachat
Le rachat est une option permettant à l’assuré, lorsqu’il l’exerce, de retirer tout ou partie de son
épargne à tout moment avant la date d’échéance prévue au contrat (on parle respectivement de rachat
total et de rachat partiel).
La provision mathématique
Le Code des Assurances stipule que la valeur de rachat brute est égale à la provision
mathématique (PM) du contrat à la date du rachat. Calculée indépendamment pour chacun des
contrats, la provision mathématique correspond à la valeur actuelle probable estimée des engagements
que l’assureur a envers l’assuré. Dans un contrat d’épargne classique, ce montant de PM correspond à
l’épargne atteinte.
Rachat
Le rachat partiel correspond au versement par l'assureur d'une partie de la provision
mathématique. L'autre partie reste investie dans le contrat d’assurance vie. Une telle opération peut
avoir des conséquences fiscales (voir ci-après).
Cette option peut être vue comme un call américain dont le sous-jacent est la valeur courante
de la PM. En revanche, cette modélisation court-circuite la complexité du produit d’assurance sousjacent, notamment toutes les autres options implicites, le comportement de l’assureur et de l’assuré, ou
encore l’historique des taux de rémunération distribués. Cette modélisation n’est donc pas entièrement
suffisante et satisfaisante pour son évaluation.
I.3.2
L’avance
L'avance permet d'obtenir des fonds sans modifier ni le fonctionnement, ni l'économie du
contrat. L'assureur avance en quelque sorte une partie de la somme qu'il devra verser un jour ou l'autre
en exécution du contrat. Elle correspond à un prêt consenti par l'assureur qui doit être remboursé par
l'assuré. La somme susceptible d'être prêtée est plafonnée à un pourcentage de la provision
mathématique et est soumise à un taux d’intérêt pour un montant variable selon le contrat d’assurance
vie souscrit.
21
I.3.3
Xavier Brugirard
Option de sortie au terme du contrat
Au terme d’un contrat d’assurance vie, il existe plusieurs possibilités :

Obtenir une prestation sous forme de rente viagère immédiate, à annuités certaines ou
même de dépendance si cette option est choisie lors de la souscription. Celle-ci peut aussi être
réversible au profit d’un proche.

Obtenir une prestation sous forme d’un capital.

On peut aussi effectuer un retrait de fonds via un rachat partiel. Ceci permet de
protéger la durée du contrat et donc les avantages, notamment fiscaux, y afférant. Le contrat
est prorogé pour une durée déterminée, et l’assuré conservera les droits cités précédemment.
I.4 Fiscalité des rachats anticipés et réglementation
des contrats assurance vie
Pour comprendre partiellement le comportement des assurés vis-à-vis du rachat, nous devons
tout d’abord étudier la fiscalité. En effet, celle-ci étant principalement fonction de l’ancienneté du contrat,
nous ne serons pas étonnés que ce paramètre ait une influence importante sur le phénomène de
rachat.
Les intérêts perçus sur un contrat d’assurance vie sont exonérés de prélèvements fiscaux
durant toute la phase de capitalisation. Ce n’est qu’au moment du rachat, partiel ou total, que les
intérêts subiront une imposition.
Au moment du rachat, l’assuré a plusieurs choix d’imposition. Il peut tout d’abord intégrer les
intérêts de son contrat à son impôt sur le revenu, ou les soumettre à un barème de prélèvement
forfaitaire libératoire évidemment décroissant avec l’ancienneté du contrat. Le paramètre de base est
donc la durée écoulée avant le rachat : plus l’assuré attend pour faire un rachat, plus la fiscalité lui sera
avantageuse. Ceci avantage l’épargne à long terme. Notons que l’assuré subit aussi des prélèvements
sociaux lors d’un rachat. Ceux-ci sont explicités dans la partie 1, paragraphe I.4.5.
I.4.1
Calcul de l’assiette d’imposition
En cas de rachat partiel ou total, seuls les intérêts (et/ou plus values) sont soumis à imposition.
Les impôts sont alors rattachés à l’année du rachat. Nous allons expliquer sur quoi l’épargnant va payer
des impôts lors d’un rachat (l’assiette d’imposition).
L’assiette d’imposition d’un rachat total
Le calcul est simple puisqu’il suffit de soustraire, de la valeur acquise de l’épargne à la date du
rachat, la somme des versements effectués sur le contrat.
22
Xavier Brugirard
L’assiette d’imposition d’un rachat partiel
La valeur de rachat est proportionnelle au montant racheté et donc :
(
(
)
(
) (
)
)
(
)
(
(
)
) (
)
(
)
On peut donc aisément séparer le montant racheté en une partie correspondant au cumul des
versements et l’autre aux intérêts/plus-values.
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
Rachat issu des primes
Rachat issu des intérêts et plus-values
I.4.2
Cas d’un rachat au cours des huit premières
années du contrat
En cas de rachat partiel ou total au cours des 8 premières années du contrat, les intérêts
perçus depuis la souscription sont imposables. Il existe deux méthodes d’imposition, toutes deux
applicables aux contrats souscrits depuis le 26 septembre 1997.

Intégration des intérêts dans le revenu imposable : Les adhérents reçoivent en
février un imprimé fiscal unique (IFU) précisant le montant à reporter sur leur déclaration de
revenus (rubrique “valeurs et capitaux mobiliers - montant brut des revenus n’ouvrant pas droit
à abattement).

Prélèvement libératoire forfaitaire (PLF) : celui-ci a lieu, sur demande expresse de
l’adhérent, au plus tard lors de la demande de rachat. Les taux d’imposition (sur l’assiette
d’imposition) sont forfaitaires et dégressifs selon l’ancienneté de l’adhésion :
o
35% si le rachat intervient au cours des 4 premières années du contrat,
o
15% si le rachat intervient au cours des 4 années suivantes (4 à 8 ans
d’ancienneté).
A défaut de choix clairement exprimé pour l’une ou l’autre des méthodes d’imposition,
“l’intégration dans le revenu imposable” est automatiquement appliquée. Dans tous les cas, s’ajouteront
au montant de l’impôt les prélèvements sociaux (détaillés plus loin).
23
Xavier Brugirard
I.4.3
En cas de rachat après la huitième année du
contrat
Après 8 ans de détention d’un contrat d’assurance vie, et pour des versements enregistrés
après le 26 Septembre 1997, les intérêts perçus lors d’un rachat (partiel ou total) sont :

Soit à indiquer dans la déclaration de revenus. Une imposition de 7,5% (pour les
contrats de plus de 8 ans) s’applique alors, après une franchise annuelle d’intérêts de :
o
9 200 euros pour un couple (marié ou ayant conclu un PACS) souscrivant une
déclaration commune.
o
4 600 euros pour une personne seule, veuve ou divorcée (tous contrats
confondus).

Soit sur option, soumis au prélèvement libératoire forfaitaire limité à 7,5 % du montant
des intérêts. Dans ce cas, l’abattement annuel est restitué sous forme de crédit d’impôt.
Enfin, certains contrats d’assurance vie sont exonérés d’impôts sur le revenu, dès lors que leur
dénouement intervient au moins 8 ans après leur conclusion. Ils restent donc uniquement soumis aux
prélèvements sociaux. Cette exonération s’applique notamment :

Aux contrats souscrits antérieurement au 01/01/1983

Aux P.E.P. (Plans d’Epargne Populaire) de plus de 8 ans

Aux contrats “DSK” de plus de 8 ans
24
Xavier Brugirard
I.4.4
Récapitulatif de l’imposition des intérêts
(hors prélèvements sociaux)
D A T E
Avant le
01/01/1983
Entre le
01/01/1983 et
le 31/12/1989
D E
V E R S E M E N T S
Entre le 01/01/1990 et
Depuis le 26/09/1997
le 25/09/1997
Adhésion
souscrite
Exonération des intérêts en cas de rachat quelle que soit la durée du contrat, et la date des
avant le
versements.
01/01/1983
Rachat après 8 ans :
Exonération des intérêts en cas de
01/01/1983 et le 31/12/1989
rachat après 6 ans
imposable, ou
• Prélèvement libératoire de 7,5 %
Au-delà d’un abattement annuel de 4 600 € ou
de 9 200 € (*).
Intégration si rachat
dans le revenu
Adhésion souscrite entre le 1/01/1990 et le
25/09/1997
imposable.
(ou après 8 ans,
D A T E
D‘ A D H E S I O N
• Intégration des intérêts dans le revenu
Adhésion souscrite entre le
Rachat après 8 ans :
imposable, ou
• Prélèvement libératoire de 7,5 %
exonération d’impôt
Au-delà d’un abattement annuel d’intérêts de
sur les intérêts)
4 600 € ou de 9 200 € (*)
Rachat :
imposable, ou
• prélèvement libératoire de :
Adhésion souscrite depuis le 26/09/1997
35 % les 4 premières années
15 % les 4 années suivantes
7,5 % après 8 ans
Après 8 ans, application d’un abattement annuel
de 4 600 € ou de 9 200 € (*)
(*) Abattement de 4 600 € d’intérêts pour une personne seule, célibataire, veuve ou divorcée, et de 9 200 € d’intérêts
pour un couple (marié ou ayant conclu un PACS) souscrivant une déclaration commune.
Figure 1: Récapitulatif de l’imposition sur les intérêts des contrats d’assurance vie.
I.4.5
Les contributions sociales
En plus de l’imposition, les intérêts sont également soumis à une charge de prélèvements
sociaux de 15,5 % (depuis juillet 2012).
Pour tous les contrats souscrits à partir du 1er janvier 1998 et pour les versements effectués
depuis cette date, les prélèvements sociaux de 15,5 % se subdivisent en :
25
Xavier Brugirard

La Contribution au Remboursement de la Dette Sociale (CRDS) de 0,5 %,

La Contribution Sociale Généralisée (CSG) de 8,2 % (depuis 2005),

Le prélèvement social de 5,4 %,

Une contribution additionnelle dite de solidarité et d’autonomie de 0,3 %,

Le Revenu de Solidarité active (RSA) de 1,1 %.
II. Environnement règlementaire et risque de rachat
Jusqu'à présent soumises à des normes nationales, les compagnies d’assurances européennes
seront bientôt règlementées par des normes communes. Cette nécessité est due aux nombreux
bouleversements économiques et à l’identification de nouveaux risques. La communauté internationale
a donc créé de nouvelles normes que nous allons présenter brièvement dans cette partie.
II.1 Les normes IFRS
Les normes IFRS (International Financial Reporting Standards) sont des normes comptables
internationales qui s’intéressent aux comptes consolidés des entreprises, et notamment des
compagnies d’assurance. Les comptes consolidés sous IFRS sont les comptes du groupe qui seront
présentés aux investisseurs en valeur de marché.
L’objectif de ces normes est de rendre les états financiers des compagnies d’assurance plus
comparables entres eux en définissant comment classer les actifs et évaluer les provisions (resp. IFRS
4 et IFRS 39 -devenu IFRS 9).
Ainsi, l’ensemble du bilan comptable doit être évalué de façon « honnête ». Pour cela, les actifs doivent
être enregistrés au bilan en valeur de marché (s’il existe un marché coté) tandis que les passifs devront
être enregistrés en valeur « honnête » ou « fair value » (le calcul n’a pas encore été déterminé).
Dans le contexte actuel des choses, nous comprenons que l’enregistrement en valeur de
marché, notamment des obligations sur la dette des Etats, est fondamental.
Bilan Economique
Actif
Passif
Capital
disponible
Valeur de
marché
des Actifs
Actifs en
valeur de
Valeur
marché économique
des
provisions
Embedded
Value
(~FP)
« Fair
Value »
des passifs
Figure 2 : Bilan économique sous IFRS, phase II
26
Xavier Brugirard
Quel lien y a-t-il avec le rachat ?
La phase 2 du projet IFRS 4 consacrée aux assurances instaure neuf nouveaux principes liés à
l’évaluation des passifs d’assurance. En particulier, ils imposent que ces derniers incluent le coût des
options et garanties, dont font partie les rachats. Ces normes IFRS phase 2 ont donc pour objectif de
mieux prendre en compte les spécificités du secteur de l’assurance, et notamment les rachats, afin de
garantir la solvabilité de l’assureur vis-à-vis des assurés.
II.2 Solvabilité II
II.2.1 Tour d’horizon de Solvabilité II
L’activité d’une compagnie d’assurance est contrôlée par l’Etat qui va chercher à minimiser le
risque de défaillance de l’assureur. L’inversion du cycle de production de l’assurance rend ce contrôle
indispensable.
Dans le but d’améliorer la solvabilité et le contrôle des entreprises d’assurances, la commission
européenne a lancé le projet Solvabilité II en 2003. La directive Solvabilité II a été approuvée en 2009
et devrait être en vigueur en 2016.
Solvabilité II est donc une directive européenne concernant les exigences de solvabilité
relatives aux activités d’assurance directe et de réassurance.
Qu’est ce que c’est que la solvabilité ?
De façon générale, la solvabilité d’une entreprise est sa capacité à honorer ses engagements.
Une compagnie d’assurance a la spécificité d’avoir un cycle de production inversé. Ce qui signifie que,
si elle connaît la quantité de produits en circulation, ses engagements ne sont déterminés que de façon
probable. C’est à partir de ce calcul des engagements que l’assureur va en déduire une marge lui
permettant d’assurer sa solvabilité avec un risque modéré (à définir).
La Solvabilité II est associée à la marge de solvabilité
Sous Solvabilité I, la marge de solvabilité est une marge de sécurité définie pour assurer la
solvabilité d’une compagnie d’assurance ou d’une banque. En assurance, elle est réglementaire et
forfaitaire. Elle correspond à une marge prudentielle permettant de minimiser l’insolvabilité (il y a mise
sous tutelle en cas de non-respect de cette marge). Sous Solvabilité II, la marge de solvabilité a la
même fonction mais les risques propres de chaque entreprise sont calculés, ce qui permet de
différencier les entreprises d’assurances en fonction de leur activité et leurs risques propres
Les objectifs de Solvabilité II
Les objectifs sont multiples et dépendent des acteurs :

Pour les assureurs, elle rend possible la prise en compte de l’effet diversification. Il existe deux
types de diversification : géographique et « ligne de business » (LoB), chacune supposée
couvrir une crise aggravée d’une zone géographique ou d’un risque spécifique (ex : santé, non
vie…).

Le régulateur semble y voir un moyen d’augmenter la prudence pour mieux défendre les
assurés en France et dans l’Europe.
27

Xavier Brugirard
D’une manière générale, Solvabilité II harmonise et consolide l’assurance européenne puisque
toutes les entreprises seront soumises à la même réglementation et seront comparables entre
elles.
Les exigences de Solvabilité II sont structurées selon 3 piliers :

Pilier 1 : Exigence quantitative concernant la mesure de la marge de solvabilité.

Pilier 2 : Activité de contrôle interne de l’assurance via la gestion de ses risques et les principes
de gouvernances.

Pilier 3 : Exigence en matière d’information et de publication.
Dans le pilier 1 de Solvabilité II, pour éviter une mise sous tutelle de la compagnie d’assurance,
il est demandé de constituer des fonds propres au moins égaux au « MCR » (Minimum Capital
Requirement). Il est cependant recommandé de maintenir une marge de solvabilité plus importante. Le
niveau de fonds propres recommandé est appelé le « SCR » (Solvency Capital Requirement). Le SCR
permet à l’assureur d’éviter la ruine (sur un an) avec une probabilité de 99,5%. Le calcul du SCR est
développé en annexe.
Les impacts probables de cette nouvelle directive sont estimés par l’EIOPA (European
Insurance and Occupational Pensions Authority) et l’ACP (Autorité de Contrôle Prudentielle) dans des
études appelées QIS (Quantitative Impact Studies). La dernière version disponible de l’étude est le
QIS5.
Le BEL (Best Estimate of Liabilities)
Le passif est composé de trois éléments (voir annexe) dont le BEL : « Best Estimate
Liabilities ». Le BEL correspond à l’actualisation des prestations futures. Pour un module de risque i, le
BEL, retranché à la valeur de l’actif sous Solvabilité II, correspond à la NAV : « Net Asset Value ». La
variation de la NAV entre un scénario standard et choqué correspond au SCR. Ces notions sont
développées en annexe 2.
II.2.2 Risque de rachat en Solvabilité II
L’exigence quantitative du pilier 1 de Solvabilité II se base sur une structure plus précise du
risque qu’en Solvabilité I. Ainsi, le SCR est divisé par branche et par « module de risque » (voir tableau
en annexe 2). Le module de Rachat en assurance vie est compris dans la famille des risques de
souscription.
Sous solvabilité 1, le risque de rachat est modélisé de la même façon que le décès. Chaque
année, le taux de rachat est réajusté des observations nouvellement disponibles et est utilisé pour les
projections actuarielles.
Sous Solvabilité II en revanche, l’assureur doit tenir compte de deux types de rachats :

Les rachats structurels RS (ou statiques) sont les rachats observés en période économique
« normale ».

Les rachats dits conjoncturels RD (ou dynamiques) sont fonction de facteurs extérieurs
conjoncturels.
28
Xavier Brugirard
Pour comprendre la nécessité de bien modéliser les rachats de façon structurelle et dynamique,
il est nécessaire de comprendre l’impact pour un assureur de rachats massifs non prévus. Dans son
activité, l’assureur vie fait face à deux risques majeurs dépendants l’un de l’autre :

L’augmentation des taux d’intérêt : Une partie importante des actifs de l’assureur est placée
en obligations. Ce sont des produits peu volatils mais sensibles à la hausse des taux,
notamment s’ils doivent être réalisés avant leur terme. S’il y a un rachat, alors que le marché a
subi une hausse des taux, les moins-values latentes des obligations détenues par l’assureur
deviendront effectives s’il a l’obligation de vendre ses actifs pour payer le rachat de l’assuré.

Les rachats de contrats par les assurés : A l’inverse, une baisse des taux de rendement de
l’assureur poussera les assurés à réinvestir leur argent dans des produits à meilleur rendement.
C’est pourquoi il est indispensable pour l’assureur de bien modéliser toutes les composantes de son
risque de rachat.
II.3 Les rachats dynamiques dans le QIS5
Afin de modéliser le risque de rachat, de la même façon que pour tous les risques, l’assureur a
le choix entre utiliser une loi proposée par l’autorité de contrôle et développée dans le QIS5 ou de crée
sa propre loi. La modélisation des rachats dynamiques proposée dans le QIS5 ne prend en compte que
la concurrence qui peut exister entre les marchés financiers (produits d’assurance, immobilier ou
bancaire). Il est donc nécessaire de définir le taux de rendement du contrat d’assurance (ou taux servi)
mais surtout le taux de rendement « attendu » par l’assuré.
Ce mémoire développe une toute nouvelle façon de construire une loi de rachats dynamiques.
Pour introduire celle-ci, il est nécessaire de bien comprendre la loi dynamique du QIS5.
Appelons RD le taux de rachats dynamiques (ou conjoncturels). Ce taux de rachats devra être
additionné au taux de rachats structurels RS pour trouver le taux de rachat global RG :
(
(
))
(
)
Appelons ensuite TA le taux de rendement attendu par l’assuré et R le rendement réel du
contrat de l’assuré (ou le taux servi).
29
Xavier Brugirard
Logiquement, si le taux attendu est supérieur au rendement, on observera l’année suivante plus
de rachats que ceux prévus dans la loi structurelle. A l’inverse, si les assurés ont un meilleur rendement
sur leur contrat qu’ils ne l’avaient prévu, il y aura moins de rachats l’année suivante. Le QIS5 propose
de choisir TA = TME et donc d’utiliser une loi de rachats dynamiques fonction du rendement de la forme
suivante :
( )
Le QIS5 propose deux lois, qui correspondent à un plafond « maximum » et un plafond
« minimum » à respecter par l’assureur. Graphiquement, ces courbes ont une forme sigmoïdale (en
forme de S), voici à quoi ressemble le plafond « max » :
RD
50%
40%
30%
20%
10%
Ecart de taux (R-TA)
0%
10%
5%
0%
-5%
-10%
-10%
Figure 3 : Plafond max de la loi dynamique de rachat proposée dans le QIS5
La partie V de ce mémoire développe cette loi et essaie de l’adapter à notre problématique.
Dans la suite du document, nous appellerons cette loi la loi « classique » de rachat dynamique.
30
Xavier Brugirard
III. Problématique du mémoire.
Les rachats dynamiques constituent un sujet très intéressant mais assez peu développé pour le
moment. Les assureurs se contentent généralement de reprendre la loi dynamique proposée par le
QIS5 et d’en adapter les paramètres pour souvent ne prendre que la loi minimum. Il existe pourtant
plusieurs mémoires traitant du sujet. Notons en particulier deux mémoires de l’institut des actuaires
ainsi que plusieurs articles de l’Université Claude Bernard Lyon 1 qui ont retenu notre attention. (Voir
annexe 1)
Ce mémoire est né d’un constat sur les contrats BNP Paribas Cardif : les rachats ont été
anormalement élevés en 2011 et début 2012. Ce phénomène semble faire écho à la crise financière
que nous traversons actuellement. Les équipes de BNP Paribas Cardif ont donc décidé de vérifier si
leur ressenti était fondé en étudiant le comportement des assurés en période de crise. La position que
nous prenons ne correspond à aucune des études citées au-dessus.
Nous allons en effet chercher à mettre en évidence un comportement global des assurés en
période de crise, vis-à-vis de leur épargne investie sur des contrats d’assurance vie. C’est pourquoi
nous étudierons tous les contrats d’assurance vie du portefeuille France et non uniquement les contrats
en supports UC, même si, contrairement à l’actif général (eu euros), ils sont a priori mieux corrélés à
des variables économiques.
En effet, nous considérons qu’un assuré souhaitant sécuriser son épargne effectuera un
arbitrage entre son support UC et l’actif général plutôt que de racheter tout ou partie de son capital.
Pour les contrats mono-supports UC cette hypothèse peut effectivement être remise en question. Mais
nous avons vu plus haut (Partie 1, I.2.2.) que la quasi-totalité des contrats proposés était maintenant
multi-supports. Il peut certes exister d’anciens contrats concernés. Dans notre portefeuille de contrats
individuels, la part des contrats mono-supports en UC représente une proportion très faible. Nous avons
donc choisi de maintenir notre hypothèse et néanmoins de retirer les contrats mono-supports de notre
étude. Avant d’illustrer ces comportements, nous chercherons à savoir ce qui peut motiver les assurés
à racheter davantage en période de crise financière qu’en période de stabilité financière.
Pour faire cela, nous avons cherché à développer plusieurs méthodes statistiques telles que les
modèles linéaires ou les séries temporelles, grâce aux modèles VAR (Vectoriel Autoregressif). Nous
avons aussi cherché à adapter la loi actuellement proposée dans le QIS5 pour capter l’évolution des
marchés financiers.
31
Xavier Brugirard
PARTIE 2 : Analyse qualitative et
quantitative des rachats
Cette partie nous permet tout d’abord de décrire l’ensemble des données disponibles à partir
desquelles nous avons travaillé. Nous enchaînons par une étude qualitative des rachats ayant touché
les contrats d’assurance vie de BNP Paribas Cardif en 2011, pour orienter notre recherche et mieux
comprendre notamment le rôle des conseillers. Enfin, une étude quantitative nous permet d’observer
les rachats partiels et totaux chronologiquement depuis 2008 face à l’évolution du CAC 40, pour tenter
de comprendre graphiquement la corrélation qui peut exister entre ces deux grandeurs.
I. Introduction
Grâce aux avantages que nous avons cités plus haut (partie 1, I.2. et I.3.), il a suffi d’une
quinzaine d’années pour que l’assurance vie devienne la première forme d’épargne et de placement
des particuliers. En effet, si celle-ci représentait près de 25% du patrimoine financier des ménages, elle
représente 35% de celui-ci début 2011. Pourtant, on enregistre, début 2011, une baisse des rentrées de
fonds qui aboutira même à l’automne à une décollecte. C’est une situation qui touche l’ensemble de
l’assurance vie et donc également BNP Paribas Cardif. Nous avons vu dans la partie 1 de quelles
façons les particuliers peuvent récupérer des fonds placés sur leur épargne. C’est donc par des rachats
partiels ou totaux que les particuliers ont massivement vidé leurs contrats d’assurance vie, et ce aussi
bien sur les contrats en euros qu’en unités de compte.
Plusieurs études menées par BNP Paribas Cardif recherchent une cause précise à ce
mouvement. Ces études, sans donner les réponses attendues permettent d’observer que la décollecte
est opérée principalement par des assurés de plus de 65 ans, ce qui n’est pas étonnant étant donné
que la moyenne d’âge pondérée par l’encours est de 67 ans tandis que la moyenne d’âge pondérée par
le nombre de police est de 57 ans. De plus, elles mettent en lumière l’inquiétude grandissante des
assurés et le fait que globalement, les fonds retirés par les assurés ne sont pas réinvestis ailleurs. Il
semble donc que l’hypothèse d’une réallocation conjoncturelle des actifs des particuliers soit à écarter.
BNP Paribas Cardif a souhaité investiguer plus en détail les causes de la décollecte (et non
plus uniquement les conséquences), pour être capable de la contrer. Nous allons en conséquence
aussi bien analyser les résultats quantitatifs que qualitatifs de ces études.
L’étude qualitative nous permettra de faire le point sur l’attitude des épargnants pour mieux
comprendre leur choix vis-à-vis de leur contrat d’assurance vie. Dans un second temps, nous verrons
en profondeur la perception des assurés vis-à-vis de l’assurance vie. Enfin, nous chercherons des
facteurs de rachats (à la fois partiels et totaux) pour être capables d’en détecter des signes
annonciateurs. L’étude quantitative quant à elle mettra en lumière l’évolution brusque et massive des
rachats en mesurant l’impact économique de la crise financière sur le comportement de rachat des
assurés puis en identifiant le profil de l’assuré ayant effectué un rachat en 2011.
32
Xavier Brugirard
II. Description et limites de la base de données
Dans notre étude, nous avons extrait un peu plus de 5 années de données à partir de la chaîne
de gestion des contrats d’épargne individuelle de BNP Paribas Cardif et allons donc nous intéresser
er
aux contrats en portefeuille entre le 1 janvier 2007 et le 31 mars 2012.
Nous observerons l’ensemble des contrats d’assurance vie BNP Paribas Cardif France
souscrits par le « canal » Banque de détail en France (BDDF) qui est une agence du réseau BNP
Paribas. Les contrats BDDF se subdivisent en deux sous-catégories :
 BPF : Banque Privée France : « BPF » contient les contrats ayant un encours important (plus
de 250k€, le détail des conditions pour pouvoir signer la convention « BPF » est donné dans la
partie 3, II.1.3) Il est donc constitué de personnes plutôt aisées et offre un rendement

légèrement plus intéressant sur le fonds en euros.
Retail : Les contrats contenus dans le « Retail » sont des contrats d’assurance vie ouverts à
tous pour une somme d’argent assez faible. Il s’agit donc de contrats à encours moins
important que chez BPF et offrant un rendement aussi moins important.
L’information recueillie se subdivise en deux types de bases de données que nous allons
fusionner par la suite :
 Les bases de provisions mathématiques (PM) donnent en détail l’encours des contrats en
fonction de tous les paramètres disponibles (âge, ancienneté, réseau, numéro et type de

contrat…)
Les bases de flux donnent les flux de rachats partiels, de rachats totaux et de décès touchant
des encours en euros ou en unités de compte (UC) avec les mêmes caractéristiques que les
tables de PM.
Les bases de données avant 5 ans n’étant pas fiables, nous n’avons pas d’autre choix que de
travailler sur des données restreintes. Nous n’avons donc qu’une seule année antérieure à la crise
financière de 2008. Conscients de cette faiblesse, nous avons travaillé au mieux avec les données
disponibles notamment en subdivisant rigoureusement les périodes de plus forte crise financière dans
notre historique.
33
Xavier Brugirard
III. Analyse qualitative des rachats
III.1
Recueil des données
Pour l’étude qualitative des rachats, les équipes BNP Paribas Cardif ont effectué des entretiens
dits « semi-directifs », qui centrent le discours des personnes interrogées autour de différents thèmes
définis au préalable. Les personnes interrogées possèdent des caractéristiques diverses :

Âge : moins de 45 ans, de 45 à 65 ans, plus de 65 ans

Type de clients : BPF ou Retail

Encours : moins de 15k€, entre 15 et 100K€, plus de 100K€.
… et se divisent en deux groupes distincts :

ayant effectué des rachats partiels ou totaux en 2011

possédant des contrats d’assurance vie mais n’ayant pas fait de décollecte.
III.2
Profil de client et opinion sur l’assurance
vie. Impact de la crise financière
III.2.1
Une division des assurés dans deux classes
L’épargne des particuliers suit la vie des assurés. Ainsi, si chacun trouve une raison pour
commencer à épargner, les contrats d’assurance vie étant une épargne à moyen ou long terme, les
raisons qui ont poussé un assuré à commencer à épargner peuvent évoluer au cours de la vie d’un
contrat. La situation personnelle des assurés est souvent mise en cause. Au départ, un assuré épargne
pour lui mais au fur et à mesure, la cible de cette épargne peut être transférée sur des proches. A
l’inverse, un divorce ou un départ à la retraite diminue souvent le niveau de vie et modifie en
conséquence l’épargne individuelle. Toutefois, le comportement des assurés est très corrélé à l’âge et
au niveau des encours.
Comme introduit dans la partie précédente, deux profils distincts d’épargne peuvent être définis.
Les Néophytes
Tout d’abord, les néophytes sont des clients ayant la sensation de ne pas maîtriser l’étendue et
la complexité des contrats d’assurance vie. Ils choisissent généralement ni de s’informer ni de s’y
intéresser. Les personnes de cette catégorie connaissent rarement le rendement de leur produit ni
même le type de produit détenu. Ce type de profil est principalement observé chez les épargnants
ayant un encours de moins de 100K€. Ils ont le plus souvent souscrit leur contrat via un conseiller et
sans interroger la concurrence et ne se souviennent généralement pas de l’argumentation utilisée pour
les convaincre (ce comportement est compréhensible, leur encours étant limité, ils ne perdent pas de
temps à s’y intéresser). Cependant, ils retiennent la sécurisation des avoirs, les avantages fiscaux en
matière de succession et la possibilité de rachat ou d’avoirs.
34
Xavier Brugirard
Les Avertis
A l’inverse, les avertis sont des clients qui ont une meilleure connaissance des produits
financiers et ont donc un comportement plus dynamique dans leurs investissements. Les avertis ont
généralement recours à des conseillers (CGPI*, agents généraux d’assurance* ou conseillers de la
Banque Privée de Cardif : « BPF ». *voir glossaire) à qui ils laissent généralement la gestion de leur
épargne, d’un encours autour de 100K€. Cette souscription s’inscrit souvent dans une démarche
globale de gestion patrimoniale, le produit d’assurance vie étant un « incontournable » si l’on souhaite
diversifier ses placements.
III.2.2
Opinion sur l’épargne et l’assurance vie
Il existe plusieurs critères motivant l’épargne individuelle, voici les 5 critères principaux
ressortant de l’enquête, dans l’ordre d’importance :

Les contrats d’assurance vie sont des contrats sécurisés. Les hommes politiques
aiment nous le rappeler : malgré la situation de crise, l’épargne individuelle n’a subi aucune
perte. La sécurité est donc la garantie clef des produits d’assurance vie. Ainsi, les fonds en
euros sont dotés d’un capital garanti.

En second lieu, la rentabilité est un sujet qui préoccupe les clients, peut-être encore
plus dans la conjoncture actuelle. Ces produits sont perçus comme ayant une rentabilité
supérieure aux produits « basiques » (terme expliqué dans le paragraphe suivant).

La disponibilité des fonds et la souplesse des options selon le projet défini à l’avance
sont tout aussi importantes. Ainsi, l’absence de plafond, la liberté des versements, la possibilité
de diversifier et moduler la composition du produit et enfin la possibilité de rachat est
primordiale.
Deux grandes familles de placements
Nous pouvons séparer les placements en deux grandes familles. D’abord les placements dits
« basiques », sécurisés à faible rendement : mathématiquement on parle de placement à faible
espérance de rendement et à faible volatilité. Ensuite, les placements plus risqués (forte volatilité) dits
« risqués », mais ayant un potentiel (ou espérance) de rendement plus élevé. L’assurance vie
s’approche des basiques mais offre tout de même une rentabilité et un risque supérieurs sans atteindre
le niveau des produits risqués.
Quelle évolution pour l’assurance vie en 2011 ?
En 2011, les atouts de l’assurance vie sont toujours présents. Le placement reste sûr malgré la
crise et quel que soit le type d’assurance vie détenu, la rémunération reste supérieure aux « basiques »
malgré une baisse des rendements. Ensuite, les produits sont toujours flexibles, accessibles,
rachetables, non plafonnés et avantageux fiscalement malgré une évolution désavantageuse de la
fiscalité.
35
Xavier Brugirard
III.2.3 L’impact de la crise financière sur le
comportement des assurés
L’impact de la crise financière que nous subissons est variable selon le profil des épargnants.
Ceci est dû à une perception différente vis-à-vis de la crise.
L’impact pour les plus aisés et les plus informés
Pour les épargnants ayant un encours de plus de 100K€ ou ceux ayant un encours entre 15 et
100K€ ayant observé une baisse de rendement de leur contrat, la crise grecque ainsi que le spectre de
la faillite des banques soulèvent plusieurs problèmes : d’abord la baisse des taux de rémunération et
ensuite une peur vis-à-vis de la sécurité des contrats d’assurance vie dans le cas d’une faillite bancaire.
Outre la crise, le contexte politique est une source d’inquiétude pour les plus fortunés. En 2011, il y
avait donc une crainte de hausse de la taxation si le camp socialiste remporte la victoire aux
présidentielles de 2012. La réaction des assurés ne s’est pas faite attendre : la majeure partie a
effectué un transfert de ses avoirs vers des produits plus sécurisés, tandis qu’une minorité,
« proactive », souvent dont le conseiller a adopté une position rassurante, n’a pas beaucoup modifié
ses placements. [11]
L’impact pour les moins aisés ou les moins bien informés
Pour les épargnants dont l’encours est compris entre 15 et 100K€ mais n’ayant pas constaté de
baisse de rendement et les épargnants d’encours inférieur à 15K€ , la crise a parfois provoqué des
difficultés économiques au jour le jour sur des besoins essentiels. Ces personnes font pourtant
rarement le lien entre la conjoncture économique et la sécurité de leur épargne. En effet, elles
considèrent que leurs placements sont sécurisés, elles se sentent à l’abri. La hausse (même si moins
importante) de leur épargne les confortent dans cette idée. Par conséquent, nous n’observons pas de
changement de stratégie d’épargne pour ces personnes. En revanche, les besoins en argent pour
maintenir leur niveau de vie ont contribué à l’augmentation des rachats et des avances. [11]
III.3
Analyse des clients ayant effectué un
rachat en 2011
Dans cette étude, une segmentation parmi les personnes ayant effectué un rachat en 2011 a pu
être définie selon 3 critères :

le niveau d’encours,

le niveau de connaissance en matière d’épargne,

la posture à l’égard de l’assurance vie.
Sur cette base, on identifie six types de personnes ayant racheté :

Les aisées (encours de plus de 100k€) dynamiques : ils appartiennent à un profil
d’investisseurs dynamiques plutôt avertis et impliqués.
o
Confiants : patrimoine en majorité issu de l’épargne personnelle.
o
Inquiets : en majorité dont l’épargne est issue d’un héritage familial.
o
Prudents : peu impliqués dans l’univers de l’épargne, ils rejettent le risque en
général.
36


Xavier Brugirard
Les intermédiaires (encours entre 15 et 100K€) en général peu avertis et investis.
o
Confiants car ils pensent avoir opté pour un bon placement sécurisé.
o
Déçus des performances continuellement en baisse.
Les fragilisés financièrement pour lesquels la qualité de l’assurance vie n’a plus
d’incidence sur la décision de rachat ou non (problème financier).
III.3.1 Une origine structurelle et conjoncturelle des
rachats
De façon structurelle, une partie des assurés ayant effectué un rachat a néanmoins maintenu
sa confiance en l’assurance vie. Ces cibles sont souvent les moins dynamiques ou peu averties. Les
néophytes ne sont pas déçus puisqu’ils ne réalisent pas qu’il y a eu des modifications sur leurs
contrats : baisse des rendements et modification de la fiscalité. Les aisés dynamiques confiants restent
quant à eux globalement satisfaits : sur le long terme, l’assurance vie rapporte et est toujours
avantageuse fiscalement.
D’un autre côté, l’assurance vie a subi une « désacralisation » à cause de son rendement qui
diminue progressivement et de ses frais jugés abusifs (compte tenu du rendement offert). Les assurés
sont en plus réticents à « bloquer » leur argent sur ce type de contrats. Tout cela couplé à une fiscalité
qui devient moins avantageuse.
Les évènements conjoncturels quant à eux ont aggravé l’inquiétude de plusieurs clients.
D’abord la crise de la dette et la faillite de l’Etat grec ont soulevé plusieurs inquiétudes quant à la
solvabilité même des états et donc vis-à-vis de la sécurité des avoirs. La crédibilité de la garantie de
l’Etat est mise en doute. Cette crainte, parfois irraisonnée, de perdre l’ensemble de son épargne est
alimentée par le spectre d’une faillite bancaire. La crise des marchés financiers a engendré, pour les
épargnants les plus importants, un blocage des placements dû à un refus de vendre les actifs au plus
bas.
III.3.2
Les causes de rachat
Trois motifs de rachats
Nous avons vu dans la partie précédente que les rachats sont explicitement en lien avec la
crise financière. Le besoin de racheter se ressent principalement pour trois raisons :

Pour consommer,

Pour réinvestir dans un contrat d’assurance vie concurrent,

Pour transférer les fonds vers d’autres produits d’épargne, jugés plus sûrs à cet instant.
Pour la consommation
Le rachat pour consommation est la situation la plus fréquemment rencontrée dans le
portefeuille BNP Paribas Cardif. Il touche les « intermédiaires déçus » qui subissent une désillusion qui
les pousse à ne plus épargner et même à vider petit à petit leur épargne ne croyant plus en son pouvoir
rémunérateur. Ces rachats sont souvent destinés à se « faire plaisir ». De même, les « aisés
prudents », en particulier les plus âgés, subissent un changement de comportement et préfèrent profiter
de leur épargne pour leur retraite, ne percevant plus l’intérêt d’épargner. De plus, possédant leur
37
Xavier Brugirard
épargne généralement depuis plus de 8 ans, les frais de rachats (fiscalité) ne sont plus un frein pour
cette population.
Pour réinvestir vers la concurrence
Le transfert de capitaux vers une assurance vie concurrente est naturellement lié à la baisse de
rendement de BNP Paribas Cardif. Cette baisse de la rémunération est imputée au contexte
économique mais a déclenché un comportement de recherche d’investissements plus rémunérateurs et
a donc mené à des rachats partiels ou totaux pour ouvrir une assurance vie plus attractive (taux
d’intérêt supérieur, aucun droit d’acquisition et/ou frais de gestion incorporés et donc moins visibles).
Transfert vers d’autres produits
Enfin, le rachat pour transfert vers des produits d’épargne plus sécurisés s’est fait au moment
de la crise grecque. Souvent sur conseil de proches, ces rachats sont liés à la crainte de perdre son
capital. Les avoirs sont ensuite souvent placés sur un livret d’epargne en attendant un contexte
économique plus favorable.
Les besoins de liquidité qui peuvent être réguliers, pour maintenir son niveau de vie, ou
exceptionnels ont entraîné des rachats qui ne sont plus forcément en lien avec la crise économique
mais en sont indirectement la cause.
Les « fragilisés » font face à des difficultés économiques liées au chômage, à un changement
de situation personnelle ou a une retraite insuffisante. Hormis la souscription d’un crédit qui n’est pas
toujours possible, l’assurance vie devient la seule source d’argent disponible pour compléter ce
manque. L’assuré fera donc plusieurs petits rachats pour compléter le salaire ou la retraite (ou
l’indemnité chômage) pour une utilisation dans la vie courante. Ces rachats sont effectués malgré eux
et le plus souvent, ils tentent d’en limiter l’usage. La fiscalité liée aux rachats n’interviennent pas dans la
décision de rachat, celle-ci étant perçue comme inévitable. On peut étendre ce comportement aux
populations ayant besoin de liquidités pour le paiement de l’ISF ou le remboursement d’un prêt
immobilier.
De façon récurrente, en 2011, il a été observé des rachats dits « usuels » c'est-à-dire ne
participant pas à la vague de « sur-rachat » de 2011. Ces rachats ont été principalement fait pour des
motifs liés à des circonstances de la vie, à savoir une donation aux descendants, un apport pour un
achat immobilier ou le paiement mensuel d’une rente (observé chez les personnes « fragilisées »). [11]
III.3.3
Prévenir les rachats
Lorsqu’un client veut effectuer un rachat, son conseiller BNP Paribas Cardif doit lui rappeler le
cadre légal de taxation ainsi que les conditions inhérentes à cette opération. Cependant, ledit conseiller
ne cherche pas toujours à argumenter pour contrer ce rachat, il prend même le plus souvent une
attitude qui conforte le client dans sa décision. Cette attitude peut s’expliquer par un très mauvais
accueil de la part des clients de toute forme de résistance lorsque leur décision est prise. De plus, les
conseillers n’ont pas en main des propositions constructives permettant de contrer le rachat.
38
Xavier Brugirard
Ces rachats auraient-ils pu être évités ?
Lorsque les rachats ne sont pas liés au mécontentement des clients mais à une crise
économique, la marge de manœuvre est restreinte. Dans la mesure où le rachat était impératif à la date
T, la fiscalité n’est pas perçue comme dissuasive. En ce qui concerne l’hypothèse d’un crédit, dans le
cadre d’un besoin de liquidités, il est possible de démontrer la pertinence d’un crédit par rapport à la
taxation inhérente au rachat, mais le plus souvent, l’assuré a du mal à accepter le fait qu’un crédit, et
donc le paiement des intérêts, puisse être plus avantageux qu’une somme d’argent épargnée qui
semble disponible.
En revanche, lorsque le rachat est en lien direct avec la conjoncture économique, des actions
semblent envisageables. Lorsque les rachats sont effectués par crainte de perte de l’épargne, il est
possible d’expliquer la réassurance et son action protectrice pour l’assureur et donc les assurés. Si le
rachat est à des fins de réinvestissement vers une assurance vie concurrente, on peut imaginer des
pistes en termes d’incitation commerciale.
L’image de BNP Paribas (et de BNP Paribas Cardif)
BNP Paribas garde une image de solidité, d’assise qui la caractérise. Tous les clients n’ont pas
la même perception de la concurrence en matière d’assurance vie, certains ne sont pas conscients de
la différence de rendement alors que d’autres pensent que BNPP devient moins compétitive, face à une
concurrence agressive en matière de taux et de frais. En matière de relation client, une étude de
consommateurs conclue que les clients sont en grande partie satisfaits du suivi qu’ils jugent de qualité
tandis qu’ils se plaignent néanmoins de l’absence de démarche afin de les rassurer pendant la crise, de
changement intempestif de conseillers ou de conseiller pas toujours au niveau attendu.
III.4
rachats
III.4.1
Pistes à explorer pour contrer les
Au niveau de l’information
Les clients sont pour une communication spontanée avec leur conseiller en matière de rachat.
Ceci dans le but d’être rassuré et de maintenir un lien avec le conseiller, avant de prendre une décision.
Une bonne connaissance du sujet par les conseillers est importante, ils sont parfois trahis par leur
manque de maîtrise du produit d’assurance vie. Ceci entraînerait une plus grande transparence aux
modalités contractuelles, aux composantes de l’assurance vie et à la nature exacte des risques liés à
cet investissement.
Pour autant, cet axe ne se suffit pas à lui-même puisque les personnes inquiètes n’ont souvent
pas besoin de ces informations de la part de BNP Paribas Cardif pour prendre leur décision. De plus
l’information trouvée ailleurs est souvent mieux accueillie par le client qu’un message jugé commercial
et donc pas toujours fondé. Il est donc important de garder une bonne transparence vis-à-vis des
médias pour conserver la confiance des clients.
39
Xavier Brugirard
III.4.2 Offres commerciales et pistes pour contrer la
décollecte
Les offres commerciales
Pour aider à la collecte et contrer la décollecte dans un contexte économique difficile, les
assureurs proposent des offres commerciales sur les contrats existants. En janvier 2012 par exemple,
les offres commerciales à taux garanti sur le fonds en euros chez BNP Paribas Cardif ont relancé de
façon spectaculaire la collecte sur les contrats concernés.
Une autre offre commerciale proposée sur plusieurs contrats est un taux garanti les 4 premières
années (voir application Partie 5 ; II.2.). Notons que depuis le 1er août 2010, les taux garantis proposés
(sur 8 ans au maximum) ne doivent pas excéder un TMG (taux moyen garanti) maximum défini comme
le minimum entre :

150% du taux technique maximal en vigueur par référence à « 75 % du TME » (Taux moyen
d’emprunt d’État)

Et le maximum entre :
o
110% de la moyenne des taux servis sur les 2 exercices précédents et
o
120% x taux technique maximal en vigueur par référence à « 75 % du TME » ;
Pour information, le TME en janvier 2010 était de 3,6%, en janvier 2011 de 3,5% et en janvier
2012 de 3,23%.
Le développement d’offres commerciales semble être une bonne solution pour contrer la
décollecte.
Des pistes pour contrer la décollecte
Dans le cadre de l’étude, 9 pistes ont été testées notamment des pistes de fidélisation qui
proposent par exemple d’améliorer le rendement du contrat ou de rembourser les droits d’acquisition
après la 9
ème
année. Une piste de crédit propose quant à elle d’offrir un prêt à taux préférentiel : c'est-à-
dire une avance pour un montant équivalent à 60% de l’encours du contrat d’assurance vie. Enfin
plusieurs pistes de placements sur d’autres supports ont été explorées. Ainsi, les clients pourront placer
leurs avoirs dans la pierre (immobilier) ou mieux contrôler leurs UC en fixant un palier de « moins
values » à partir duquel un transfert total et automatique sera effectué vers un support de sécurisation.
IV. Analyse quantitative des rachats
IV.1
Suivi de production
L’analyse est centrée sur les rachats partiels dits non programmés (noté RP, les rachats partiels
programmés étant notés RPP) ainsi que les rachats totaux (RT) en comparant les résultats entre 2008
et 2010. Avant même d’entreprendre une étude statistique des rachats, il est important d’effectuer une
40
Xavier Brugirard
étude graphique pour se faire un premier avis sur l’évolution des rachats sur la période étudiée. De
plus, nous allons aussi confronter l’évolution de ces taux au CAC 40, qui est l’une des variables
exogènes explicatives sur laquelle nous souhaitons développer notre analyse.
Les données sont issues du Datawarehouse (voir glossaire). Les décès, les opérations
programmées (rachats partiels, versements périodiques, services financiers) et les opérations de
masse à l'initiative de BNP Paribas Cardif (arbitrage de fusion/absorption et dans le cadre des offres
commerciales) ne sont pas pris en compte. On notera donc par « rachat » la somme des rachats totaux
et partiels non programmés.
IV.1.1 Historique des rachats en montant par
semaine entre 2008 et début 2012
Nous avons confronté les courbes de rachat en montant entre 2008 et début 2012 en indiquant
les évènements marquants qui ont eu une influence directe sur les rachats sur la période considérée.
Millions
220
été - automne 2011
Crise de la dette de
la zone euro
Janvier 2012
Off. commerciale
BDDF sur le Fonds
général
2008 1 rachat partiel
de 59 M€
200
180
2008 Affaire
Kerviel
Avril 2010
Crise zone €
1er aout 2010
Plafonnement
des taux
garantis
160
140
2008 - Crise
financière subprimes
Faillite Lehman
Brothers
2008 Affaire
Madoff
120
100
80
60
40
20
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 131415 1617 181920 212223 242526 272829 303132 333435 3637 383940 414243 444546 474849 505152 53
semaine
2008
2009
2010
2011
2012
NB : l'année 2009 comportait 53 semaines.
Figure 4 : Historique des rachats en montants rachetés par semaine entre 2008 et 2012
Chronologie des évènements et leur influence
L’historique des crises entre 2007 et 2012 est détaillé dans la partie 2, III.4. Cependant, nous
pouvons rapidement expliquer les pics de rachats entre 2008 et 2012, grâce (entre autre) à des
événements spécifiques sur les marchés financiers :
41

Xavier Brugirard
Janvier 2008 : L’affaire Kerviel entraîne une perte de confiance des clients pour les
bancassureurs. Augmentation en un mois (donc pour un encours stable) des rachats entre 60
millions d’euros et 102 millions d’euros.

Fin Mai 2008 : Il y a eu un rachat partiel très important (le montant est confidentiel). Ce
rachat ne fait pas directement échos aux marchés financiers.

Automne 2008 : Les bourses mondiales chutent en Octobre 2008, Lehmann Brothers
dépose le bilan en Septembre 2008, l’affaire Madoff éclate en Décembre 2008.

Avril 2010 : Crise de la zone euro

1 aout 2010 : Nouvelle loi qui plafonne les taux garantis.

Été à automne 2011 : crise de la dette de la zone euro. Questionnement sur les
er
capacités de la Grèce à honorer ses engagements.

Janvier 2012 : Offre commerciale BDDF (Banque de détail France) sur le fonds général.
En 2011, les montants des rachats totaux et partiels de BNP Paribas Cardif, hors AEP
(Assurance Epargne Pension Paris, une succursale de Cardif), ont augmenté de 47% par rapport à
2010 et s'élèvent à 6,28 milliards d'euros soit 2 milliards de plus qu'en 2010. Cette observation ne
constitue pas une tendance puisque le début de l’année 2012 soit une légère amélioration de ces
chiffres.
IV.1.2 Evolution en nombre par type de rachat par
rapport au CAC 40
Observons tout d’abord l’évolution mensuelle croisée des rachats partiels et totaux en nombre
60
6000
50
5000
40
4000
30
3000
20
2000
10
1000
0
Niveau du CAC 40 (en points)
Nombre d'opérations (en millier)
uniquement avec l’évolution du CAC 40.
0
Rachat partiel - nombre
Min CAC
40- Min CAC 40
Rachat
total
Rachat total - nombre
Max CAC
Rachat
total40
- Max CAC 40
Figure 5 : Évolution mensuelle en nombre par type de rachat comparativement au CAC 40
42
Xavier Brugirard
La crise financière des subprimes fin 2008 entraîne, début 2009, une forte diminution du CAC
40 et semble engendrer une augmentation du nombre de rachats qui ont dépassé 35 mille opérations
chez BNP Paribas Cardif en mars 2009. Nous obtenons la même conclusion si l’on regarde l’évolution
croisée du nombre de rachats et du CAC 40 fin 2011 lors de la crise de la dette de la zone euro.
IV.1.3 Evolution en montant par type de rachat par
rapport au CAC 40
Si une crise semble donc, a priori, entraîner un nombre de rachats plus important, il est
également intéressant de regarder l’évolution des rachats en montant. En effet, le graphique précédent
n’indique pas s’il s’agit d’une vague de rachats importante de petits montants ou d’une vraie panique
qui pousse même les plus gros épargnants à retirer l’argent qu’ils ont placé sur leurs contrats
d’assurance vie. Pour cela, le graphique suivant permet d’observer l’évolution croisée des rachats en
800
6 000
700
5 000
600
4 000
500
400
3 000
300
Niveau du CAC 40 (en point)
Montant des rachats (en millions d'euros)
montant par rapport au niveau du CAC 40.
2 000
200
1 000
Rachat partiel - en montant
Rachat total - en montant
Min CAC
Rachat
total40- Min CAC 40
2012 5
2012 3
2012 1
2011 11
2011 9
2011 7
2011 5
2011 3
2011 1
2010 9
2010 11
2010 7
2010 5
2010 3
2010 1
2009 9
2009 11
2009 7
2009 5
2009 3
2009 1
2008 11
2008 9
2008 7
2008 5
2008 3
0
2008 1
100
0
Max CAC
Rachat
total40- Max CAC 40
Figure 6 : Evolution mensuelle en montant par type de rachat comparativement au CAC 40
Nous observons globalement le même phénomène que pour la loi en nombre à la différence
des pics de 2011 qui sont extrêmement impressionnants. Avec une corrélation sur la période de 51%
entre le taux de rachats partiels en montant et l’indice du CAC 40, nous nous interrogeons cependant
sur l’absence d’un pic aussi important fin 2008. Nous supposons pour le moment qu’il y a un
changement de comportement vis-à-vis du CAC 40 entre fin 2008 et 2011. Les assurés semblent plus
attentifs à l’évolution des variables financières et ont un comportement plus en phase avec celles-ci.
Nous aurions pu nous demander si l’assurance vie n’est pas simplement entrée dans une phase de
43
Xavier Brugirard
paiement des prestations qui fait partie intégrante du cycle de la vie d’un contrat d’assurance vie. Ce
n’est pas la position que nous avons choisie de prendre.
IV.2
FFSA
La répartition des rachats vue par la
L’étude 2011 de la FFSA (Fédération Française des Sociétés d'Assurances) donne la
répartition des rachats (dans toute l’assurance vie en France) selon leur motif au sein de l’assurance vie
Française.
Selon le type :

Rachats Totaux : 26%

Rachats Partiels : 74%
Selon le montant :

Moins de 50K€ : 48%

Entre 50K€ et 250K€ : 34%

Supérieurs à 250K€ : 18%
Selon le motif :

Consommation : 48%

Immobilier : 22%

Placements financiers : 13%

Autres : 17%
Nous observons que ces résultats sont cohérents avec les résultats obtenus dans l’analyse
qualitative des rachats. Ceci nous permet de quantifier chacune des catégories.
V. Conclusion et résultats
L’étude montre que le sur-rachat supporté par BNP Paribas Cardif, ainsi que par la plupart des
bancassureurs proposant ce type de contrat, sont dus à une multitude de causes imbriquées.
Tout d’abord, la succession de crises sur les marchés financiers suscite une anxiété chez la
plupart des épargnants, qui ont peur pour la sécurité de leur épargne. Cette conjoncture impacte aussi
le rendement et est un réel déclencheur de rachat chez certains assurés. Parallèlement, des facteurs
structurels viennent aussi impacter l’assurance vie.
La baisse continuelle des taux de rémunération rapproche ce produit des produits dits
« basiques », c'est-à-dire notamment des livrets ouverts à la banque. En revanche, les contraintes
afférentes aux produits d’assurance vie, à savoir les frais associés et les durées de blocage, n’ayant
44
Xavier Brugirard
pas été révisées, l’assurance vie perd donc son avantage comparativement aux produits « basiques ».
L’apparition d’offres sans frais d’acquisition (ou d’entrée) sur le marché remet en cause la qualité des
contrats offerts par BNP Paribas Cardif. Globalement, seule l’image de sécurité de l’assurance vie
subsiste tandis que les deux autres piliers fondamentaux (rendements attractifs et fiscalité favorable)
s’effritent.
Plusieurs raisons poussent les gens à racheter, mais l’étude a identifié des causes de « surrachats » de 2011 : la consommation pour le « plaisir » ou par contrainte est mise en cause. D’autres
motifs expliquent que l’épargne individuelle des particuliers est vidée de leur assurance vie plutôt que
d’autres produits d’épargne ou via un crédit par exemple. Rappelons principalement le fait que les
avoirs placés sur les marchés actions sont bloqués lorsque les marchés sont au plus bas et le frein
associé au crédit dû à la disponibilité de l’argent.
45
Xavier Brugirard
PARTIE 3 : Taux de rachat conjoncturel et
étude des variables explicatives
Nous allons dans cette partie développer la méthode de calcul du taux de rachats sur le
portefeuille disponible. Nous aurons ensuite la liberté de sélectionner les variables structurelles
disponibles ayant un impact sur les rachats et enfin d’étudier les variables exogènes que nous allons
utiliser dans notre loi de rachats dynamique.
I. Méthodologie de calcul du taux de rachat
Le calcul du taux de rachat partiel (en montant) ou total (en nombre) peut se faire de plusieurs
façons. Nous allons expliquer l’une d’entre elles puis observer les résultats obtenus avec nos données.
Notons que l’on ne calculera les rachats partiels qu’en montant et les rachats totaux qu’en nombre. Ce
choix est imposé par le modèle de projection des flux de BNP Paribas Cardif, dans lequel les rachats
sont pris en compte de cette façon.
Ensuite, le calcul du taux de rachat peut se faire en fonction de l’ancienneté. De la même façon,
nous pouvons imaginer le calcul de ce taux de rachat de façon mensuelle en fonction de l’ancienneté
du contrat, par rapport à l’âge de l’assuré ou même par rapport au réseau de distribution du contrat
considéré.
Pour simplifier, nous ne verrons dans cette partie que le calcul des taux de rachats en fonction
de l’ancienneté. Nous calculerons également les taux de rachats mensuels.
I.1 Loi de rachats totaux en nombre
Pour calculer le taux de rachat total en nombre par rapport à l’ancienneté du contrat, il faut tout
d’abord calculer l’ancienneté fiscale en mois. C’est la durée écoulée depuis la date « d’effet fiscale »,
c'est-à-dire la date à partir de laquelle commence à courir le délai fiscal du contrat d’assurance vie..
Nous trouvons ensuite « l’exposition » du contrat en début de période d’étude pour une ancienneté
fiscale en mois donnée. L’exposition peut être de deux types : soit en nombre, l’exposition correspond
alors au nombre de contrats en portefeuille à la date d’observation ; soit en montant, l’exposition
correspond alors au montant total des provisions mathématiques (PM) de tous les contrats en
portefeuille à la date d’observation.
46
Xavier Brugirard
Notons i l’ancienneté fiscale en mois (de 0 à X). Le taux mensuel de rachats en nombre ou en
montant (ceci dépendra du taux recherché) entre le mois i et i+1 est
(
(
)
)
(
)
Illustration : Pour une période d’étude d’un an et un contrat non racheté avec ancienneté fiscale
de 4,4 mois en début de période, alors ce contrat compte dans les expositions 5 à 6 mois puis 6 à 7
mois jusqu’à 16 à 17 mois.
Nous pouvons ensuite calculer le taux global de l’année pour une ancienneté comprise entre J
et J+1 an :
∏ (
(
))
Exemple :
(
) (
)
(
)
I.2 Lois de rachats partiels en montant
De la même façon que précédemment, on calcule l’ancienneté fiscale, mais en années pleines
cette fois. On rapporte ensuite le montant racheté durant un mois donné (disons février 2012 par
exemple) aux PM exposées avec une ancienneté fiscale en année au début du mois concerné (donc le
31 Janvier 2010 dans ce cas de figure (période d’étude d’un an). Le taux devient donc :
∏(
)
Exemple :
[
] [
[
]
]
Si l’on considère maintenant que la période d’étude est de A années et non plus de 1 an, alors
la formule devient :
(∏ (
))
47
Xavier Brugirard
Notons que cette méthode revient à donner le même poids à tous les mois d’observations quels
que soient les encours observés. Cette méthode peut poser des problèmes lorsque l’on a de faibles
encours à un instant donné (cas d’un partenaire nouveau) ou lorsque le montant des encours varie
fortement d’une période à une autre (récupération d’un gros portefeuille par exemple).
Ainsi pour A années d’observation, nous pouvons utiliser le calcul alternatif suivant :
∑
(
)
∑
Nous utiliserons la seconde méthode pour le calcul du taux dans notre étude, celle-ci possède
l’avantage de prendre en compte l’encours observé au moment du calcul.
I.3 Taux de rachats mensuel
Hormis le taux par ancienneté, nous avons aussi calculé un taux de rachats global (partiels et
totaux) en montant mensuellement. Ce calcul n’entrera pas dans la formule utilisée pour notre étude,
mais nous permettra d’étudier les variables explicatives une à une. Voyons l’application de ce calcul
pour l’ensemble du portefeuille (le calcul est analogue pour « BPF » ou « Retail »). Ceci se fait de façon
très simple :
Alors :
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
Nous avons ensuite annualisé ces taux mensuels. Ceci est nécessaire pour plusieurs raisons.
D’abord pour les rendre plus simples à observer et à interpréter. Ensuite parce que ce sont des taux
annuels qui sont utilisés dans le modèle de Cardif, il est donc important de s’adapter au mieux au
modèle pour pouvoir étudier les conséquences d’un changement de loi.
(
)
(
(
48
)
)
Xavier Brugirard
II. Sélection des variables structurelles
Nous avons testé plusieurs variables pour voir si elles ont un impact a priori sur les rachats.
Ceci est nécessaire pour la création de notre loi de rachats dynamiques. En effet, si l’on trouve qu’un
critère binaire a un impact sur les rachats, il sera alors nécessaire de créer deux lois dynamiques pour
chacune des classes car les assurés peuvent avoir un comportement de rachat dynamique différent.
II.1
Variables étudiées
L’âge
II.1.1
Voici le graphique représentant le taux de rachat en fonction de l’âge de l’assuré.
19%
17%
Taux de rachat total
15%
13%
11%
9%
7%
5%
3%
1%
18
28
38
2007
2008
48
Age
2009
58
2010
68
2011
78
2012
Figure 7 : Evolution des taux de rachat par âge (18 à 85 ans)
Notons que l’exposition pour l’année 2012 est complète, mais que les rachats observés
s’arrêtent en avril 2012, ceci explique pourquoi le taux est si bas. À un coefficient prêt, nous observons
pourtant le même comportement que les autres années.
Comparons les tendances des rachats annuellement par rapport à l’ancienneté grâce à un
calcul de corrélation :
Corrélation 2007 2008 2009 2010 2011 2012
2007
100%
56%
54%
49%
42%
46%
2008
100%
91%
87%
87%
81%
2009
100%
88%
85%
84%
2010
100%
83%
83%
2011
100%
91%
2012
100%
Figure 8 : Table des corrélations entre les taux de rachats annuels globaux en fonction de l’âge.
49
Xavier Brugirard
Hormis pour 2007 - qui compte un pic de rachats anormal pour les personnes âgées de 27 ans
- pour chacune des années d’observation, on obtient une corrélation importante ou très importante.
Ceci confirme sans surprise que l’âge a bien une influence sur les rachats en assurance vie.
L’ancienneté
II.1.2
II.1.2.1 Taux de rachats en fonction de l’ancienneté
10,00%
8 ans
9,00%
8,00%
1 an
4ans
7,00%
6,00%
5,00%
4,00%
3,00%
2,00%
1,00%
0
5
tx_mt_RP
10
Ancienneté
15
tx_nb_RT
20
25
Figure 9: Taux de rachat partiel en montant et Taux de rachat total en nombre par ancienneté
L’influence de l’ancienneté sur les rachats de fonds placés en assurance vie est claire. Nous
identifions plusieurs paliers de rachats du portefeuille Cardif :

1 an : Naturellement, des contrats de moins d’un an sont très volatiles. Une partie de ce
phénomène (et non la totalité) peut être expliquée par le « misselling », pratique discutable d’un
commercial qui consiste à masquer une partie des caractéristiques du produit vendu.

4 ans : Le sur-rachat observé en nombre et en montant est généré par le changement
de fiscalité (taxation des plus-values passant de 35% à 15%)

8 ans : Le sur-rachat observé en nombre et en montant est généré par le changement
de fiscalité (taxation des plus-values passant de15% à 7,5% au-delà de 4600€ de plus-values)

De 10 à 20 ans : décroissance à peu près linéaire.

Au dessus de 20 ans : trop peu de données pour prendre en compte cette partie.
Notons tout de même que la distorsion de la courbe de rachats totaux en nombre par rapport à
la courbe de rachats partiels en montant vient principalement des clients possédant un encours faible.
Ces clients sont plus sujets notamment aux « misseling », c'est-à-dire qu’ils souscrivent des contrats
non adaptés à leurs besoins. (on pense au pic de la première année)
50
Xavier Brugirard
II.1.2.2 Modélisation standard des rachats
Nous trouvons dans la littérature [17] une modélisation des rachats conjoncturels de la forme
suivante :
(
)
(
) ( (
)
)
Avec :
: la part de rachats par rapport aux contrats initiaux,
: l’ancienneté du contrat,
(
) : le pourcentage de contrats rachetés au cours de la première année,
: le facteur d’échelle, détermine la fréquence des rachats pour un contrat,
: le facteur permettant de déterminer l’emplacement des pics de rachats.
Cette modélisation des rachats met en évidence le fait que l’ancienneté du contrat est un
facteur admis comme déterminant dans le comportement de rachat des assurés. Or, il n’est pas
nécessaire d’intégrer l’âge et l’ancienneté dans le modèle, ces deux variables étant corrélées. Pour
choisir quelle variable nous allons conserver, observons la corrélation entre les rachats et l’ancienneté :
Corrélation 2007 2008 2009 2010 2011 2012
2007
100% 32% 36% 42% 40% 29%
2008
100% 86% 83% 80% 77%
2009
100% 89% 85% 86%
2010
100% 91% 87%
2011
100% 95%
2012
100%
Figure 10 : Table des corrélations entre les taux de rachats annuels globaux en fonction de l’ancienneté.
Nous choisissons donc de ne garder que l’ancienneté, étant plus importante dans la
modélisation standard des rachats trouvée dans la littérature [17] et possédant une meilleure corrélation
avec le taux de rachats global pour les années 2009, 2010, 2011 et 2012.
II.1.3
Les catégories de contrats
Nous avons expliqué précédemment que nous allions séparer notre étude sur le canal
« BDDF » (Banque de détail France) en deux sous-catégories : la Banque Privée (BPF) et la banque au
détail (Retail). Cette subdivision se justifie par le fait que les comportements de ces deux catégories
sont différents.
Pour être un client « BPF », il faut posséder un patrimoine chez BNP Paribas d’au moins 250K€
(sauf cas exceptionnel). Lorsque ce palier est atteint, BNP Paribas Cardif propose au client possédant
une assurance vie chez Cardif de signer la convention « BPF ». Le client a la liberté d’y adhérer ou non,
les frais annuels étant de 500€ minimum. Chez « BPF », le client a accès notamment à un conseiller de
meilleure qualité que chez « Retail » : le suivi est plus régulier et mieux personnalisé. En effet, en
moyenne un conseiller « BPF » gère 150 à 200 clients alors qu’un conseiller « Retail » gère jusqu’à 550
clients. Ce conseil en fait des clients « avertis » (voir partie 2. Étude qualitative des rachats en 2011).
C’est principalement ce qui va différencier les deux portefeuilles dans notre étude.
51
Xavier Brugirard
La notion de conseil est fondamentale : deux populations identiques n’auront pas le même
comportement si l’une est conseillée de façon individuelle et l’autre non. De plus, la première suit plus
scrupuleusement l’état de ses contrats d’assurance vie, l’encours étant plus important. Elle prend
rarement une décision de rachat sans avoir consulté son conseiller ou sans s’être interrogée sur
l’impact fiscal d’une telle décision. (Comportement développé dans l’étude qualitative des rachats –
Partie 2). Cette différence de comportement sera validée par les résultats de la partie 4 du mémoire.
Observons tout d’abord la proportion des catégories parmi l’ensemble du portefeuille France de
BNP Paribas Cardif (composé de deux canaux BDDF et DRP - Direction réseau et partenariat, non
inclus dans l’étude) :
Nombre de
contrat
BPF
Retail
BDDF
(BPF+Retail)
PM des
contrats
Nombre de
Flux
11%
74%
37%
46%
17%
71%
85%
83%
88%
Nombre de Montant de
Rachats
Rachats
totaux
partiels
5%
41%
79%
42%
84%
83%
Figure 11 : Proportion de BPF, Retail et BDDF parmi le portefeuille France de Cardif observé sur la période 07 - 12
Nous comparons ensuite le comportement des assurés issus des deux catégories en fonction
12%
10%
10%
8%
8%
6%
6%
4%
4%
2%
2%
Taux de rachats
12%
Ancienneté
0%
0
5
10
tx_mt_RP
15
tx_nb_RT
Taux de rachats
de leur ancienneté :
Ancienneté
0%
0
20
5
10
15
tx_mt_RP
20
tx_nb_RT
Figure 12 : Taux de rachat partiel en montant et Taux de rachat
Figure 13 : Taux de rachat partiel en montant et Taux de rachat
total en nombre par ancienneté (Retail)
total en nombre par ancienneté (BPF)
Si le comportement du « Retail » semble assez proche du comportement global des assurés, ce
qui est normal puisqu’ils représentent 74% des assurés étudiés. Le comportement des assurés de la
Banque Privée, qui, rappelons-le, possèdent un suivi personnalisé, est plus chaotique. Les pics à 1, 4 et
8 ans restent assez visibles pour les rachats partiels mais sont moins clairs pour les rachats totaux qui
semblent donc être motivés par d’autres facteurs. Des réponses ont été proposées plus haut dans
l’étude qualitative des rachats.
52
Xavier Brugirard
Observons maintenant le taux de rachats totaux en nombre et le taux de rachats partiels en
montant pour le portefeuille tout entier, « BPF » et « Retail » sur les 5 années d’observation.
16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
2007
2008
2009
2010
2011
Portefeuille
BPF
2012
Retail
Figure 14 : Taux RP Montant Comparaison Portefeuille / BPF / Retail
16%
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
2007
2008
2009
2010
2011
Portefeuille
BPF
2012
Retail
Figure 15 : Taux RT Nombre Comparaison Portefeuille / BPF / Retail
Les rachats partiels sont très comparables, hormis fin 2011 où quelques gros clients de la
Banque Privée (BPF) ont fait de gros rachats partiels. Nous remarquons que globalement, « BPF »
enregistre moins de rachats totaux mais, en termes de montant, plus de rachats partiels. Cette
conclusion est cohérente avec la figure 11. En effet, pour une proportion de contrats « BPF » de 11%,
la proportion de cette catégorie de rachats partiels en montant est de 41% et de rachats totaux en
nombre est de 5%.
Il est clair qu’il est important de séparer les deux populations puisque celles-ci n’ont pas le
même comportement face aux rachats.
II.1.4
Le CAC 40
Souhaitant illustrer le comportement des assurés en période de crise, nous avons besoin d’un
indicateur de marché le plus représentatif possible de la santé des marchés. Nous avons choisi le CAC
40 comme étant le meilleur indicateur français des marchés.
53
Xavier Brugirard
Nous nous sommes intéressés à la fois aux variations mensuelles du CAC 40 mais aussi à la
volatilité de celui-ci. Cependant, il est fondamental de ne pas omettre d’inclure le niveau absolu du CAC
40 dans le modèle. En effet, nous pouvons aisément imaginer qu’un assuré n’aura pas le même
comportement face à un marché à forte volatilité si le niveau du CAC est au-dessus de 4000 points ou
s’il est sous 3000 points. Le niveau global par rapport à l’historique de celui-ci sur les 5 dernières
années est donc à prendre en compte.
II.1.4.1
CAC 40 vs taux de rachats partiels et totaux
du Portefeuille
Nous observons tout d’abord graphiquement l’évolution chronologique des taux de rachats
partiels en montant et de l’ensemble des rachats du portefeuille (c'est-à-dire totaux, partiels et partiels
14%
7 000
12%
6 000
10%
5 000
8%
4 000
6%
3 000
4%
2 000
2%
1 000
0%
janv.-07
Date
janv.-08
CAC_40
janv.-09
janv.-10
tx_rp_mt
janv.-11
Niveau du CAC 40 (en point)
Taux de rachat
programmés) en fonction du CAC 40.
-
janv.-12
tx_rt_nb
Figure 16 : Évolution du CAC 40 face aux rachats partiels et totaux
Il est difficile de conclure à partir de ce graphique. En revanche, nous observons, de la même
façon que dans l’étude quantitative que nous avons faite plus haut, un premier pic en 2008 qui répond
au choc des marchés suite à l’affaire Kerviel. Le pic est largement plus soutenu fin 2008 / début 2009
lors de la crise des subprimes pendant laquelle nous observons une chute dramatique des marchés
actions et une augmentation proportionnelle des rachats. Enfin, c’est la crise de la dette de 2011 que
nous observons le mieux sur ce graphique avec une augmentation brusque des rachats partiels au
même moment qu’une diminution significative du CAC 40 pourtant en meilleure santé depuis 1 an.
Notons une corrélation de 51% entre le taux de rachats partiels en montant et la cotation du CAC 40.
II.1.4.2
Variations du CAC 40 vs taux de rachats
partiels du portefeuille
Nous calculons les variations (ou le rendement) du CAC 40 de façon simple :
54
Xavier Brugirard
Pour comparer les variations du CAC 40 et le taux de rachats du portefeuille (aussi appelé
global, c'est-à-dire partiel, partiel programmés et totaux) sur notre périmètre, il est nécessaire de se
poser la question du décalage mensuel (nos données étant mensuelles, nous ne pouvons pas effectuer
un décalage plus fin). En effet, il est logique de se demander si, lors d’un choc sur le marché actions,
les assurés réagissent immédiatement - c'est-à-dire dans le mois - un mois plus tard ou deux mois plus
tard. Nous nous poserons à nouveau cette question dans la suite du mémoire pour la Volatilité du CAC
40 notamment.
Nous avons trouvé qu’un décalage d’un mois donne les meilleurs résultats pour les variations
du CAC 40. Nous avons donc construit les courbes superposées des taux de rachats globaux et des
15%
14%
10%
12%
5%
10%
0%
2007
-5%
8%
2008
2009
2010
2011
2012
6%
-10%
4%
-15%
2%
-20%
Var_CAC
tx_rp_mt
Taux de rachats mensuels annualisé
Variations du CAC 40
variations du CAC 40 décalées d’un mois.
0%
Figure 17 : Variations du CAC 40 vs taux de rachats partiels du portefeuille
Nous avons à la fois observé le signe des variations du CAC 40 mais aussi l’augmentation ou la
diminution de ses variations. Logiquement, nous cherchons à montrer que lorsque les variations du
CAC 40 sont négatives (et donc que le CAC 40 est en baisse) sur une longue période, les rachats
partiels augmentent. Il est possible d’observer, même pour un signe constant des variations sur une
période, un essoufflement de l’augmentation du CAC 40 ou à l’inverse une baisse moins dramatique du
CAC 40, que ces deux phénomènes ont un impact sur le taux de rachat partiels.
Le phénomène est assez clair, même si avant février 2008, il est quasiment impossible de
déterminer graphiquement une corrélation entre les deux courbes. Fin 2008, la crise financière des
subprimes entame une longue période pendant laquelle les variations à la baisse du CAC 40 entraînent
systématiquement, un mois plus tard en moyenne, un phénomène, plus ou moins marqué de rachat des
contrats d’assurance vie. On observe en effet un pic de rachats pendant la période de grande
diminution du CAC 40. Le phénomène se précise milieu 2009 avec une reprise du CAC 40 qui entraîne
une diminution des rachats. La crise de la dette de 2011 et la forte diminution du CAC 40 (pic à -16 %)
nous fait observer une augmentation des rachats à des niveaux jamais observés sur la période
considérée.
55
Xavier Brugirard
Ces observations constituent un point de départ à une réflexion que nous avons souhaité traiter
dans ce mémoire. Mais il est à noter que notre étude graphique ne prend pas en compte le niveau
absolu du CAC 40 et un effet éventuel de palier en-dessous duquel les assurés ont une attitude
différente. Nous tenterons de répondre à cette question dans la suite du mémoire pour enfin répondre à
la question : Quel est l’impact réel d’une crise financière sur les rachats des contrats d’assurance vie ?
II.2
Variables macroéconomiques
additionnelles
Le but de ce mémoire est de comparer le taux de rachats observé dans le portefeuille avec des
variables endogènes, mais surtout exogènes explicatives et donc économiques. En effet, nous
souhaitons observer le comportement global des assurés en période de crise, que celui-ci soit rationnel
ou non. Le problème est tout d’abord de définir ce qu’est un comportement « rationnel ». Nous
considèrerons du point de vue de l’assureur qu’un comportement rationnel pour un assuré est une
réponse qui va dans le sens de la logique à un problème posé sur son épargne. Par exemple, dans la
loi de rachats dynamiques proposée dans le QIS5, le comportement dit « rationnel » de l’assuré, est
d’effectuer un rachat à partir du moment où l’écart entre le taux observé et le rendement de son contrat
est suffisant.
Dans notre étude, le comportement de rachat est-il rationnel lorsque le CAC 40 va mal ? La
question se pose puisque la quasi-totalité des contrats BNP Paribas Cardif sont des contrats multisupports permettant d’investir à la fois en UC (Unités de Compte) et sur un fonds en Euros. Lors d’une
crise financière qui touche directement les montants placés sur le fonds en UC des assurés, ceux-ci
peuvent choisir d’arbitrer et déplacer leurs fonds vers le fonds général. Alors pourquoi auraient-ils
besoin de racheter ? Nous avons donné des explications à cela dans la partie qualitative des rachats
(partie 2) et montré qu’a priori, il existe bien un comportement global des assurés pour les rachats en
période de crise. Il n’est donc pas question de séparer les contrats en fonction de leur répartition UC /
fonds général mais bien d’observer un taux de rachat global du portefeuille. En d’autres termes, même
si sur ces supports, le risque porté par l’assureur n’est pas le même, nous supposons que sa
composante rachats dynamiques est homogène.
Rappelons que les variables explicatives endogènes que nous avons sélectionnées sont
l’ancienneté du contrat, le canal du contrat (« BDDF »), mais surtout la catégorie (« BPF » ou
« Retail »). Ces variables sont supposées, à elles seules permettre de déterminer une loi de rachat
statique.
A ces variables, nous avons ajouté un certain nombre de variables macroéconomiques qui
peuvent potentiellement expliquer les rachats. Hormis le CAC 40, sa volatilité (que nous développerons
dans le paragraphe suivant) et ses variations, nous avons sélectionné plusieurs variables disponibles
sur les bases de données de l’INSEE.
 L’indice de confiance des ménages en France (FR household confidence indicator) : cet
indicateur offre un reflet de l’opinion des ménages sur leur environnement économique ainsi
que sur leur situation économique personnelle. Cela fournit donc des informations sur le
comportement des assurés et permet de prévoir leur consommation ou leur façon d’épargner.
56
Xavier Brugirard
L’étude INSEE surveille des phénomènes court-terme tels que les prix, l’emploi et l’épargne, du

point de vue des ménages et indépendamment des indicateurs macroéconomiques.
L’indice de confiance des industries de production en France (FR manufacturing synthetic business indicator). Cette étude est faite mensuellement auprès de 4000 entreprises
incluant des entreprises de fabrication, agro-alimentaire et des raffineries. Chaque entreprise
est pondérée de façon différente en fonction de son secteur d’activité et de son chiffre d’affaires
(turnover). Les questions sont tournées autour de la production, de la demande, de la vente et
des prix des produits. Cet indicateur est le reflet de la confiance des ménages du point de vue
des entreprises.
Ces deux variables résultent d’une enquête INSEE auprès des ménages et des entreprises
françaises. Le choix de prendre un indice de confiance a été motivé par une théorie développée par
Milton Friedman en 1957 : la « Théorie du revenu permanent ». Cette théorie stipule que les choix
des consommateurs/épargnants sont dictés par les revenus effectifs actuels qu’ils possèdent mais
aussi par leur estimation de leurs revenus à long terme. Ainsi, en période de crise, la part d’incertitude
liée à l’estimation des revenus futurs grandissant, les consommateurs auront tendance à freiner leur
consommation. Dans notre étude, cet indice reflète la confiance des ménages envers les marchés
financiers ce qui aura un impact sur leur décision d’épargne.
Enfin, nous avons aussi choisi d’étudier l’indicateur « BBB-AAA ». Cet indicateur correspond à
la différence entre la moyenne des taux d’emprunt offerts aux entreprises notées BBB et la moyenne
des taux d’emprunt offerts aux entreprises notées AAA. De façon simplifiée, en période de crise, la
demande en valeurs refuges augmente, et donc les entreprises notées AAA voient leur taux d’emprunt
diminuer. De cette façon, la différence entre ces deux taux augmente. Dans notre étude, l’observation
de cet écart de taux nous permettra de déterminer la santé des marchés financiers.
II.3
Estimateurs de la volatilité du CAC 40
En finance, le plus souvent, c’est la volatilité d’un sous-jacent qui est utilisée comme mesure de
risque. En effet, en gestion de portefeuille, la volatilité des actifs est utilisée pour trouver l’allocation
optimale d’un portefeuille. L’allocation du portefeuille étant déterminée en fonction de la volatilité, il est
important que le risque des actifs soit proche de leur vraie valeur car dans le cas contraire l’allocation
ne serait plus optimale.
Les clients (et la population en général) ne cherchent pas généralement à avoir accès à une
cotation de la volatilité du CAC 40. Une statistique parue dans « Le Monde » montre qu’en moyenne,
les échanges effectués sur le CAC 40 se font en moins de 2s. Cette observation permet de conclure
que les particuliers ont une influence relative sur le cours du CAC 40, contrairement aux entreprises qui
s’échangent très rapidement de gros volumes. Pourtant, la volatilité du CAC 40 traduit bien la confiance
que les assurés ont dans les marchés. Ainsi, plus le CAC 40 est volatile, plus la population s’interroge
sur la sécurité de son épargne. A l’inverse, une faible volatilité implique une bonne confiance de la
population en général et a fortiori des assurés de notre portefeuille.
57
Xavier Brugirard
Nous choisissons de partir de cette hypothèse forte. Nous allons donc considérer que la
volatilité du CAC 40 traduit la santé des marchés et peut donc être utilisée comme un véritable
baromètre : un niveau élevé de celle-ci traduit des anticipations de variations plus importantes du CAC
40 et donc une méfiance envers les marchés, et inversement.
Il existe deux façons de procéder pour trouver la volatilité implicite du CAC 40. La première est
de considérer la cotation de la variable « VCAC », disponible par exemple sur le site de l’Euronext. Le
problème est que l’historique de « VCAC » n’est disponible qu’à partir de Septembre 2007, date de
création de cet indice. Il est donc nécessaire d’utiliser une seconde façon : par le calcul. Un calcul
permettrait de plus de projeter les valeurs de cette volatilité via un générateur de scenarios
économiques capable de projeter le CAC 40.
Nous avons compris plus haut que l’estimation de la volatilité est très importante, c’est pourquoi
il en existe plusieurs estimateurs. Nous en avons testé plusieurs puis observé lequel est le plus efficace
pour notre problème. Nous avons utilisé des estimateurs faisant intervenir le prix d’ouverture et de
clôture de l’actif, ou bien faisant intervenir uniquement le minimum et le maximum journalier du cours du
sous-jacent. Bollen et Inder (2002) font un rappel des principaux estimateurs de la volatilité journalière.
Écrivons tout d’abord le rendement journalier d’un actif financier :
( )
Avec
le prix de clôture à la date t et
( )
( )
le prix d’ouverture à la date t.
est supposé suivre une loi normale avec une volatilité non constante
(
)
:
Le premier estimateur (que nous appellerons par la suite « premier estimateur » ou « Volatilité 1 ») que
nous avons observé est basé sur le modèle de Black-Scholes dont l’espérance de la valeur absolue du
rendement du sous-jacent est :
(| |)
√
Et donc la volatilité peut être estimée par :
| |
√
Nous pouvons calculer la volatilité mensuelle pour un mois comportant n jours ouvrés dans le mois,
pour cela il suffit de prendre la somme :
√∑
| |
√
Le rendement est calculé avec deux valeurs journalières (ouverture et fermeture), ce qui est
une limite étant donné que ceci ne prend pas en compte toute l’étendue des valeurs qu’a pu prendre
l’actif au cours de la journée. C’est pourquoi Parkinson (1980) a proposé un autre estimateur de la
volatilité journalière qui prend en compte le prix le plus haut
et le prix le plus bas
dans la journée t.
Cet estimateur fait partie de la famille des « High-Low Volatility Estimators ».
58
Xavier Brugirard
( (
)
( ))
( )
(
( )
)
Cet estimateur, que nous appellerons « Volatilité Parkinson » (ou « Vol P »), est calculé mensuellement
pour n jours ouvrés :
√
( )
∑
( )
Même si l’on n’utilise que deux valeurs du sous-jacent, ces valeurs contiennent implicitement
l’ensemble de l’information journalière puisqu’on prend le maximum des cotations sur une journée. Cet
estimateur aura donc plus d’information que le précédent.
Enfin, Garman et Klass (1980) on trouvé un estimateur qu’ils pensent plus efficace (nous le
verrons dans la pratique) que celui de Parkinson. Au même titre que l’estimateur de Parkinson, cet
estimateur fait partie de la famille des « High-Low Volatility Estimators ». Cet estimateur est défini par :
(
(
)
( )
)
( )
De la même façon, ils proposent un estimateur, que nous appellerons « Volatilité Garman et Klass » (ou
« Vol GK »), pour n jours avec la formule suivante :
√∑ [
(
(
)
( )
)
( ) ]
Cet estimateur, comme le précédent n’utilise que peu d’information disponible dans la journée
et reste imparfait. Il faudrait trouver un estimateur qui prenne en compte dans le calcul un plus grand
nombre de données. Pour notre étude, il n’est pas nécessaire d’approfondir ce point puisque nous
étudions le comportement d’assurés qui n’ont pas, en général, accès à une information aussi détaillée.
Pour l’application de ces calculs à notre étude, il sera parfois nécessaire d’annualiser les
volatilités. Vérifions graphiquement que nos calculs de Volatilité sont proches de la cotation de VCAC.
20,0%
90,00%
18,0%
80,00%
16,0%
70,00%
14,0%
60,00%
12,0%
50,00%
10,0%
40,00%
8,0%
30,00%
6,0%
4,0%
20,00%
2,0%
10,00%
0,0%
0,00%
janv.-07 août-07 janv.-08 juil.-08 janv.-09 août-09 janv.-10 août-10 janv.-11 août-11 janv.-12
Vol mens 1
Vol mens P
Vol mens GK
VCAC
Figure 18 : Comparaison graphique entre 2007 et 2012 de Volatilité du CAC estimée et VCAC
59
Xavier Brugirard
Corrélation
VCAC
(09/07 à 03/12)
Vol 1
83%
Vol P
90%
Vol GK
91%
Figure 19 : Corrélation entre 2007 et 2012 de la Volatilité estimée du CAC et VCAC
Quel que soit l’estimateur utilisé, nous obtenons une corrélation (entre Novembre 2007 et mars
2012) de plus de 83%, ce qui est très satisfaisant. Nous utiliserons donc nos estimateurs de la volatilité.
Pour le moment, nous gardons ces 3 estimateurs, nous verrons par la suite lequel est le mieux adapté
au problème.
II.4
Détermination d’une période de crise
financière mensuellement
Dans la suite de notre étude, nous avons eu besoin de déterminer à quel moment nous
sommes en crise. Pour cela, il a été indispensable de mener une étude précise et rigoureuse des
périodes de crise sur notre historique. S’il est clair que, hormis le début, l’ensemble de la période
d’étude (2007 à mars 2012) se trouve dans une instabilité des marchés financiers, il est tout de même
question de se demander quelles ont été les pires périodes de crise sur les 5 dernières années ?
Voici les périodes de crise que nous avons mises en lumière sur la période Janvier 2007 à mars
2012 :
Juillet 2007 à fin août 2007 : Marque l’éclatement de la bulle immobilière aux Etats-Unis, c’est le début
de la crise des subprimes. Cependant, cette période est assez courte du fait que l’on observe encore
peu les conséquences de celle-ci. La banque « Lehmann Brother » dévoile publiquement ses
problèmes de liquidité, pour autant il n’est pas encore question de faillite. Fin Aout 2007, le
gouvernement américain va d’ailleurs réagir à ce début de crise en annonçant des mesures destinées à
éviter que les ménages accablés d’un taux d’intérêt très élevé n’aient a vendre leur maison. Le
gouvernement se veut rassurant, il pense contrôler la situation.
Janvier 2008 à fin mars 2008 : Le 24 Janvier, La Société Générale annonce une fraude de près de 5
milliard d’euros par le financier Jérôme Kerviel. La population se questionne alors sur la sécurité de leur
épargne. C’est pourquoi, fin mars 2008, le G20 propose une nouvelle architecture financière
internationale qui s’appuie sur quatre domaines : « plan de relance économique, assainissement du
système bancaire, dispositifs et règles de surveillance du secteur financier et aide aux pays émergents
les plus touchés par la crise », ce qui va rassurer la population.
Août 2008 à fin avril 2009 : Cette période correspond au summum de la crise financière des 5
dernières années. En effet, les bourses (ou marchés actions) mondiales chutent en Octobre 2008,
Lehmann Brothers dépose le bilan en septembre 2008, l’affaire Madoff éclate en décembre 2008. Rien
ne semble pouvoir arranger la situation. Près de 8 mois après cet évènement, la situation est devenue
plus stable.
60
Xavier Brugirard
Avril 2010 à septembre 2010 : Cette fois-ci, c’est l’Europe qui est observée. En effet du jour au
lendemain, on se questionne sur la capacité de la Grèce à honorer ses dettes. Le chômage dans le
pays atteint 10.3% et en avril 2010, la Grèce requiert l’aide du FMI. La situation s’améliore
progressivement jusqu’en septembre 2010.
Août 2011 à la fin de la période d’observation (mars 2012) : Engendrée par la faiblesse de certains
de ses pays, alors que l’Europe entreprend un plan d’aide à la Grèce en août 2011, elle fait face à une
crise de l’ensemble de sa zone. Les spéculateurs se tournent vers l’Espagne et l’Italie ce qui va
engendrer en septembre une forte baisse des marchés boursiers mondiaux. Les Etats-Unis ne sont pas
oubliés pour autant puisque l’agence de notation Standard & Poor's va diminuer la note de la dette
publique du pays en août 2011.
Le schéma suivant nous permet d’observer les périodes de « crise » définies plus haut. Ces
périodes sont colorées en violet.
2007
2008
2010
2009
2011
2012
Figure 20: Chronologie des périodes de crise financières depuis 2007 jusqu'à début 2012
II.5
Résumé
disponibles
des
données
et
variables
Enumérons les données disponibles (et utilisées, nous possédons beaucoup plus de données)
sur toute la période. Nous avons accès à une base mensuelle par contrat pour :

La PM totale du contrat

Le nombre de flux correspondant à des rachats totaux

Le nombre de flux correspondant à des rachats partiels

La proportion de PM rachetée par flux de rachat (totaux ou partiels)

La catégorie au sein du canal « BDDF » (Banque de détail France) : la Banque Privée (BPF) ou
la banque de détail (Retail).

L’ancienneté fiscale du contrat.
Nous allons enfin énumérer les variables que nous avons choisies d’utiliser pour notre étude.
Nous avons naturellement testé plus de variables que celles-ci, mais nous verrons que ce sont les
variables les mieux adaptées au problème.

Le CAC 40 ainsi que plusieurs décalages mensuels.

La volatilité calculée par plusieurs méthodes :
Que nous allons
o
Première méthode (Vol1),
o
Parkinson (Vol P)
étudier avec et sans
décalages mensuels.
61
o
Xavier Brugirard
Garman et Klass (Vol GK)

Une étude des périodes de crise entre janvier 2007 et mars 2012.

Et enfin, trois indicateurs macroéconomiques :
o
L’indice de confiance des ménages en France
o
L’indice de confiance des industries de production en France.
o
La cotation de « BBB-AAA ».
62
Xavier Brugirard
PARTIE 4: Construction d’une loi de
rachats dynamiques en fonction d’une
seule variable exogène
Dans cette partie, nous construisons une nouvelle loi de rachats dynamiques inspirée de la loi
proposée dans le QIS5, mais construite de façon complètement nouvelle. L’originalité vient du fait que
nous déterminons non seulement les paramètres de celle-ci, mais aussi la variable la plus explicative
pour chacune des lois construites. Nous verrons que cette loi est mieux adaptée à la modélisation des
rachats dynamiques par rapport aux marchés financiers que la loi du QIS5.
Avant de déboucher sur la méthode exposée dans cette partie, nous avons étudié plusieurs
méthodes. Le détail de celles-ci ainsi que les raisons pour lesquelles elles n’ont pas été retenues sont
développés en annexe.
I. Comprendre la loi de rachats dynamiques actuelle
I.1 La loi dynamique du QIS 5
Rappelons tout d’abord la formule des rachats dynamiques annuels proposée dans le QIS5.
Celle-ci est déterminée en fonction de la différence entre le rendement du contrat et le rendement du
marché :
( )
Avec :

( ) la fonction de rachats dynamiques fonction du rendement du contrat



et
.
le maxima et le minima de cette fonction
le rendement du contrat (ou taux servi)
le rendement attendu par l’assuré

est le seuil en-deçà duquel les rachats dynamiques sont constants et égaux à

et
.
sont respectivement les seuils d’influence à la baisse (négatif) et à la hausse (positif) du
taux servi. Entre ces deux seuils, le comportement des assurés n’est pas motivé par l’écart de
rendement observé.
63

Xavier Brugirard
est le seuil au-dessus duquel les rachats dynamiques sont constants et égaux à
(attention à l’axe des abscisses de la loi de rachats dynamique qui est retourné)
Le graphe illustrant cette loi est le suivant :
RD
50%
40%
30%
20%
10%
Ecart de taux (R-TA)
0%
10%
5%
0%
-5%
-10%
-10%
Figure 21 : Fonction de rachat dynamique en fonction de l’écart de taux
entre le réel et l’attendu (Plafond max du QIS 5)
La courbe ci-dessus donne le taux de rachats dynamiques. Celui-ci peut être négatif dans le
cas où le rendement du contrat est supérieur au taux attendu par l’assuré. Le taux de rachat global RG
(RT ou RP) est lui toujours positif et s’exprime de la façon suivante :
(
(
))
(
)
Où RS représentent les rachats structurels.
Il existe sur le marché une information que l’on suppose connue de la plupart des assurés :
l’écart de taux entre le taux servi (ou rendement du contrat R) et un taux de la concurrence (TA).
Notons que chez BNP Paribas Cardif aujourd’hui, le taux attendu TA est égal à 90% de l’OAT (10 ans).
C’est donc par rapport à ce taux que BNP compare le rendement de ses contrats d’assurance vie.
Comme le montre la figure précédente, tant que cet écart de taux est compris entre β et γ, nous
n’observons pas de comportement de rachat plus important. En effet, compte-tenu notamment de la
lourdeur administrative et des frais d’acquisition qu’engendreraient la fermeture puis la réouverture
(pour la concurrence) d’une assurance vie, nous comprenons aisément qu’aucun assuré ne rachètera,
pour cette seule et unique raison, son contrat si la concurrence ne propose qu’un rendement faiblement
supérieur à son propre contrat. Adrien Suru dans son mémoire (2011) compare ce comportement à la
résistance des matériaux en physique : une poutre en béton a la capacité de se plier avant de rompre.
De la même façon, les assurés supporteront un écart de taux modéré mais finiront par partir si celui-ci
est trop important. Nous dirons donc que la loi dynamique « s’active » lorsque l’écart de taux est
inférieur à ou supérieur à .
Plus l’écart de rendement est important, plus les assurés résilieront leur contrat. Ceci est illustré
par la pente entre β et α. La dernière hypothèse implicite dans cette loi est qu’il existe un écart (α) à
partir duquel nous observons un sur-rachat constant. Ceci peut être expliqué par le fait qu’une partie de
la population ne connaît pas le rendement de la concurrence et n’a donc pas d’attente vis-à-vis de son
64
Xavier Brugirard
rendement (pas de TA), ou alors qu’elle ne connaît pas le rendement de son propre contrat (nous
l’avons vu, ce comportement se retrouve généralement chez les « petits épargnants »).
Un comportement analogue peut être également observé lorsque le taux servi est supérieur au
taux de la concurrence : les assurés auraient tendance à moins racheter leur assurance vie et donc le
coefficient RD (correspondant à la composante dynamique des rachats) sera négatif. Le Rachat total à
appliquer serait donc inférieur au rachat structurel calculé.
Pour se faire une idée des lois existantes sur le marché, une étude Milliman décrit les lois
construites dans plusieurs entités:

« Standard BNPPA »

Quatre lois d’Assureurs traditionnels

Trois lois de Bancassureurs

La loi ACAM / ACP proposée pour le QIS 5
Assureur
BNPPA
Asureur Traditionnel 1
Paramétrage des lois de rachats conjoncturels
Valeur maximale
Seuil de
Ecart de taux de
des rachats
Déclenchement
référence
(R-TA)
170bps –
RD : 25%
300bps
Rachats structurels
100bps
+ RD : 10%
Taux cible(N-1) – Rachats structurels
100bps
Taux servi(N-1)
+ RD : 25%
Pente
4-7
5
5
RD : 15%
25bps
20
RD : 30%
50bps
3
RD : 80%
100bps
5
RD : 8% - 15%
50bps - 100bps
3.5 – 5
RD : 30%
100bps
7.5
RD : 40% (20%)
0bps (200bps)
10 (5)
Bancassureur 1
Bancassureur 2
Bancassureur 3
ACAM / ACP Max (Min)
Taux cible(N) –
Taux servi(N-1)
Taux 10 ans(N-1) –
Taux servi(N-1)
Taux cible(N-1) –
Taux servi(N-1)
Figure 22 : Benchmark Milliman de lois de rachats dynamiques (1bps = 0,01%)
Ici n’est définie que la partie « positive » des rachats dynamiques. Nous observons que les lois
de rachats sont différentes d’une entreprise à l’autre. Ceci est dû au fait que chacune d’elle calibre ses
lois en fonction des spécificités de son portefeuille de clients.
I.2 Application à notre étude
En théorie, la loi proposée par le QIS 5 est très cohérente puisqu’elle correspond bien à un
comportement dynamique des assurés. Cependant, fin 2011, pour un encours assez stable par rapport
à 2010, nous avons observé une augmentation annuelle des rachats en montant jusqu'à 270% (voir la
65
Xavier Brugirard
Figure 3, semaine 37, de l’étude quantitative des rachats de la partie 1). Des rachats dynamiques se
sont par conséquent probablement produits.
Pourtant, la loi de rachats dynamiques basée sur un écart de taux utilisée actuellement chez
BNP Paribas Cardif ne s’est pas activée. Le seuil de déclenchement (β) fixé à 1,7% pour les assurés de
moins de 70 ans n’a pas été atteint.
Ainsi, pour éviter de surévaluer les rachats, l’équipe en charge de calculer annuellement le taux de
rachats structurels pour l’ensemble des portefeuilles de Cardif en France a préconisé de garder la loi de
2010 pour 2012. Enfin, personne n’a pu observer le comportement des assurés en période extrême où
l’écart de taux est très important, ce qui discrédite l’utilisation d’une telle loi de rachats dynamiques
Ce constat a déclenché le besoin pour Cardif de modifier sa loi de rachats dynamiques qui ne
serait alors plus basée sur l’écart de taux entre leur contrat et la concurrence. L’idée est d’étudier le
comportement des assurés par rapport à la santé des marchés financiers et donc par exemple le niveau
du CAC 40, qui est l’indice de référence du marché français.
Dans notre étude, nous avons considéré que le marché est une chaîne de Markov à 3 étapes :

Un régime dit de « croisière », lors duquel les marchés financiers se portent assez bien,

Un régime de « croissance » où les marchés se portent bien et où on observe de la
croissance,

Un régime de « crise » lorsque les indices boursiers sont en récession, et que les
marchés sont en perte pendant plusieurs mois.
Par précaution, nous n’avons construit que la partie droite de la loi de rachats dynamiques,
c'est-à-dire la partie pour laquelle les rachats dynamiques augmentent les rachats structurels. En effet,
prendre l’hypothèse que les gens rachètent moins lorsque le marché est en croissance est dangereux
et pourrait mettre l’assureur en position difficile pour payer ses engagements en cas de projection trop
optimiste. C’est pourquoi nous avons choisi d’aplatir la courbe de rachats dynamiques à gauche, et
donc prendre
.
Nous souhaitons étudier le passage entre un état dans lequel nous ne sommes pas en crise
(croisière ou croissance) vers un état de crise (et inversement). Nous allons pour cela définir un seuil,
qui permettra de définir à quel moment nous sommes en crise. Cette question soulève deux questions
sous-jacentes :

Quelles sont les périodes de crises sur l’historique disponible (2007 à 2012) ?

A partir de quel(s) indicateur(s) allons-nous nous baser pour fixer ce seuil ?
Remarque : Si la réponse à la seconde question est délicate et fera l’objet d’un chapitre (Partie 4, II), la
réponse à la première question en revanche a été donnée un peu plus tôt dans le mémoire (Partie 3,
II.4). Nous avons en effet déjà déterminé de façon précise quelles ont été les périodes de crise les plus
importantes entre 2007 et début 2012.
Compte-tenu des données disponibles, nous proposons de construire six lois de rachats
dynamiques en fonction des différents portefeuilles :

Pour le portefeuille tout entier : rachats partiels en montants et totaux en nombre.

Pour « BPF » (Banque Privée France) : rachats partiels en montants et totaux en nombre.

Pour le « Retail » : rachats partiels en montants et totaux en nombre.
66
Xavier Brugirard
Les lois de rachats dynamiques sont construites autour d’une variable spécifique (notons VS) et
ont toutes la forme suivante :
(
)
Pour une variable spécifique (VS) ayant une corrélation négative avec les rachats.
Les étapes de construction de chacune de ces six lois sont :
1. Déterminer la variable illustrant le mieux le comportement dynamique des assurés et sur
laquelle la loi sera construite.
2. Déterminer le seuil β de cette variable à partir duquel les rachats dynamiques vont se
déclencher.
3. Déterminer le taux de rachats maximum
.
4. Déterminer la pente de la droite entre β et α.
RD
Graphiquement, les six lois sont représentées dans la figure ci-dessous.
Variable
à déterminer (VS)
Figure 23 : Forme des fonctions dynamiques que nous allons construire
II. Choix des variables descriptives
Il existe plusieurs variables possibles illustrant le comportement des assurés vis-à-vis des
marchés financiers. Ces variables ont été étudiées et sélectionnées dans la partie 3 :

Variables représentant le marché action : trois calculs de la volatilité du CAC 40. Ces trois
variables sont également étudiées avec un décalage d’un mois, les assurés pouvant réagir un
mois après un évènement sur le marché.
o
Volatilité par la première méthode (Vol 1)
o
Volatilité de Parkinson (Vol P)
o
Volatilité de German et Klass (Vol GK)
67
Xavier Brugirard

Variable reflétant le marché obligataire : La cotation de « BBB-AAA ».

Deux indicateurs macroéconomiques reflétant directement le comportement des assurés :
o
L’indice de confiance des ménages en France (« Confiance ménages »)
o
L’indice de confiance des industries de production en France (« industries »)
II.1 Sélection des variables les mieux corrélées
Pour chacune des six lois de rachats dynamiques, il faut déterminer la variable la mieux
corrélée au taux correspondant. Cette variable sera le meilleur reflet du comportement dynamique à
venir des assurés. Nous calculons donc la corrélation de Pearson (et le R²) pour chaque variable et
chaque taux.
En effet, la covariance permet de quantifier la liaison entre deux variables qualitatives X et Y.
Elle met en évidence le sens de la liaison et l’intensité de celle-ci. Pour cela, elle mesure la tendance
des deux variables à être simultanément au-dessus ou en-dessous de leur espérance respective. Le
coefficient de corrélation de Pearson est une normalisation de la covariance par le produit des écartstype des variables.
(
√ ( )
)
(
)
( )
Notons tx_rp_mt le taux de rachats partiels en montant et tx_rt_nb le taux de rachats totaux en
nombre. Le tableau suivant regroupe les covariances obtenues pour les six taux de rachats et les neuf
variables étudiées :
Covariances
tx_rp_mt
Tout
Portefeuille tx_rt_nb
tx_rp_mt
BPF
tx_rt_nb
tx_rp_mt
Retail
tx_rt_nb
Vol 1
Vol
P
31% 33%
14% 21%
24% 24%
-27% -26%
32% 37%
14% 20%
Vol
GK
33%
23%
23%
-25%
38%
22%
Vol 1
décalée
45%
6%
41%
-29%
40%
5%
Vol P
Vol GK
décalée décalée
40%
8%
37%
-28%
36%
6%
38%
8%
35%
-27%
34%
6%
BBBAAA
19%
37%
10%
-16%
23%
35%
Confiance
Industrie
Ménages
-42%
-17%
-35%
46%
-50%
-14%
-13%
-9%
-13%
36%
-11%
-9%
Figure 24 : Covariances des variables par rapport aux taux de rachats
Nous remarquons tout d’abord que le comportement des assurés ayant signé la convention
« BPF » est différent de celui de « Retail », ceci vient confirmer l’hypothèse de départ qui consiste à
séparer les deux populations. Prenons par exemple la confiance des ménages. Le taux de rachats
totaux en nombre pour « BPF » est fortement corrélé positivement à la confiance des ménages. A
l’inverse, le taux de rachats partiels en montant pour « Retail » est fortement corrélé négativement à la
confiance des ménages.
Ceci trouve son explication dans le conseil apporté aux assurés. Moins les épargnants de
« Retail » sont confiants et plus ils vont vider leur épargne. Cette décision de rachat est généralement
68
Xavier Brugirard
contre-indiquée par les conseillers « BPF » puisqu’elle correspond à une cristallisation des moinsvalues sur les contrats en unités de compte.
Le tableau précédent nous permet de choisir la variable que nous utiliserons pour illustrer les
rachats dynamiques des six catégories que nous avons définies. Ces informations sont résumées cidessous:
Tout Portefeuille
BPF
Retail
Variable la plus descriptive
Covariance
Vol 1 décalée CAC4
BBB-AAA
Vol 1 décalée CAC40
Confiance Ménages
Confiance Ménages
BBB-AAA
45%
37%
41%
46%
-50%
35%
tx_rp_mt
tx_rt_nb
tx_rp_mt
tx_rt_nb
tx_rp_mt
tx_rt_nb
Figure 25 : Variables sélectionnées pour chacun des taux de rachats dynamiques à modéliser.
Nous remarquons que les lois dynamiques basées sur la confiance des ménages ou la Volatilité
(1) du CAC 40 seront, a priori, de meilleure qualité que les deux lois basées sur la cotation de « BBBAAA », pour lesquelles la corrélation (covariance) est moins élevée en valeur absolue.
II.2 Validation de la sélection (Test de Student)
Il est nécessaire de tester la significativité de la corrélation de Pearson par un test de Student
pour valider l’hypothèse selon laquelle les variables sont corrélées significativement. Le test consiste à
vérifier si l’hypothèse H0 « le coefficient de corrélation (noté R) est égal à 0 » n’est pas rejetée. Notons
que nous souhaitons un rejet du test, ce qui validerait l’hypothèse selon laquelle le coefficient de
corrélation est significativement différent de 0.
Ce test s’écrit de la façon suivante :
H0 : R = 0
et
H1 : R ≠ 0
Où :
H0 et H1 les hypothèses
R le coefficient de corrélation entre la variable macroéconomique et le taux de rachats modélisé.
Considérons donc la statistique de test sous H0 suivante :
| |
√
√
√
√
Cette statistique suit une loi de Student à (n-2) degrés de liberté. Donc la région critique du test au
risque α s’écrit :
| |
(
69
)
Où
(
Xavier Brugirard
) est le quantile d’ordre
de la loi de Student à (n-2) degrés de liberté. Ce test est un
test bilatéral (puisque l’on teste l’égalité de r à une valeur). Nous avons effectué un test au risque de α =
5%. Il faut donc lire dans la table les valeurs à α = 2,5%, la loi étant symétrique.
Nous avons effectué ce test sur les corrélations de tout l’historique mais aussi sur un historique
tronqué des premiers mois. Nous n’avons conservé que la corrélation maximale pour laquelle le test est
rejeté (et donc la corrélation pour laquelle l’hypothèse H1 n’est pas rejetée), et ceci pour chacune des
variables sélectionnées. Incluons dans le tableau les dates pour lesquelles la corrélation est la mieux
adaptée :
Portefeuille entier
BPF
Retail
Rachats totaux
Rachats totaux
Rachats partiels
Rachats partiels
Rachats partiels
Rachats totaux
en nombre et
en nombre
en montant et
en montant et
en montant et
en nombre et
cotation BBBConfiance des
Confiance des
Volatilité (1)
Volatilité (1)
BBB-AAA
AAA
ménages
Ménages
74,7%
65,3%
76,7%
45,5%
-66,4%
65,3%
Janvier 2010 à
Septembre 2008 Janvier 2010 à
Février 2007 à
Septembre 2009 Janvier 2009 à
2012
à 2012
2012
2012
à 2012
2012
Figure 26 : Covariances maximales (acceptées par le test) des variables par rapport aux taux de rachats
L'hypothèse de nullité du coefficient de corrélation est rejetée pour toutes les variables hormis
les rachats totaux en nombre de « BPF » (le test est rejeté dès que l’on tronque 4 mois, ceci est trop
instable). Nous n’allons donc pas modéliser la loi de rachats dynamiques en nombre pour le portefeuille
« BPF » et conserver la loi existante chez BNP Paribas Cardif.
III. Construction du seuil d’activation β
La seconde étape dans la construction de la loi de rachats dynamiques est de déterminer le
seuil à partir duquel nous sommes en « crise ». Nous avons déjà déterminé, pour chacun des cinq taux
étudiés, la meilleure variable reflétant le comportement des assurés vis-à-vis de la santé des marchés
financiers à une date t. Nous souhaitons maintenant trouver une méthode qui permette de définir, à
partir de ces variables, à quel moment nous sommes en crise.
Pour mémoire, sur l’historique, la loi de rachat dynamique proposée dans le QIS5 ne s’active
jamais. Il est donc important de fixer un seuil plus représentatif de la situation observée.
III.1
Les courbes ROC
La méthode des courbes ROC (Receiver Operating Characteristic Curve) est utilisée en
biostatistique. La courbe ROC (ou courbe sensibilité/spécificité) est une mesure de la performance d’un
classificateur binaire. Dans le domaine médical, ces courbes sont utilisées pour déterminer puis
70
Xavier Brugirard
comparer les performances diagnostiques de plusieurs tests. Elles sont aussi utilisées pour déterminer
le meilleur seuil d’un test épidémiologique ou médico-économique.
Dans notre cas, le seuil définit le passage d’un régime de croisière à un régime de crise et est
déterminé à partir des variables exogènes sélectionnées plus haut (Partie 4, second tableau du chapitre
II.II.1.) :

La volatilité décalée d’un mois et calculée par la méthode 1

La confiance des ménages

La cotation de « BBB-AAA »
Les six lois se basant seulement sur les variations de trois variables distinctes, nous ne
définissons que trois seuils différents : un par variable considérée et indépendamment des rachats
observés sur la même période. Les chapitres suivants expliquent la méthode utilisée en prenant
l’exemple de la volatilité du CAC 40. Par la suite, ce sont les variables sélectionnées pour chacune des
lois qui seront utilisées.
III.1.1 Construction du
(Sensibilité, Spécificité)
tableau
de
Probabilités
La représentation graphique ROC donne :

le taux de « vrai positif » appelé la sensibilité, c’est-à-dire la proportion de positifs qui sont
détectés correctement

en fonction du taux de « faux positif » qui correspond à (1-Spécificité), c’est-à-dire la proportion
de négatifs qui sont détectés de façon incorrecte par le test
Notons :



β le seuil
l’évènement « crise financière »
̅ l’évènement « régime stable, hors crise ou croissance économique »
Nous définissons la sensibilité d’un seuil comme étant la probabilité conditionnelle que la volatilité du
CAC 40 soit supérieure au seuil sachant que nous sommes effectivement en crise.
(
é
| )
De même nous définissons la spécificité d’un seuil par la probabilité que la volatilité soit inférieure au
seuil sachant que nous ne sommes pas en crise.
é
é
(
| ̅)
Pour un seuil tel que le test discrimine parfaitement les situations de crise et de non-crise, nous
obtenons Sensibilité = Spécificité = 1.
Ces deux paramètres ont pourtant un comportement opposé lorsque l’on fait varier le niveau du
seuil. En effet si l’on augmente le seuil de 5% à 6% par exemple, toutes les volatilités comprises entre
5% et 6% augmenteront la probabilité d’être sous le seuil (
| ̅ ), à savoir la spécificité, à
l’inverse la sensibilité, ou la probabilité d’être au-dessus du seuil (
| ) diminuera.
71
Xavier Brugirard
L’objectif est de déterminer un seuil qui permette de détecter de façon efficace une période de
crise dès que la volatilité est au dessus de ce seuil.
III.1.2
Calcul des sensibilités et des spécificités
Dans la pratique, la perte de confiance de la population envers les marchés se traduit par une
forte volatilité de ceux-ci. Il est difficile de déterminer à quel moment nous sommes « officiellement » en
période de crise. Cependant, nous observons un caractère dynamique sur les rachats et avons donc
besoin de définir un critère calibré historiquement qui permette de définir les périodes de crise.
Nous utilisons la définition des crises sur la période 2007 à 2012 faite plus haut (Partie 3, II.4).
Le graphe ci-dessous rappelle le nombre de périodes de crise observées :
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Figure 27: Chronologie des périodes de crise financière (en violet) depuis 2007 jusqu'à début 2012 par mois
L’idée est de définir la probabilité d’être en crise sachant que la volatilité des marchés est
supérieure à un seuil β. Notons :

VPP ou valeur prédictive positive de l’évènement « crise » sachant un seuil β, est la
probabilité d’être en crise sachant que la volatilité est au-dessus du seuil β.
( |
)

VPN ou valeur prédictive négative est la probabilité conditionnelle de ne pas être en
crise, sachant que la volatilité est inférieure au seuil .
( ̅|
)
Comme la sensibilité et la spécificité, ces deux indicateurs varient en sens inverse.

Prévalence qui est la probabilité d’être en crise.
( )
En utilisant le théorème de Bayes, nous obtenons :
( |
)
(
( )
(
(
| )
(
| ) ( )
( )
)(
( ))
( )
| ̅)
(
( ̅)
| ̅)
( ̅)
| ̅)
( ̅)
Et
( ̅|
(
)
(
| )
(
(
)
( )
( ))
( )
72
( ̅)
Xavier Brugirard
Le but de cette étude est de maximiser la probabilité d’être effectivement en crise lorsque la
volatilité est au-dessus du seuil (ainsi que de ne pas être en crise si la volatilité est sous le seuil). Nous
souhaitons donc maximiser VPP et VPN. Ne pouvant pas travailler directement avec ces probabilités,
nous utiliserons la Sensibilité et la Spécificité. L’observation de ces formules permet de conclure que
l’on doit avoir une Sensibilité et une Spécificité aussi proche de 1 que possible.
III.1.3
Construction de la courbe ROC
En termes d’observation, voici la formule de la Sensibilité et de la Spécificité. La variable C
correspond à la définition des crises que nous avons définies. Ainsi :
(
(
| )
)
( )
(
)
(
)
é
é
et
̅)
(
| ̅)
(
( ̅)
é
Ces formules sont résumées dans le tableau ci-dessous :
Crise
Probabilités
En crise
Pas en crise
Seuil de volatilité
Vol_CAC > Seuil (β)
Vol_CAC < Seuil (β)
é
(
1-Sensibilité
| )
1-Spécificité
é
é
(
| ̅)
Figure 28 : Résumé des formules utilisées pour les courbes ROC
La courbe ROC donne la sensibilité en fonction de 1-Spécificité. Si l’on trace l’ensemble de ses
coordonnées avec suffisamment d’observations, la courbe est continue. Cette courbe permet de
déterminer le meilleur seuil de volatilité. Dans l’idéal, il faudrait obtenir une sensibilité et une spécificité
de 1.
73
Xavier Brugirard
La figure suivante, extraite du site de la faculté de médecine de l’Université Pierre et Marie
Curie, donne un exemple de trois courbes ROC.
Figure 29 : Exemples de trois courbes ROC
La courbe ROC possède certaines propriétés dont :

Les points (0, 0) et (1, 1) appartiennent toujours à la courbe ROC

Le point (1-Sp, Se) = (0,1) correspond à un « détecteur parfait » et donc à un seuil
parfait

La courbe ROC est au-dessus de la diagonale (sous certaines hypothèses)

La pente de la courbe ROC correspond au rapport de vraisemblance

L’aire sous la courbe ROC est appelée AUC (area under curve) : plus celle-ci est
importante, meilleure est la qualité de la courbe.
Dans la réalité, aucune courbe ROC ne passe par le point (0,1). Notre seuil sera la volatilité (ou
tout autre variable macroéconomique étudiée) qui correspond au point le plus proche de (0,1). Par
exemple sur la figure, chacune des courbes A, B et C représente une qualité différente appelée score
de classification. La courbe C possède les points les plus proches du point (1-Sp, Se) = (0,1) et
possède donc un seuil de meilleure qualité que les deux autres courbes.
III.1.4
Mise en œuvre
A partir de l’historique des périodes de graves crises financières, nous avons construit les trois
courbes ROC correspondant aux trois variables sélectionnées (courbes à gauche). La courbe de droite
représente la distance au point (0,1) de chacune d’elles. En rouge est indiqué le point le plus proche de
(0,1) et donc celui correspondant au seuil de la variable concernée.
74
Xavier Brugirard
90%
0,9
Distance à (0,1)
1,0
Sensibilité
100%
80%
70%
60%
0,8
0,7
0,6
0,5
50%
0,4
40%
0,3
0%
50%
1- Spécificité
10%
100%
30%
50%
70%
Volatilité 1
Figure 30 : Courbe ROC de la Volatilité 1 annualisée et distance des points à (1-Sp, Se) = (0,1).
100%
1,0
90%
0,9
0,8
Sensibilité
Distance à (0,1)
80%
70%
60%
0,7
0,6
0,5
50%
0,4
40%
0,3
0%
20%
40%
60%
1- Spécificité
80%
78
100%
88
98
Confiance des ménages
108
Figure 31 : Courbe ROC de la Confiance des ménages et distance des points à (1-Sp, Se) = (0,1).
100%
1,0
90%
0,9
Distance à (0,1)
Sensibilité
80%
70%
60%
0,8
0,7
0,6
0,5
50%
0,4
0,3
40%
0%
20%
40%
60%
1- Spécificité
80%
0,5
100%
1,5
2,5
"BBB-AAA"
Figure 32 : Courbe ROC de la « BBB-AAA » et distance des points à (1-Sp, Se) = (0,1).
75
3,5
Xavier Brugirard
Les seuils obtenus sont résumés dans le tableau ci-dessous :
Variable
Seuil
Volatilité 1
« BBB-AAA »
30,35%
85,9
85,50%
Figure 33 : Seuil obtenu par la méthode de ROC pour trois variables.
Le graphe ci-dessous donne les zones de crises définies par le seuil de ROC pour chacune des
variables.
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Figure 34 : Historique des crises définies et détectées par la méthode de Shewhart pour trois variables
Nous analyserons ces résultats dans la suite du mémoire en les comparants aux autres
méthodes développées.
Cette méthode est bien adaptée aux observations du portefeuille, mais l’incertitude liée aux
marchés est telle qu’il est quasi impossible de dire si, à l’avenir, les indicateurs que nous avons choisis
se comporteront de la même façon face aux crises. C’est le danger de toute loi dynamique : la loi
développée dans ce mémoire, au même titre que la loi proposée par le QIS5, n’y échappe pas. Il est
important d’en être conscient. Pour minimiser cet effet, il est important de calibrer chaque année la loi et
de mener une étude a posteriori de ces seuils pour vérifier s’ils sont suffisamment robustes.
La partie suivante propose une nouvelle définition du seuil qui éliminera le biais lié à la
définition des périodes de crises notamment.
III.2
Autres méthodes de calibration du seuil
Plusieurs méthodes permettent de déterminer un seuil sans se servir de l’historique des crises
observées. L’hypothèse principale de cette partie est que le marché s’adapte très vite à une nouvelle
situation. Nous supposons en effet que tout changement sur les marchés financiers, même important,
est absorbé après un an : c’est l’hypothèse adoptée par l’ingénierie financière. En termes de
comportement, ceci signifie que les assurés mettent un an pour s’habituer et accepter une modification
des marchés et qu’il n’est donc pas question de comparer les comportements des assurés début 2007
et début 2012.
76
Xavier Brugirard
Les méthodes présentées dans cette partie s’appliquent en épidémiologie et en contrôle de
qualité industrielle. Les sujets semblent assez différents et pourtant, il existe des similitudes.
III.2.1
Les diagrammes de Shewhart
Tout d’abord, nous allons développer une méthode de détection des « épidémies » appliquée à
des séries chronologiques : les « diagrammes de Shewhart » (1963). Considérons que la série S de
données que nous étudions (Volatilité du CAC, confiance des ménages et « BBB-AAA ») est
) lorsque le processus est sous contrôle, c'est-à-dire lorsque nous ne
normalement distribuée (
sommes pas en crise ou en période de forte croissance économique. Nous allons observer la valeur de
|
et déclarerons que nous sommes en crise lorsque |
pour une valeur spécifique de k.
Généralement k=3.
Le seuil d’alerte est donc
ou
suivant que la limite cherchée est haute
ou basse
Cette méthode est ensuite généralisée au cas où μ et σ varient au cours du temps. Ils sont
alors estimés grâce aux données. En plus, la distribution de
peut ne pas être normale, ce qui est
notre cas (validé par un test sur R).
Comme énoncé en introduction de cette partie, nous prenons l’hypothèse que les marchés
s’adaptent en un an. Nous calculons donc une moyenne et une variance glissante sur 12 mois et en
déduisons un seuil mensuel pour chacune des variables. Ce seuil ne prend pas en compte l’historique
des crises. Plus nous resterons dans une période stable plus une crise se déclenchera rapidement
(dépasser le seuil sera « facile ») tandis que lorsque nous avons vécu une période de crise, il sera un
peu plus long d’en sortir.
Observons graphiquement mensuellement les périodes pendant lesquelles le seuil est atteint
par rapport à la définition des crises que nous avions donnée à partir de l’historique. Cette observation
permettra de tester a posteriori la qualité de nos variables pour détecter une période de crise. Ainsi :

En vert, la définition des crises que nous avons donnée dans la partie 3.

En bleu, les mois pendant lesquels la Volatilité (1) dépasse le seuil calculé par la méthode de
Shewhart.

En violet, les mois pendant lesquels la « confiance des ménages » dépasse le seuil calculé par
la méthode de Shewhart. Pour faire cela, nous avons dû diviser la valeur de la confiance des
ménages par 100.

En rouge, les mois pendant lesquels la cotation « BBB-AAA » dépasse le seuil calculé par la
méthode de Shewhart.
77
Xavier Brugirard
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Figure 35 : Historique des crises définies et détectés par la méthode de Shewhart pour trois variables
La première observation que nous pouvons faire est que la définition des crises de la partie 3
est très proche des périodes pendant lesquelles la volatilité décalé dépasse le seuil de Shewhart.
Ensuite, de façon générale, les périodes d’alerte sont assez proches de celles trouvées par la méthode
de ROC avec tout de même un décalage vers la gauche.
En revanche, si l’on n’observe que la différence « BBB-AAA », nous constatons qu’elle n’alerte
pas suffisamment tôt ni longtemps la crise entre Aout 2008 et Avril 2009. Cette période correspond
pourtant au pire de la crise de ces cinq dernières années, lorsque les bourses mondiales s’effondrent et
Lehmann Brothers dépose le bilan. En dehors de cette période, nous pouvons considérer que cette
méthode est assez proche.
Enfin, la confiance des ménages est assez proche des valeurs que nous avons définies. Hormis
début 2011, où les ménages ont ressenti une période de crise alors que nous ne l’avons pas ressenti
comme tel.
La définition que nous avions donnée des crises était générale et avec une vision mondiale.
Cette définition n’est pas forcément adaptée aux indicateurs macroéconomiques que nous étudions.
Nous améliorons donc la qualité de nos lois dynamiques en prenant cette nouvelle définition du seuil.
III.2.2
La carte de contrôle
Dans le domaine de contrôle de qualité cette fois, nous allons nous servir de la « carte de
contrôle ». La carte de contrôle est une méthode utilisée pour maîtriser les procédés de fabrication
statistiquement. Elle permet de déterminer un seuil à partir duquel un défaut risque d’entraîner des
erreurs sur la fabrication de pièces futures. Une fois le seuil franchi, la production doit être arrêtée pour
un réajustement des machines. Généralement, on parle de « carte de contrôle par mesure de la
moyenne et de l’étendue ». Ces cartes se basent en effet sur la moyenne ̅ et l’écart type
d’une
distribution.
La carte de contrôle a donc pour but de déterminer à quel moment un événement rare se
produit suffisamment souvent pour que nous puissions considérer que la machine ne fonctionne plus de
façon correcte. Dans notre cas, si les variables sortent d’une fourchette à définir, nous considérerons
que nous sommes en crise. Généralement, cet outil se représente sous forme d’un graphique sur lequel
on trace la moyenne, la limite de contrôle inférieure (LCI) et la limite de contrôle supérieure (LCS).
78
Xavier Brugirard
Lorsque l’écart type
et la moyenne ̅ des n observations sont connus, nous pouvons calculer
les limites (ou seuils) de la façon suivante :
̅
√
̅
√
Rappelons que nous avons pris l’hypothèse que les marchés s’adaptaient en une année. Nous
devons donc, mensuellement, calculer une limite supérieure (ou inférieure suivant la variable
considérée) en fonction des 12 mois précédents. Cette limite est équivalente à la notion de seuil que
nous avons défini tout au long de cette partie, à ceci près qu’elle varie tous les mois en fonction des
valeurs passées.
De la même façon (et avec le même code couleur) que pour les « diagrammes de Shewhart »
nous observons graphiquement les périodes de crises détectées par la carte de contrôle.
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Figure 36 : Historique des crises définies et détectés par la méthode des
« cartes de contrôle » pour trois variables
La Volatilité du CAC 40 et la confiance des ménages se comportent de la même façon qu’avec
la méthode de Shewhart. En revanche, le seuil de la cotation de « BBB-AAA » est atteint plus souvent
et la crise d’août 2008 à avril 2009 est moins sous-évaluée par rapport à notre définition a priori des
crises.
Nous pouvons donc utiliser la méthode des « cartes de contrôle » par rapport aux Diagrammes
de Shewhart puisqu’elle alerte plus souvent et est de meilleure qualité lorsque la crise est la plus
importante. Utiliser ce seuil sera donc plus prudent qu’utiliser les « diagrammes de Shewhart » pour la
détection des états de crise. Cette méthode alternative aux courbes de ROC est mieux adaptée à notre
problème.
Nous pouvons trouver une nouvelle définition des crises en fonction de l’intersection de ces
critères puis relancer l’étude sur les courbes ROC. Cependant, ce travail n’apporterait pas énormément
étant donné que les courbes ROC restent trop dépendantes de la définition des crises que nous
donnons à l’historique.
Notons qu’il est aussi possible d’utiliser les « diagramme de CUMSUM » pour définir un seuil de
façon efficace.
79
Xavier Brugirard
IV. Détermination de la pente entre β et α
Avant de définir la pente entre β et α, nous allons définir α. Ce point correspond à la limite audelà de laquelle les rachats dynamiques n’évoluent plus. Lorsque la variable considérée dépasse ce
seuil, les rachats dynamiques n’évolueront plus et resteront donc constants et égaux à
, c'est-àdire que la proportion d’assurés étant influençable par la variable macroéconomique n’augmentera pas.
Pour déterminer ce seuil, nous procédons de la même façon que dans la loi dynamique proposée par le
QIS 5 : nous prenons un seuil α égal à k fois le maximum des valeurs observées sur l’historique. Nous
prendrons k=4 pour la Volatilité (1) et « BBB-AAA » puis k=1/4 pour la confiance des ménages puisque
c’est ce qui est utilisé chez BNP Paribas Cardif. Ces valeurs semblent réalisables mais avec une très
faible probabilité. La difficulté de définir ce point vient du fait qu’aucune observation n’existe.
Variable
Volatilité 1 (décalée)
Confiance Ménages
BBB-AAA
α
262,9%
26,76
14,91
Figure 37 : Valeurs de α pour les 3 variables étudiées.
Pour déterminer la pente entre β et α, nous avons effectué une régression entre le taux de
rachat et la variable explicative. Cette régression est faite sur l’ensemble puis sur les données
supérieures à la moyenne des taux. Nous avons ensuite choisi la pente max pour chacune des 10
régressions, pour être le plus prudent possible.
Illustrons ceci avec les deux régressions obtenues pour l’approximation de la pente de la loi
dynamique des rachats partiels en montant de « BPF ».
18,0%
18,0%
16,0%
16,0%
14,0%
14,0%
12,0%
12,0%
y = 0,1184x + 0,0482
10,0%
10,0%
8,0%
8,0%
y = 0,0845x + 0,035
6,0%
6,0%
4,0%
4,0%
2,0%
2,0%
0,0%
0,0%
0%
20%
Série1
40%
60%
0%
80%
20%
Série1
Linéaire (Série1)
40%
60%
Linéaire (Série1)
Figure 38 : Régressions du taux de rachat partiel (pour « BPF ») en fonction de la volatilité (1) mensuelle du
CAC 40. A gauche pour les taux au dessus de la moyenne, à droite pour tous les taux.
80
80%
Xavier Brugirard
Dans cet exemple, les valeurs tronquées donnent une pente plus importante, nous choisissons
donc une pente entre β et α de 11,84% pour ce taux. Voici les pentes obtenues pour chacune des cinq
lois dynamiques.
Tout le portefeuille
BPF
Retail
Taux de rachat
partiel en montant
8,29%
11,84%
-0,13%
Taux de rachat
total en nombre
0,70%
0,11
0,76%
Figure 39 : Tableau récapitulatif de la pente des lois de rachats dynamiques.
V. Lois de rachats dynamiques obtenues
Nous avons tous les éléments pour construire les 5 lois de rachats dynamiques. Pour une
variable macroéconomique V, la formule de cette loi est la suivante :
( )
Les rachats globaux (RG, total ou partiel) sont modélisés de la façon suivante :
Où RS sont les rachats structurels.
Voici graphiquement les lois de rachats dynamiques (RD) obtenues avec le seuil calculé par la
méthode de ROC, ainsi que le tableau des valeurs des paramètres associés.
Tout le
Portefeuille
BPF
Retail
Courbe de
rachats
dynamiques
Rachats partiels
en montant
Rachats totaux
en nombre
Rachats partiels
en montant
Rachats totaux
en nombre
Rachats partiels
en montant
Rachats totaux
en nombre
Variable
descriptive
α
β
RCmax
Vol CAC 40
262,9%
30,35%
19,3%
BBB-AAA
14,91
0,855
9,9%
Vol CAC 40
262,9%
30,35%
27,5%
Conf. Ménages
26,76
85,9
0%
Conf. Ménages
19,62
85,9
8,9%
BBB-AAA
14,91
0,855
10,7%
Figure 40 : Récapitulatif des paramètres des lois de rachats dynamiques construites
81
Xavier Brugirard
30%
25%
RD
20%
15%
10%
5%
Volatilité CAC 40 (1)
0%
0%
50% 100% 150% 200% 250% 300% 350%
Rachats partiels dynamiques en montant (Portefeuille)
Rachats partiels dynamiques en montant (BPF)
Figure 41 : Rachats partiels dynamiques en montant pour tout le Portefeuille et pour « BPF ».
12%
10%
RD
8%
6%
4%
2%
BBB-AAA
0%
0
5
10
15
20
25
Rachats Totaux dynamiques en nombre (Portefeuille)
Rachats Totaux dynamiques en nombre (Retail)
Figure 42 : Rachats totaux dynamiques en nombre pour tout le Portefeuille et Retail
10%
8%
RD
6%
4%
2%
100
0%
50
0
Rachats partiels dynamiques en montant (Retail)
Figure 43 : Rachats partiels dynamiques en montant pour « Retail ».
82
Xavier Brugirard
PARTIE 5 : Valorisation de l’impact
financier de la loi de rachats dynamiques
L’objectif de cette partie est d’étudier l’impact financier de la loi de rachats dynamiques. Pour
cela, nous allons décrire précisément l’outil utilisé pour cette étude ainsi que les résultats obtenus à
partir des lois de rachats dynamiques que nous avons définies dans la partie 4.
I. Objectifs et notions importantes
BNP Paribas Cardif utilise actuellement un modèle basé sur la formule standard. Les lois
utilisées dans ce modèle sont propres à Cardif, on parle également de modèle de projection. Le modèle
de projection de Cardif est codé sous le progiciel « Prophet ». La loi de rachats dynamiques
actuellement paramétrée dans le modèle a la forme de la loi standard proposée dans le QIS5 mais ne
possédant pas les mêmes paramètres que cette loi, il est nécessaire d’adapter le modèle.
Pour des raisons de commodité, nous utiliserons un modèle de projection, sous Excel,
répliquant le portefeuille épargne de BNP Paribas Cardif. Ce modèle est utilisé pour les « Business
plan », c'est-à-dire pour anticiper la rentabilité d’un produit sur le long terme. Pour cela, l’outil va projeter
sur plusieurs années :

Le bilan en normes comptables sous Solvabilité I (voir Partie 1)

Le bilan prudentiel sous Solvabilité II
La plupart des contrats d’assurance vie commercialisés contiennent des options et garanties
financières accordées aux assurés. Les rachats font partie de ces options. Pour valoriser le coût des
options et garanties financières, nous pouvons utiliser la méthodologie Embedded Value. Cette notion
n’est pas une notion règlementaire de Solvabilité II mais une notion actuarielle. Elle permet d’observer
l’impact financier d’une telle option (voir [35]).
Pour cela, de façon stochastique, nous calculons des valeurs de la VAN (valeur actuelle nette)
des flux futurs avant et après choc. L’intérêt du stochastique est de faire réagir ou sur-réagir le modèle
dans des situations différentes. En prenant la moyenne de la VAN des coûts liés directement aux
rachats dynamiques, nous nous plaçons dans un monde moyen et trouvons la meilleure approximation
(ou best estimate) du coût de cette option. Cette grandeur est ensuite à comparer à la VAN des coûts
dans un scénario économique moyen correspondant à la moyenne des scénarios étudiés
précédemment (c’est le lien entre les deux grandeurs). La grandeur qui nous permet de déterminer le
prix des options et garanties aussi appelé TVOG (valeur temps des options et garantie).
83
Xavier Brugirard
Le TVOG est donc calculé de la façon suivante :
(
)
Où
- L’équivalent certain (ou PVFP) est la VAN (valeur actuelle nette) des flux futurs du scénario
central déterministe
- Le BEL est l’espérance de la VAN de 1000 scénarios stochastiques en moyenne égaux au
scénario central déterministe de la PVFP. (voir Annexe 2)
Il est nécessaire de préciser que l’outil utilise plusieurs approximations pour calculer des
indicateurs tels que le BEL. Nous décrirons précisément les variables de celui-ci pour aboutir à un
calcul de BEL et donc déterminer le coût de l’option de rachat (et notamment sa composante
dynamique) le plus précisément possible. Nous avons modélisé dans les modèles les risques liés à la
vie humaine et aux marchés financiers. Ces risques sont quantitativement les plus gros risques
rencontrés par l’assureur.
Nous avons travaillé dans le but de manipuler des notions actuarielles, de découvrir le modèle
de BNP Cardif et surtout de mesurer l’impact de nos lois. Pour cela, nous avons calculé une valeur du
BEL en fonction de scénarios économiques stochastiques. Ces scénarios impactent, entre autres, les
variables de nos lois de rachats dynamiques (Volatilité du CAC 40 et cotation BBB-AAA). Ce travail va
donc s’effectuer en plusieurs étapes :

Description et utilisation d’un modèle interne simplifié d’épargne.

Simulations de scénarios économiques pour nos variables et des indicateurs financiers.

Calcul du BEL et détermination de la valeur temps des options et garanties (TVOG).
II. Un modèle simplifié
Pour effectuer notre étude d’impact, nous avons utilisé un outil créé par Cardif appelé « outil
Exposed Amount ». Cet outil réplique le modèle utilisé par Cardif (et codé sous « Prophet ») de façon
très pragmatique pour la partie épargne et est codé sous VBA via Excel.
Nous ne verrons dans cette partie que l’impact des lois construites sur le portefeuille tout entier
1
« BDDF », la distinction « Retail » et « BPF » n’étant pas faite dans le document. Les hypothèses et
paramètres utilisés par la suite sont ceux réellement utilisés par l’équipe Solvabilité II pour tester la
cohérence de leur outil modélisé sous « Prophet ».
1
Pour rappel, la distinction entre « BDDF », « Retail » et « BPF » est donnée dans les parties 2 (II.1.) et 3 (II.1.3.).
84
Xavier Brugirard
II.1 Hypothèses globales
Paramètres généraux
Ne travaillant que sur le portefeuille « BDDF » de BNP Paribas Cardif, nous n’avons utilisé que
er
les lois de rachats dynamiques créées pour celui-ci. Plaçons-nous au 1 janvier 2012 pour effectuer les
projections : la première année de projection sera 2012. Voici les paramètres généraux choisis pour le
modèle :

Un taux d’imposition pour l’assureur de 34,43%

Une taxe ORGANIC, ou C3S pour contribution sociale de solidarité des sociétés, payée par les
compagnies qui réalisent un CA supérieur ou égal à 760 000 euros, égale à 0,16% du chiffre
d’affaire.

Un taux d’actualisation utilisé pour l’actualisation des flux de résultats pour le calcul des taux de
rendement des fonds propres (sous SI et SII avec et sans compter les marges futures). Ce taux
d’actualisation suit la courbe des taux.
Ne cherchant pas à effectuer une gestion actif-passif parfaite, nous avons fixé certaines
variables macroéconomiques à leur valeur centrale, notamment :

La courbe des taux d’inflation,

La courbe des taux zéro coupon (ZC) 1 an au 31/12/2011 : C’est la courbe des taux sans
risque, calibrée sur les prix d’obligations émises par les Etats notés AAA dans l’Union
Européenne.
Caractéristiques Financières
Nous avons utilisé les taux sans risque pour le rendement des actifs. À partir de cette courbe
des taux, nous avons calculé les taux sans risque terme-terme aussi appelés « taux forward » sur un
an, pour le fonds en euros et le fonds en UC. C’est le taux sans risque sur un an qui sera en application
dans k années.
En année
, pour calculer le taux forward sur 1 an, dans 1 an, on se sert de la relation :
(
)) (
(
)) (
(
))
(
) le taux forward un an dans un an.
Avec (
) le taux sans risque de la courbe des taux sans risque à la date
Et (
sur
années.
Et donc :
(
)
(
(
))
(
(
))
Notons que la formule précédente découle de la formule générale :
∑
(
(
∑
))
∏(
(
))
Où
(
) est le taux forward à la date
(
) le taux sans risque de la courbes des taux sans risque à la date
(donc dans
85
années) pour la durée
sur i années.
Xavier Brugirard
Nous définissons ensuite le rendement du fonds en euros et du fonds en UC. Le rendement
d’un fonds est fonction du rendement des actifs présents dans celui-ci et de la composition dudit fonds.
Dans ce modèle, nos calculs vont être menés sous la « probabilité risque neutre ». En risque neutre, le
rendement des actifs est égal à la courbe des taux sans risque. Il est cependant nécessaire de décrire
l’allocation d’actifs pour chacun des deux fonds.
Caractéristiques des contrats
Les contrats étudiés dans cette projection auront une durée de 19 ans au maximum pour une
personne âgée de 55 ans en moyenne. Ceci correspond à la moyenne d’âge des assurés de « BDDF ».
Les coûts
Il existe quatre coûts de gestion à savoir : les coûts d’acquisition, d’administration, de rachats et
le coût des décès. Les coûts d’acquisition ne sont payés qu’une seule fois lors de la souscription d’un
contrat alors que les autres coûts sont payés pendant la durée du contrat. Nous considérerons que les
coûts unitaires (CU) sont indexés sur le taux d’inflation (
pour l’année n).
Pour chacun des coûts, la formule de calcul des coûts unitaires est identique :
(
)
Pour la première année, nous choisissons des coûts unitaires égaux à la moyenne des coûts sur tout le
périmètre « BDDF » : (pour des raisons de confidentialité, ces valeurs ont été changées)
40 €
Coût unitaire de gestion
Coût unitaire d’un rachat
23 €
Coût unitaire d’un sinistre (décès)
175 €
Figure 44 : Coûts unitaires pour 2012
En revanche, la formule des coûts totaux est différente pour :

Les coûts d’acquisition, de rachat et de décès :

Les coûts d’administration
Le total des coûts est donc :
Pour simplifier, nous allons considérer que la première année (2012) est composée uniquement
d’affaires nouvelles. Ces contrats génèrent donc des coûts d’acquisition. Nous subdivisons à parts
égales le coût total entre la partie UC et la partie Euro.
86
Xavier Brugirard
La table de mortalité sélectionnée est la table TH-TF 00-02 décès abattue d’un coefficient qui
permet d’adapter la mortalité aux statistiques observées chez l’assureur et particulièrement sur BDDF
(Banque de détail France).
II.2 Hypothèses propres à l’Épargne
Les Primes et chargements
Les hypothèses retenues concernant les primes et leur allocation correspondent à une
approximation de ce qui est observé chez « BDDF » :

1 500 nouveaux contrats en 2012

40 000 € de versement initial
Sur ce versement initial, l’assureur charge 1,5% au titre des frais de gestion dont 0,80% pour
les frais de gestion du support revenant au partenaire.
Frais et Commissions sur le support en UC
Sur le support en UC, l’assureur charge annuellement 0,96% des PM(UC) à l’assuré. Les
responsables de la gestion des UC chargent 1,12% des PM, mais donnent 70% de ce montant à
l’assureur. À son tour, l’assureur prévoit de donner aux partenaires 1,11% de la PM (ce qui reste
inférieur à ce qu’il touche : (0,96%+70%*1,12 %).PM = 1,744%.PM).
Notons que pour des raisons de confidentialités, ces chiffres ne correspondent pas aux vrais
taux utilisés par BNP Paribas Cardif.
Frais et taux servi sur le fonds en euros (FG)
De la même façon sur la partie en Euros, 0,50% de la PM(FG) sont prélevés par l’assureur dont
0,30% sont reversés aux partenaires.
Le taux servi sur le fonds en Euros est calculé en tenant compte :

D’une redistribution des bénéfices de l’assureur vers les assurés. Règlementairement,
l’assureur doit reverser au minimum 85% de ses bénéfices aux assurés en proportion de leur
encours sur le fonds général.

Du rendement brut observé sur le fonds général

Des frais prélevés aux assurés
Donc :
(
)
(
)
(
)
(
)
Cardif pratique des offres commerciales (voir Partie 2, III.4.2.). Nous avons souhaité modéliser
une offre commerciale proposée aux assurés du portefeuille. Sur le fonds général, l’offre commerciale
concernée garantit un taux de rendement minimum les deux premières années. Ce taux est égal à
3,20% les deux premières années. Cette garantie s’applique à la condition que l’assuré possède au
moins 90% de son encours sur le fonds général et donc au maximum 10% sur les UC ce qui limitera les
arbitrages entre supports, du moins les deux premières années.
87
Xavier Brugirard
Le comportement des assurés
Dans le modèle, le comportement des assurés est modélisé par le biais des rachats. C’est donc
ici que nous allons intégrer nos rachats dynamiques. Comme expliqué précédemment, les rachats se
subdivisent en deux catégories : les rachats partiels en montant et les rachats totaux en nombre. Nous
allons définir les rachats globaux (RG) comme étant la somme des rachats structurels (RS) et des
rachats dynamiques (ou conjoncturels, noté RD).
(
(
)
(
))
De la même façon que pour la courbe des taux d’inflation et des taux zéro coupon, nous avons
choisi de fixer les rachats structurels au scénario central issu des scénarios générés par le GSE pour
« BDDF » uniquement. Ainsi par exemple, nous observerons des rachats structurels totaux en nombre
de 9,27% la première année de projection puis 2,51% la dixième année et enfin 2;46% la dix-neuvième
année.
Pour définir le niveau des rachats dynamiques à appliquer, il est nécessaire de créer des
scénarios économiques. Ces scénarios modéliseront l’évolution des variables de nos lois dynamiques
(Volatilité du CAC 40 et cotation « BBB-AAA » par exemple). Nous développerons la détermination de
ces scénarios dans le chapitre 4 de cette partie. En fonction des scénarios économiques testés, les
rachats s’activeront ou non. Voici la description des deux lois de rachats dynamiques utilisées pour tout
le portefeuille.
 Loi dynamique de rachats totaux en nombre
Loi dynamique de rachats
totaux en nombre
Seuil
Pente
Cotation « BBB-AAA » maximum
Rachats dynamiques maximum
Basée sur la cotation
"BBB-AAA"
0,855
85,50%
14,912
9,88%
Figure 45 : Paramètres de la loi de rachats totaux dynamique en nombre
 Loi dynamique de rachats partiels en montant
Loi dynamique de rachats
Basée sur la Volatilité du
partiels en montant
CAC 40
Seuil
4,50%
Pente
19,97%
Volatilité maximum du CAC 40
75%
Rachats dynamiques maximum
14,06%
Figure 46 : Paramètres de la loi de rachats partiels dynamique en montants
88
Xavier Brugirard
Graphiquement :
12%
12%
10%
10%
8%
8%
RD
14%
RD
14%
6%
6%
4%
4%
2%
2%
BB-AAA
0%
0
5
10
15
Ecart type CAC 40
0%
0%
20
Rachats Totaux dynamiques en nombre (Portefeuille)
20%
40%
60%
80%
100%
Rachats partiels dynamiques en montant (Portefeuille)
Figure 47 : Graphiques des rachats dynamiques utilisés dans le modèle
II.3 L’Actif
Nous allons créer une allocation d’actif proche de l’allocation moyenne du fonds général et du
fonds en UC (produits de crédit ignorés).
Allocation de l'actif Allocation de l'actif
du fonds général
du fonds en UC
75,2%
Obligation
1,5%
Immobilier
6,1%
4,2%
89,9%
Action
11,7%
Cash
7,0%
4,4%
Figure 48 : Allocation de l’actif en classes d’actif pour le fonds général et en unité de compte.
Notons que la répartition de la première prime (payée en janvier 2012) se fait à 90% dans le
fonds général.
III. Chocs sur le bilan et calcul du BEL
Introduisons la notion de SCR sous Solvabilité II : c’est un capital cible requis pour éviter la
ruine à un an dans 99,5% des situations (voir le calcul du SCR en annexe). Le SCR correspond à la
variation de la NAV (Net Asset value) entre un scénario central, correspondant à une situation
« normale », et un a une situation choquée probable à 0,5%. Notons qu’une situation probable à 0,5%
correspond à un évènement se produisant une fois tous les 200 ans. Voici les chocs appliqués à notre
modèle :
89

Xavier Brugirard
Un choc sur la courbe des taux, à savoir :
o
un choc à la hausse entre 1,36% et 5,75% sur les 19 ans de projection, ce qui fait
diminuer la valeur des
obligations
mais fait augmenter le rendement des
investissements et
o
un choc à la baisse entre 0% et 3,72%, ce qui va à l’inverse faire baisser le rendement
des actifs mais augmenter la valeur des obligations.
Dans la pratique, on retiendra le choc qui coûte le plus cher en termes de charge en capital.

Un choc sur le risque de liquidité des obligations en moyenne de 2,6%. Cette prime vient
augmenter le taux de revalorisation des obligations et donc diminuer la valeur des obligations.
Elle est due au fait que les obligations sont des produits qui sont sensibles aux problèmes de
liquidité.

Un choc sur les actions de -37% pour le marché boursier global (actions cotées) ou de -47%
pour tout autre marché actions. Ces chocs sont règlementaires et correspondent à la norme en
vigueur courant 2012. (les chocs étaient différents fin 2011).

Un choc sur les taux de spread* par notation pour les obligations.

Un choc de -25% du marché de l’immobilier.
Pour agréger les SCR par modules de risques, nous utilisons une matrice de corrélation.
IV. Simulation des variables macroéconomiques
Notre travail consistant à étudier l’impact de la loi de rachats dynamiques dans plusieurs
situations économiques, nous devons simuler les variables économiques disponibles. Ces simulations
(ou création de scénarios) ont été faites par plusieurs méthodes, dépendant de la nature de la variable
considérée. Cette partie décrit les méthodes utilisées.
IV.1
Le rendement des Actifs
Tout d’abord, nous avons modélisé des scénarios de rendement des Actifs, et plus
particulièrement des actions, grâce à des « générateurs de scénarios économiques » (GSE ou ESG
pour « Economic Scenario Generator »). Les scénarios générés par le GSE sont en moyenne égaux à
un scénario dit « central ». Ces générateurs nous ont été fournis par l’équipe « d’Allocation d’actifs et
modèles Financiers » sous la direction de « l’ingénierie Financière ».
De façon générale, les GSE sont des éléments centraux de la gestion Actif-Passif. En effet, cet
outil permet d’évaluer les provisions pour les options et garanties financières sur des contrats d’épargne
90
Xavier Brugirard
sous Solvabilité 2, d’évaluer des produits financiers (aussi appelé « pricing ») ou de gérer des risques.
Le rachat étant une option des contrats d’assurance vie, il est naturel de faire appel à des GSE.
Pourquoi a-t-on besoin de GSE ?
Dans notre étude, les GSE nous ont permis de projeter sur du long terme le rendement des
actions (et donc d’en déduire la volatilité des actions) pour calculer la loi de rachats partiels dynamiques
associée. Nous avons ainsi bloqué le rendement de nos actifs (leur rendement est égal à la courbe des
taux sans risque) et fait varier les variables macroéconomiques utilisées dans les lois de rachats
dynamiques (Volatilité du CAC 40, BBB-AAA, confiance des ménages).
Application à l’étude
Nous avons utilisé des projections sur 19 ans pour 500 scénarios différents d’évolution des
marchés financiers. Les scénarios journaliers de rentabilité des marchés actions nous permettent d’en
déduire 500 scénarios de volatilité du CAC 40. Le paramétrage de la loi de rachats dynamiques partiels
en montant prenant en compte la volatilité du CAC 40, il nous est possible d’en déduire, pour ces 500
scénarios, une valeur de ces rachats.
IV.2
IV.2.1
Scénarios de cotation de « BBB-AAA »
Données et sélection du modèle
Que modéliser ?
Il existe plusieurs façons de créer des scénarios de cotation de « BBB-AAA ». Nous pouvons
tout d’abord modéliser l’évolution indépendamment des cotations du spread* accordé aux entreprises
notés AAA puis notés BBB et en faire la soustraction. Le problème avec cette méthode est qu’il est
possible d’obtenir une différence très négative. Structurellement, s’il est effectivement possible que le
spread des obligations émises par des sociétés notées BBB soit plus faible que celui des entreprises
notées AAA, cette situation reste rare et la modélisation indépendante des deux cotations crée trop de
scénarios ou ceci se produit. Notons que ce phénomène se produit sur une courte durée car, en
général, ceci est dû à une entreprise qui est sur le point de voir sa note augmenter (ou inversement) et
qui tire vers le haut (ou vers le bas) la qualité de la moyenne des spread notés comme elle.
Sélection du modèle
Nous avons choisi de développer deux méthodes permettant de modéliser un spread de taux :
le modèle de CIR et le modèle de Vasicek. Voici les principales différences entre ces deux modèles :

La variance du modèle de CIR dépend de la variable modélisée alors que la variance du
modèle Vasicek est constante. Ceci implique que le modèle de CIR est plus difficile à

paramétrer et donc à mettre en œuvre.
Ces deux modèles se différencient également par leur capacité à simuler des spread de taux
extrêmes. Si le modèle de CIR permet de modéliser des spread importants, sa dynamique
limite la modélisation de spread bas et proscrit ceux négatifs sous certaines conditions. Cette
particularité est due au fait que la variance du spread dépend de la racine carrée de celui-ci.
Même si cette particularité de modélisation est un atout dans la perspective de modéliser un
taux d’intérêt, elle apparaît comme une faiblesse dans le cadre de notre étude. En effet, il est
91
Xavier Brugirard
nécessaire de modéliser des spread négatifs, aussi rares soient-ils, notre historique en
contenant une vingtaine (soit 9,4% des observations disponibles, entre 1997 et 1999). A
l’inverse, le modèle de Vasicek, compte tenu du fait qu’il possède une variance constante,
permet de modéliser des spread négatifs mais ne permet pas de modéliser des situations de
spread très importants. Cette modélisation rend mieux compte des situations économiques
possibles.
Par arbitrage entre qualité du modèle et simplicité de mise en œuvre, la méthode de Vasicek
semble la mieux adaptée à notre problématique.
IV.2.2
Le modèle de Vasicek
Le modèle de Vasicek, propose la modélisation du spread suivante [33] :
(
)
( )
Où
est le spread « normal » à long terme
k la force de rappel
la volatilité du processus
, k et
( )
(
sont tous strictement positifs.
(
)
( ) est un mouvement brownien standard sous la probabilité historique de loi
)
Cette équation différentielle stochastique (EDS) permet au spread de taux de varier autour de
sa valeur d’équilibre θ. Lorsque
est inférieur à sa valeur d’équilibre, le marché n’est pas en crise
puisque la confiance accordée aux entreprises notées BBB est proche de celle accordée aux
(
) est positive et donc le spread aura
entreprises notées AAA. En revanche, la valeur de
tendance à croître. En effet, Il est naturel dans un contexte de spread de taux faible que les
investisseurs préfèrent investir dans des entreprises AAA, moins risquées que les entreprises BBB,
faisant augmenter la différence entre les taux d’intérêt. A l’inverse, lorsque est supérieur à sa valeur
d’équilibre, les marchés sont en crise puisque le besoin en valeurs refuges (notées AAA) a creusé
l’écart entre les deux taux. Une crise tend structurellement vers une période plus stable. Cette
(
), celui-ci étant négatif, le taux est attiré par sa valeur
observation s’illustre par le signe de
d’équilibre.
La solution de l’EDS précédente s’obtient grâce au lemme d’Îto appliqué à :
( )
(
)
Solution :
( )
(
)
( ( )
)
∫
Notons que ( ) suit une loi normale (par somme de lois normales indépendantes)
92
( )
Xavier Brugirard
Nous pouvons calculer l’espérance et la variance de r(u) grâce aux propriétés des mouvements
browniens [32] :
(
( ( ))
)
( ( )
(
)
)
( ( ))
Pour un pas δ, le modèle de Vasicek se discrétise de la façon suivante [33] :
(
(
)
)
∫
( )
en utilisant la formule suivante [33] :
( ))
(∫
On en déduit que la différence de taux entre BBB et AAA peut aussi s’écrire sous la forme suivante :
(
ou
(
√
)
)
IV.2.3
Calibrage du modèle
Détermination des paramètres
Nous nous sommes servis de la relation entre
et
pour déterminer les paramètres du
modèle de Vasicek. Fixons δ à 1/12 (pas mensuel), par régression on peut trouver les paramètres du
modèle. Comparons donc le modèle précédent discrétisé et le modèle de régression linéaire :
(
√
)
Ainsi, on peut trouver les paramètres à partir de notre historique de N= 191 observations par
identification :
( ̂ )
̂
̂
̂
√
√
où ̂ est l’écart type de l’historique comportant N=191 observations.
93
Xavier Brugirard
Calibrage
L’application de cette régression à nos données nous donne les paramètres suivants.
Paramètre
Valeur
0,636053
0,010772
0,008757
À partir du modèle de Vasicek paramétré de cette façon, nous simulons des trajectoires de spread
différentes.
IV.2.4
Résultats
Observons tout d’abord l’historique des données disponibles, entre février 1996 (mois 1) et
décembre 2011 (mois 191).
4
BBB-AAA
3,5
BBB-AAA (%)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
02/1996
-0,5
Date
11/1998
08/2001
05/2004
02/2007
11/2009
Figure 49 : Historique de la cotation de BBB-AAA
Nous observons 18 valeurs négatives entre 1997 et 1999 et des écarts au dessus de 3% fin
2008 et début 2009.
Le graphique suivant permet d’observer l’historique des cotations de « BBB-AAA » puis
d’observer le scénario médian ainsi que 3 scénarios pris au hasard parmi les 500 scénarios générés
pour la projection sur 19 ans. En abscisse se trouve le numéro du mois : février 1996 est le premier
mois, l’historique court jusqu’à décembre 2011 (mois 191) et la projection jusqu’à décembre 2031 (mois
431).
94
Xavier Brugirard
Figure 50 : Scénario médian et 3 scénarios de projection de l’écart des taux « BBB-AAA »
Ces trois scénarios possèdent des cotations négatives et des valeurs élevées (plus de 3%) à
des périodes différentes.
Le graphique suivant permet d’observer les quantiles à 99%, 90%, 75%, 50%, 25%, 10% et 5%
des scénarios simulés. Remarquons que ces courbes ne correspondent à aucun scénario réel mais à la
concaténation des quantiles observés mois par mois.
Figure 51 : Quantiles des scénarios projetés sur 19 ans de l’écart des taux « BBB-AAA »
95
IV.2.5
Xavier Brugirard
Faire coïncider les scénarios
Les scénarios que nous venons de créer doivent coïncider avec les scénarios de volatilité du
CAC 40 venant des GSE. En effet, lorsqu’une crise survient, tous les indicateurs que nous avons définis
précédemment se comportent de la même façon. Il est donc important que les scénarios soient calibrés
sur les mêmes périodes de crises. Pour cela, nous avons associé les scénarios les mieux corrélés les
uns aux autres.
IV.3
Confiance des ménages (annexe 4)
Nous n’avons étudié que l’impact des deux lois de rachats dynamiques paramétrées sur
l’ensemble des données. Il n’est donc pas nécessaire de construire des scénarios pour la confiance des
ménages. Nous allons cependant exposer en annexe la marche à suivre pour le faire. Pour modéliser la
variable « confiance des ménages » nous avons utilisé des séries temporelles.
V. Impact financier des lois dynamiques de rachats
V.1 Méthode et grandeurs utilisées
L’outil permet de calculer le BEL en « risque neutre ». Le passif est donc modélisé par
revalorisation de tous ses flux au même taux suivant une courbe des taux appelé « courbe des taux
sans risque ». La courbe des taux sans risque est renseignée dans les hypothèses globales du modèle.
Le but de la présente partie est de calculer l’impact financier des lois de rachats dynamiques
paramétrées pour le portefeuille tout entier. Nous avons vu dans le chapitre I de cette partie que la
grandeur utilisée pour cela est appelée TVOG (ou valeur temps des options et garanties). Cette
grandeur est issue de la méthodologie Embedded Value (voir [35])
Le sens économique du TVOG est qu’il existe une asymétrie dans la modélisation des options
et garanties offertes à l’assuré. Le but du TVOG est de mesurer cette asymétrie. Celle-ci s’illustre par
deux situations :

Prenons pour hypothèse que l’ensemble des actions détenues par l’assurance ont vu leur
cotation doubler depuis leur détention. Dans cette situation, l’assureur en vendra une partie et
fera donc un bénéfice. Le Code des assurances contraint l’assureur à redistribuer la majeure
partie de ses bénéfices.

A l’inverse, si la valeur des actions est diminuée de moitié, les moins-values (hors contrats en
UC) ne sont pas payées par les assurés. Les assurés ont de plus la possibilité de récupérer
tout ou partie de leur épargne grâce à des rachats. Cette possibilité est souvent fonction de
l’information disponible et est plus fréquente en cas de mauvais résultats de l’assureur.
96
Xavier Brugirard
V.2 Quelques exemples d’utilisation de l’outil
Pour illustrer le fonctionnement de l’outil utilisé, nous allons prendre trois exemples distincts et
étudier les résultats en termes de PVFP (VAN des flux futurs du scénario central). Les trois scénarios
étudiés sont les suivants :

Le scénario dans lequel aucun rachat dynamique n’intervient. Les seuls rachats observés sont
donc les rachats structurels.

Un scénario fictif dans lequel une crise économique très grave intervient dans les dix
prochaines années mais dont les dix années suivantes sont stables économiquement

Un scénario fictif dans lequel les dix prochaines années sont stables mais où il y a une crise
très grave dans les dix années suivantes.
Les deux scénarios ont été définis de façon quasiment symétrique pour que la crise (proche ou
éloignée) ait la même intensité. Voici la façon dont ces scénarios ont été définis en termes de volatilité
du CAC 40 et de cotation BBB-AAA :
Scénario de crise
Scénario de croise
proche
éloigné
Année Vol CAC 40 BBB-AAA Vol CAC 40 BBB-AAA
1
35,00%
1,80
70%
1,10
2
45,00%
2,10
60%
1,10
3
60,00%
2,40
25%
1,10
4
85,00%
2,60
25%
1,10
5
125,00%
2,60
26%
1,10
6
120,00%
2,53
26%
1,10
7
100,00%
2,45
28%
1,10
8
70,00%
2,30
30%
1,10
9
50,00%
2,05
35%
1,20
10
40,00%
1,70
40%
1,70
11
35,00%
1,20
50%
2,05
12
30,00%
1,10
70%
2,30
13
27,50%
1,10
100%
2,45
14
26,00%
1,10
120%
2,53
15
25,50%
1,10
125%
2,60
16
25,00%
1,10
85%
2,60
17
25,00%
1,10
60%
2,40
18
25,00%
1,10
45%
2,10
19
25,00%
1,10
35%
1,80
Année
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Scénario de crise
proche
RT Nb
RP Mt
0,66%
0,00%
0,88%
0,00%
1,09%
0,10%
1,23%
0,52%
1,23%
1,18%
1,18%
1,10%
1,12%
0,77%
1,02%
0,27%
0,84%
0,00%
0,59%
0,00%
0,24%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
Scénario de croise
éloigné
RT Nb
RP Mt
0,17%
0,27%
0,17%
0,10%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,17%
0,00%
0,24%
0,00%
0,59%
0,00%
0,84%
0,00%
1,02%
0,27%
1,12%
0,77%
1,18%
1,10%
1,23%
1,18%
1,23%
0,52%
1,09%
0,10%
0,88%
0,00%
0,66%
0,00%
Figure 52 : Volatilité du CAC 40 et « BBB-AAA »
Figure 53 : Rachats dynamiques associés
dans deux scénarios fictifs
aux deux scénarios fictifs
97
Xavier Brugirard
Nous avons lancé l’outil trois fois, avec chacun des trois scénarios et enregistré les résultats
Milliers
VAN des primes et
prestations
dans le graphique suivant :
60 160
60 120
60 080
60 040
60 000
Scénario sans
Rachats dynamiques
Scénario de
crise proche
Scénario de
crise éloignée
Figure 54 : VAN des primes et prestations obtenu pour les trois scénarios
La valeur de la VAN des primes et des prestations semble évoluer de façon logique. En effet,
lorsqu’il y a une crise, proche ou éloignée (et donc que les rachats dynamiques viennent augmenter les
rachats structurels) la valeur actualisé des passifs augmente.
Si plus de rachats sont à prévoir dans un horizon proche, il est nécessaire de provisionner
l’équivalent actualisé au passif : l’événement de rachat se produit plus tôt que prévu dans les calculs de
provisionnement.
C’est d’ailleurs pour cette même raison qu’une crise éloignée coûte moins cher en termes de
BEL qu’une crise dans un avenir proche : les rachats à prévoir sont actualisés par un taux supérieur et
augmentent donc moins le BEL.
V.3 Distribution de la VAN des coûts sur les scénarios
Observons l’impact des lois de rachats dynamiques en termes de VAN des coûts. Dans
chacune des trajectoires de Volatilité du CAC 40 et de cotation « BBB-AAA », nous avons calculé
l’impact de la loi de rachats dynamiques, uniquement, sur la VAN des coûts par actualisation des flux
de coûts. Nous avons ensuite classé nos scénarios en fonction de leur coût en capital puis observé la
VAN pour les rachats dynamiques partiels puis pour les rachats dynamiques totaux et enfin pour la
somme de tous les rachats dynamiques.
98
4 000
600
3 500
500
Milliers
Xavier Brugirard
3 000
400
2 500
2 000
300
1 500
200
1 000
100
500
0
0
0
100
200
RD totaux
300
RD
400
500
VAN des coûts (RD partiels)
VAN des coûts (RD et RD totaux)
Milliers
600
RD partiels
Figure 55 : VAN des coûts liés aux rachats dynamiques partiels, totaux et la somme des deux
L’impact de la loi de rachats dynamiques en nombre (rachats totaux) à un impact beaucoup
plus important que la loi de rachats dynamiques en montants (rachats partiels).
Sur 19 années de projections, la loi de rachats dynamiques en nombre s’active toujours alors
que la loi de rachats dynamiques en montant ne s’active pas dans une centaine de scénarios. Cette
observation fait écho à l’historique sur lequel nous avons paramétré notre seuil. Ce seuil est atteint
plusieurs fois sur nos 5 années d’historique, il est donc naturel qu’il soit franchi dans les scénarios de
projections que nous avons construits soit via des GSE soit via un modèle de Vasicek.
V.4 Coût de la composante dynamique des rachats
Le calcul précédent et la formule du TVOG nous permet de déterminer le coût de la
composante dynamique de l’option de rachats offerte aux assurés.
Coût en Capital de la composante dynamique de
l'option de rachats (TVOG)
RD partiels
RD totaux
RD
-48 007 €
-350 370 €
-398 377 €
Figure 56 : Coût en Capital de la composante dynamique de l'option de rachats
Les lois de rachats dynamiques créées dans ce mémoire ont donc un coût pour l’assureur de
près de 400 000€. La loi de rachats dynamiques en nombre (rachats totaux) pèse dans ce coût pour
plus de 350 000€ et la loi de rachats dynamiques en montant (rachats partiels) pour environ 50 000€.
Comparé à ce coût, l’impact de la loi de rachats proposée dans le QIS5 est négligeable. En
effet, celle-ci s’active dans très peu de scénarios et a donc une TVOG presque nulle.
99
Xavier Brugirard
Conclusion
Ce mémoire a permis d’étudier de façon précise et justifiée la calibration, sous contrainte, d’une
loi de rachats dynamiques, puis d’en étudier l’impact financier pour un assureur choisissant de
l’adopter.
Tout au long du mémoire nous avons pris des hypothèses influant sur les résultats, telle que le
fait d’étudier globalement tous les contrats en portefeuille, et pas seulement la partie en UC de ceux-ci,
ou bien l’hypothèse que les acteurs des marchés financiers s’adaptent en une année à une nouvelle
situation. Un travail complémentaire à ce mémoire pourrait être de quantifier l’impact de ces hypothèses
en termes de TVOG.
Pour être adaptées au modèle utilisé par BNP Paribas Cardif, les lois de rachats dynamiques
construites dans ce mémoire se basent, pour chacune des six catégories étudiées, sur une seule
variable explicative. Ainsi, même si ces lois semblent mieux adaptées aux marchés que celle du QIS5,
elles ne captent pas toute la complexité du caractère dynamique des rachats, souvent motivés par de
multiples variables. Nous pourrions imaginer une loi en plusieurs dimensions faisant intervenir plusieurs
variables et donc plusieurs seuils d’activation.
Nous avons illustré, en annexe, la construction d’un modèle linéaire liant un taux de rachats à
plusieurs variables exogènes. Un modèle de cette qualité semble bien adapté au problème mais n’est
cependant pas adapté au modèle utilisé chez BNP Paribas Cardif. Ceci est dû à sa complexité de
paramétrisation et au besoin fréquent de calibration.
Dans tous les cas de figure, nos modèles ne captent pas l’incertitude liée aux changements de
législation qui reste un gros facteur de risque quant à l’avenir de l’assurance vie en France. Outre
l’explication du comportement des assurés par une loi de rachats dynamiques, nous pouvons nous
demander si l’assurance vie n’est pas simplement entrée dans une phase de paiement des prestations
qui fait partie intégrante du cycle de la vie d’un contrat d’assurance vie.
Pour aller plus loin dans l’étude de l’impact d’une loi de rachats dynamiques, nous pouvons
calculer la variation de SCR de l’entreprise avec et sans cette loi de rachats. Nous avons donné
plusieurs pistes de travail dans la partie V ainsi que dans l’annexe 2.
100
Xavier Brugirard
Glossaire
Agent général d’assurance
C’est un professionnel indépendant exerçant l'activité d'intermédiaire pour le compte d'une ou de
plusieurs compagnies dont il a reçu un mandat. Il analyse les risques de ses clients, puis conseille ces
derniers sur les opportunités d'assurance, place les risques auprès des compagnies d'assurances, suit
la gestion des contrats au jour le jour, et assiste ses clients en cas de sinistre de l'ouverture jusqu'à
l'indemnisation. (Wikipedia)
Ancienneté fiscale
C’est la durée écoulée depuis la date « d’effet fiscale », c'est-à-dire la date à partir de laquelle
commence à courir le délai fiscal du contrat d’assurance vie.
BEL (Best Estimate of Liabilities) NAV et SCR
Le passif est composé de trois éléments (voir annexe 2) dont le BEL : « Best Estimate Liabilities ». Le
BEL correspond à l’espérance de l’actualisation des prestations futures de 1000 scénarios
stochastiques (en moyenne égaux au scénario central déterministe). Pour un module de risque i, le
BEL, ajouté à la valeur de l’actif sous Solvabilité II, correspond à la NAV : « Net Asset Value ». La
variation de la NAV entre un scénario standard et choqué correspond au SCR. Ces notions sont
développées en annexe 2.
CGPI
Conseil en gestion de patrimoine indépendant. Le conseil délivré par un CGPI est, par définition, plus
objectif qu'un conseil de réseau bancaire ou d'assurance. En effet, le conseiller, banquier ou assureur,
est limité aux produits de son établissement. A contrario, le CGPI peut proposer l'ensemble des
placements de la Place. (site de lignière patrimoine)
Chaîne de gestion
Cette base de données est la plus complète existante. Lors de la souscription, les informations relatives
au nouveau contrat y sont enregistrées. Ensuite y sont ajoutés les caractéristiques des contrats et des
calculs divers. Il en existe plusieurs.
Collecte
La collecte sur des contrats d’assurances vie correspond à l’ensemble des fonds rassemblés auprès
des assurés sur une période.
Contrat vivant
Est un abus de langage qui signifie que le contrat est toujours ouvert (PM non nulles).
Datawarehouse
Cette base de données est une retraduction et une réduction de la chaîne de gestion. Celle-ci est
disponible notamment pour les actuaires et est purgée régulièrement. Ainsi, cette base permet
d’extraire jusqu'à 3 ans d’ancienneté pour les flux et uniquement 1 mois pour les PM.
101
Xavier Brugirard
Exposition (d’un contrat d’assurance vie)
L’exposition peut être de deux types : soit en nombre, l’exposition correspond alors au nombre de
contrats en portefeuille à la date d’observation ; soit en montant, l’exposition correspond alors au
montant total des provisions mathématiques (PM) de tous les contrats en portefeuille à la date
d’observation.
Loi de chute
C’est un synonyme de loi de rachat.
NAV (Net Asset Value) ou ANR (Actif Net Réévalué)
C’est une estimation en valeur de marché de la valeur des fonds propres (ou Actif net). Elle consiste à
estimer séparément les différents actifs et engagements de l'entreprise et à en faire la somme
algébrique. Elle intervient dans le calcul du SCR (voir annexe2).
Rachat
Un rachat consiste à mettre fin à son contrat en demandant à l’assureur de lui remettre la valeur de
rachat de son contrat. Cette dernière peut être diminuée d’une pénalité de rachat selon des termes
spécifiés dans le contrat.
Rachat Partiel
Un rachat partiel consiste à demander à l’assureur de lui remettre une partie de la valeur de rachat de
sa police. Les modalités de rachat partiel (pourcentage, pénalité, …) sont spécifiées dans le contrat.
Dans cette étude, les rachats totaux et partiels sont distingués entre deux types de causes :
Rachat structurel
Un rachat est dit structurel lorsque celui-ci résulte d’une décision indépendante de l’information que
perçoit l’assuré (mariage, achat d’une propriété, …).
Rachat conjoncturel ou dynamique
Un rachat conjoncturel est un rachat conditionné par l’information perçue par l’assuré. Cette dernière
correspond de façon standard à l’écart constaté entre le taux cible et le taux de revalorisation servi.
Lorsque l’écart entre ces deux taux est trop important, les assurés sont considérés comme insatisfaits
de la revalorisation de leur contrat. Des rachats conjoncturels se déclenchent lorsque l’écart dépasse
un seuil. Le taux de rachat conjoncturel augmente lorsque cet écart augmente, jusqu’atteindre un taux
de rachat maximal. Nous avons construit dans ce mémoire une loi fonction de variables
macroéconomiques différentes.
Spread de taux – Spread de crédit
Le mot « spread » vient de l’anglais et signifie « écart ». Il désigne en finance l’écart actuariel entre une
obligation émise par une entreprise (ou une collectivité territoriale ou un organisme), et un emprunt
d'État théorique qui aurait les mêmes flux financiers. Un parlera de « taux spread pour la notation
AAA » par exemple, si l’on considère l’écart entre un emprunt d’Etat et une entreprise notée « AAA »
par Standard & Poor's.
102
Xavier Brugirard
Taux cible
Le taux cible correspond à l’information des assurés en terme de rendement financier. Il sert de point de
référence pour les assurés en termes d’attente de revalorisation sur leur police. On considère que les
assurés sont satisfaits lorsque leur épargne est revalorisée avec une performance supérieure ou égale
au taux cible. Ils sont déçus lorsque leur épargne est revalorisée à un taux inférieur au taux cible.
TVOG
TVOG ou valeur temps des options et garanties. Le TVOG est calculé de la façon suivante :
(
)
2
Où l’équivalent certain (ou PVFP) est la VAN (valeur actuelle nette) des flux du scénario central
déterministe et le BEL est l’espérance de la VAN de 1000 scénarios stochastiques en moyenne égaux
au scénario central déterministe. (Annexe 2)
Taux de rachat (ou taux de chute)
Pour un contrat d’assurance vie, c’est la proportion de PM rachetée par rapport à la PM du contrat.
Celui-ci peut être calculé mensuellement, annuellement ou sur plusieurs périodes pour un seul contrat
ou plusieurs contrats. Il peut aussi être calculé par âge et par ancienneté.
2
Termes développés en annexe 2 et chapitre V de la Partie 5
103
Xavier Brugirard
Références
PARTIE 1 : Contexte de l’étude
1
A. Charpentier, « Calculer une provision mathématique », blog de l’Université de Rennes 1
2
Bulletin officiel des impôts, « Fiche pratique : fiscalité des rachats AFER 2011 »- n° 107 du 27 juin 2006
3
AFER – Association Francaise d’Epargne et de Retraite, Site internet
4
L. Dominici, Cours de « Nouvelles Règlementations » de l’I.S.U.P., 2011-2012
5
CEIOPS, Quantitative Impact Studies 5 (QIS 5), « Technical Spécifications », page 75
6
Autorité de Contrôle Prudentiel, « Orientations Nationales Complémentaire aux Spécifications
ème
Techniques », Solvabilité 2 – 5
étude d’impact (QIS5), Les Rachats Dynamiques p7
7
D. Grimal (2007) – « Analyse économétrique de l’option de rachat dans les produits d’épargne »
Mémoire d’Actuariat CEA
8
S. Loisel et X. Milhaud, “From deterministic to stochastic surrender risk models: Impact of correlation
crises on economic capital”. European Journal of Operational Research, 214(2):348–357, 2011
9
X. Milhaud, V. Maume-Deschamps, et S. Loisel, “Surrender triggers in life insurance: what main features
affect the surrender behavior in a classical economic context?” Bulletin Francais d’Actuariat, 22 2011
10
A. Suru (2011) «Le rachat : modélisation et préconisation.» Mémoire d’Actuariat Université de Paris
Dauphine
PARTIE 2 : Analyse qualitative et quantitative des rachats
11
H. Boulan, I. Gulphe-Lachaud et F. Croidieu, « La décollecte de l’assurance vie : analyse des causes et
exploration des leviers pour la contrer », résultats du 13 avril 2012 n°1200198
12
Fédération Française des Sociétés d’Assurances (FFSA) – « Assurance vie : focus sur les résultats de
l’année 2011 » - Actualité , 26/01/2012
13
Cours des Comptes, « La politique en faveur de l’assurance vie », Rapport de la Cour des Comptes –
Janvier 2012
14
BNP Paribas Cardif, « Suivit de production hebdomadaire », Semaines 13 à 26.
104
Xavier Brugirard
PARTIE 3 : Taux de rachat et étude des variables explicatives
15
L. Foessel, V. Lamour, « Lois dynamiques épargne France préconisations de l’actuariat », Cardif
12/04/2011
16
P. Kaltwasser et P. Le Moine, « Modèles de risque et solvabilité en assurance vie », Mémoire d’Actuariat
ENSAE 2005
17
S. Fauvel et M. Le Pévédic, « Analyse des rachats d’un portefeuille vie individuelle : Approche théorique
et Application pratique », Mémoire d’Actuariat ENSAE 2007
18
European Central Bank, household confidence manufacturing (FRCNFCONQ) - synthetic business
indicator (FRINDSYNQ), extraction 2012
19
L'Institut national de la statistique et des études économiques (INSEE), Indices et séries chronologiques,
VCAC, CAC 20, extraction 2012
20
J. Coulon, « Mémoire longue, volatilité et gestion de portefeuille », Doctorat de l’université Claude
Bernard – Lyon 1, 2009
21
M. Parkinson, “The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of Return”, Journal of
Business, 1980, Volume 53 (No. 1), 61-65.
22
B. Bollen, B. Inder: “Estimating daily volatility in financial markets utilizing intraday data” Journal of
Empirical Finance, 9, 551–562, 2002
23
M.Friedman, “Théorie du revenu permanent”, Wikipédia, 1957
24
Thomson & INSEE, Methodology of “Monthly consumer confidence survey” and “General prospects –
probable trend in industrial production, 2012
PARTIE 4: Construction d’une nouvelle loi de rachat dynamique en fonction d’une unique
variable exogène
25
F. Carrat, A. Mallet, V. Morice, « Biostatistique », Chapitre 5 p41, Faculté de médecine Pierre et Marie
Curie, PACES - UE4, 2011 - 2012
26
H. Gayrard, « Estimation d’une Probabilité de Détection (POD) en Contrôle Non Destructif (CND) »
Mémoire de statistique de l’ISUP, 2011
27
M. Hocine, “Statistical methods for outbreak detection » - Cours CNAM - mars 2011
28
R. Rakotomalala, « Analyse de corrélation : Etude des dépendances – Variables quantitatives »,
Université Lumière Lyon 2, Version 1.0 p16, janvier 2012
29
Milliman ; « Benchmark du marché - Rachats dynamiques » - 12 Avril 2010
105
Xavier Brugirard
PARTIE 5 : Impact des nouvelles lois de rachat dynamique sur le SCR de marché
30
F. Planchet, « Modèles financiers et analyses de risque dynamiques en assurance », Support de cours,
2010-2011
31
A. Faleh, F. Planchet, D. Rulliere, « Les Générateurs de Scénarios Économiques : quelle utilisation en
assurance ? », ISFA- Université Lyon I et Caisse des Dépôts et Consignations, Nov 2009
32
J. Chevalier, O. Lopez, plusieurs cours de mathématiques financières à l’I.S.U.P., 2010-2012
33
C. Picard, « Mise en place d’un processus d’ORSA », Mémoire d’actuariat I.S.U.P., 2012
34
F. Planchet, A. Kamega, « Générateurs de scénarios économiques en assurance », 2012.
35
CFO Forum, « Market Consistent Embedded Value Principles », October 2009
106
Xavier Brugirard
Annexe
Annexe 1 : Etudes traitant des rachats dynamiques
David Grimal, dans son mémoire de 2007 intitulé « Analyse économétrique de l’option de
rachat dans les produits d’épargne » propose d’étudier les rachats sous différents angles. Tout
d’abord via une approche économique : en tenant compte de l’hétérogénéité du Portefeuille, David
Grimal a déterminé 4 variables explicatives identifiées du comportement de rachat : l’âge du client,
l’ancienneté du contrat, la part investie en unité de compte (UC) et les provisions mathématiques du
contrat. Une division par tranche de modalité lui a permis de construire une loi de rachat structurelle
multivariée. Il a ensuite fait une analyse conjoncturelle du problème qui consiste à déterminer l’impact
de différentes séries économiques et financières sur le comportement de rachat. Cette étude a retenu
l’influence des marchés financiers surtout lors de forte baisse.
J’ai eu l’occasion lors de mon stage d’assister à une conférence au cours de laquelle j’ai
découvert le travail de Xavier Milhaud et Stéphane Loisel sur les rachats et le comportement des
assurés vis-à-vis de ces mêmes rachats. Ce travail est intéressant pour plusieurs raisons. Dans les
deux articles rédigés en 2011 “From deterministic to stochastic surrender risk models: Impact of
correlation crises on economic capital” et “Surrender triggers in life insurance: what main
features affect the surrender behavior in a classical economic context?”, les auteurs tentent
notamment de déterminer si la crise financière a un impact sur les assurés et si cet impact va jusqu'à
modifier leur comportement vis-à-vis des rachats sur les contrats d’assurance vie. Il est admis que ces
questions sont difficiles. D’après eux, les modèles linéaires généralisés ou de survie ne sont pas
adaptés à cette étude puisqu’ils ne captent pas correctement les coefficients exogènes ou
l’hétérogénéité des données. Ils mettent en lumière un effet de corrélation entre le marché financier et
les rachats mais aussi un comportement « moutonnier » des assurés qui suivent l’avis d’un « gourou »
pour prendre leur décision de rachat.
Rencontré lors d’une « conf’ISUP », Adrien Suru a présenté son mémoire intitulé « Le rachat :
modélisation et préconisation. ». Dans ce mémoire, Adrien Suru crée des passerelles entre
l’ingénierie et l’actuariat pour notamment mettre à jour la loi de rachat dynamique dite classique
(proposée par le QIS5) qui compare le taux de rachat à un écart entre taux servi et taux cible. Ce
mémoire nous permet notamment de nous familiariser avec la loi actuelle de rachat dynamique mais
aussi d’observer l’impact de variables surprenantes sur les rachats.
107
Xavier Brugirard
Annexe 2 : Calcul du BEL et du SCR sous Solvabilité 2
Outre le calcul du coût en termes d’option et garanties des rachats dynamiques, une extension
de la présente étude pourrait être la détermination de l’impact de la loi de rachats dynamiques sur le
capital requis sous Solvabilité 2 (MCR et SCR). La présente annexe permet de comprendre de quelle
façon cet indicateur se calcule.
Sous Solvabilité 2, le bilan de l’assureur doit être exprimé en valeur de marché (Voir IFRS au
chapitre II.1 de la partie 1). La valorisation de l’actif se fait de façon simple en enregistrant la valeur
d’échange sur les marchés à un instant t de celui-ci. Par exemple, la valeur de marché (VM) d’une
action est déterminée par la valeur à laquelle les opérateurs s’échangent cette action. En revanche, les
passifs ne possèdent pas nécessairement de marchés côtés. Il est donc nécessaire de procéder par
une actualisation de flux futurs pour déterminer la « valeur de marché » d’un passif. Le passif est
composé de trois éléments :
 L’actualisation des prestations futures, en anglais le BEL (Best estimate of Liabilities)

L’actualisation des profits futurs, en anglais la VIF (Value in Force) décomposée en PVFP
(Present value of future profits), qui est la valeur actuelle des résultats statutaires, de laquelle

sera retiré le coût des options, des garanties et d’immobilisation du capital.
Le capital immobilisé issu des fonds propres pour couvrir la marge de solvabilité. C’est la
ANAV (Ajusted Net Asset Value).
Les fonds propres immobilisés sous Solvabilité 2 vont dépendre de la valeur du capital requis. Il
existe deux niveaux de capitaux requis, qui capturent tous les risques quantifiables affectant le bilan de
l’assureur.
 Le SCR (Solvency Capital Requirement) est le capital cible requis. Il correspond aux fonds
propres nécessaires pour éviter à l’assureur une ruine (dans l’année) avec une probabilité de

99,5% : c’est la VaR à 99,5%.
Le MCR (Minimum Capital Requirement) correspond à la VaR entre 80% et 90% sur un an
d’horizon. C’est le minimum requis par l’Autorité de contrôle prudentiel (ACP) pour ne pas être
mis sous tutelle.
Le calcul du SCR se fait par famille de risques. Les risques, ou « modules de risques », sont
réunis par famille de façon à ce qu’un choc touche toutes les variables de la même famille. Voici la
cartographie exhaustive des risques, par module de risque, fourni dans le QIS.
108
Xavier Brugirard
SCR
Ajustements
BSCR
Impôts différés /
PB discrétionnaire
SCR opérationnel
SCR Souscription
Vie
SCR Souscription
non Vie
Mortalité
Tarification et
provisions
Taux
Longévité
Cat
Actions
SCR Contrepartie
SCR Marché
Rachat
Spread
Frais
Concentration
Cat
Illiquidité
Figure 57 : Cartographie des risques (par modules de risques) sous Solvabilité 2
Notons qu’il existe deux familles de chocs : les chocs de souscription, dans lesquels les rachats
se trouvent, et les chocs de marché, qui concernent les actions ou encore les taux. Il est de plus
possible de calculer deux types de SCR :

Le SCR de souscription : il ne prend pas en compte les interactions actifs-passifs.

Le SCR de marché : il prend en compte les interactions actifs-passifs.
Dans les deux cas, l’évaluation du SCR se fait par module de risque de la façon suivante :
(
)
Avec
(
)
Donc
[(
)
(
)
]
Où la variation de l’actif et du passif correspond à la différence entre un scénario normal et un scénario
choqué.
Le calcul du SCR se fait ensuite par agrégation des SCR par module grâce à une matrice de
corrélation :
√∑
Comme nous l’avons rappelé dans le mémoire (Partie 5, V.1.) en pratique, le calcul du BEL se
fait comme étant l’espérance du passif de 1000 scénarios stochastiques en moyenne égaux au
scénario central déterministe. On recalcule ensuite le BEL de la même façon, après avoir appliqué le
même choc aux 1000 scénarios. Nous en déduisons le SCR par différence entre le BEL calculé par
cette méthode et l’Actif, calculé par la même méthode.
109
Xavier Brugirard
Annexe 3 : Code R pour le modèle de Vasicek (Partie 5)
####################### Simulation du spread de taux entre note AAA et BBB ##########
# Methode utilisée : modele de Vasicek
#### Modele de Vasicek ####
# Parametres:
# teta = le spread normal à long terme
# k=la force de rappel
# sigma=la volatilité du processus.
# t=pas de la discrétisation
# espilon= résidu simulé
Vasicek=function(s0,epsilon,teta,k,sigma,t)
{ st=s0*exp(-k*t)+teta*(1-exp(-k*t))+sigma*((1-exp(-2*k*t))/(2*k))^(0.5)*epsilon
st }
#### Recupération des données ####
s0<-read.csv2(file="C:/Documents and Settings/brugirardxa/My Documents/DOCUMENTS XAVIER
BRUGIRARD/2. SAS & Sorties/2. Historique BBB-AAA.csv", header=TRUE,sep=";")
s0=s0[,2]
plot(s0,type="l")
############## Calibrage ##########
pas=1/12
N=length(s0)
### Regression de s(t+1) (noté s1) sur s(t) (=> trouver les parametres du modèle V, prend en compte
l'historique)
s1=s0[2:length(s0)]
#on ne prend pas la derniere valeur pour que s soit de la meme taille que s1
s=s0[1:(length(s0)-1)]
summary(lm(s1~s))
# Extraction des paramètres
parametre_reg=lm(s1~s)$coefficients
residu_reg=lm(s1~s)$residuals
sigma_reg=sd(residu_reg)
#Calculs des parametres du modèle
teta=parametre_reg[1]/(1-parametre_reg[2])
k=-log(parametre_reg[2])/pas
sigma=sigma_reg*((-2*log(parametre_reg[2]))/(pas*(1-exp(-2*pas*k))))^(1/2)*((N-2)/(N-3))^(1/2)
110
Xavier Brugirard
############# Simulations de trajectoires #######
# Nbre de simulations: en mettre plus pour ne garder que 500 positive
nbre=600
# Horizon de projection
nbre_années=20
h=12*nbre_années
#créer un tableau pour stoquer les simulations
s=array(0,c(h+1,nbre))
#chaque simulation part de la valeur ajd (comme st depend de st-1, on se sert tjr de la valeur d'rigine)
s[1,]=s0[length(s0)]
# Boucle des simulations: epsilon est le residu, si+1 le Vasicek
for (i in 1:h){
epsilon=rnorm(nbre,0,1)
s[i+1,]=Vasicek(s[i,],epsilon,teta,k,sigma,pas) }
#Schema: plot de quelques exemples
plot(y=s0,x=seq(1,(191),by=1),type="l",col="purple",xlim=c(0,400),xlab="Numéro du mois", ylab="BBBAAA")
lines(y=apply(s,1,mean),x=seq(191,(191+h),by=1),type="l",col="red")
for(i in 15:17){
lines(y=s[,i],x=seq(191,(191+h),by=1),type="l",col=i)
}
I=which(s<0)
#% de valeurs négatives
Pond=length(I)/(600*240)*100
#### quantiles ####
#choisir le quantile: attention prend en compte le quantile pour chaque DATE donc c'est une trajectoire
qui n'existe pas
n=0.99
s_quant99=rep(0,h+1)
s_tri=array(0,c(h+1,nbre))
for ( i in 1:(h+1)){
#on trie les valeurs par date.
s_tri[i,]=sort(s[i,])
s_quant99[i]=s_tri[i,n*nbre]
111
Xavier Brugirard
Annexe 4 : Construction de scénarios pour la variable
« confiance des ménages » (Partie 5)
On dit que ( )
est un processus stochastique, c'est-à-dire une suite de variables aléatoires
indicée par le temps, et que ( ) une trajectoire du processus ( ) , c'est-à-dire la réalisation de ce
processus stochastique. Nous allons étudier la série « confiance des ménages ».
Saisonnalité
Tout d’abord, une étude graphique nous permet de dire s’il y a présence d’une saisonnalité
évidente dans la série dont nous disposons. En abscisse se trouve le numéro du mois : juillet 1992 est
le premier mois et l’historique court jusqu’à décembre 2011 (mois 234).
Figure 58 : Historique de la « confiance des ménages » depuis juillet 1992.
L’historique ne semble pas avoir de saisonnalité évidente. Nous n’allons donc pas effectuer de
« désaisonnalisation » de notre série.
Test de tendance (stationnarité)
Les processus stationnaires (sans tendance) sont des processus dont la loi ne varie pas au
cours du temps. On définit la stationnarité du second ordre (au sens faible) du processus ( ) si son
espérance, sa variance et sa covariance sont indépendants. Mathématiquement il doit vérifier :
( )
(i)
(constante ne dépend pas de t) et ( )
(
)
(ii)
(constante ne dépend pas de t)
(iii)
(
)
( ) (pour un pas h, ne dépend pas de t)
Nous avons cherché la présence de tendance grâce au test de Dickey-Fuller. En sortie du test,
si la p-value est supérieur à 5%, on ne rejette pas l’hypothèse nulle d’une racine unitaire, et il y a donc
présence d’une tendance. Dans ce cas de figure, il est nécessaire de différencier la série et de réitérer
le test jusqu’à ce que la p-value soit inférieure à 5%, c’’est à dire jusqu’à ce que l’on accepte le test.
112
Xavier Brugirard
Notons CM_di<-diff(HCM[,2],differences=i) la différence i-ème de la série « Historique de la
confiance des ménages » (HCM) et observons le test de Dickey-Fuller (adf.test) pour la série non
différenciée.
> adf.test(HCM[,2])
Augmented Dickey-Fuller Test
data: HCM[, 2] (« Historique de la confiance des ménages »)
Dickey-Fuller = -2.1812, Lag order = 6, p-value = 0.4996
alternative hypothesis: stationary
La p-value étant égale à 50%>5%, il est nécessaire de différencier la série une fois et de
rééffecter le test. Notons les résultats pour les différences première, seconde et troisième.
> adf.test(CM_d1) Dickey-Fuller = -5.5038, Lag order = 6, p-value = 0.01
Le test est accepté pour les 3 différenciations, nous allons effectuer un test alternatif pour
déterminer le nombre de différenciations (p) à effectuer sur la série de « confiance des ménages ».
> VARselect(HCM[,2], lag.max = 10, type = c("const", "trend", "both", "none"),season = NULL,
exogen = NULL)
AIC(n)
HQ(n)
SC(n)
FPE(n)
3
3
3
3
Quelque soit le test que nous souhaitons observer, le résultat reste le même, il est nécessaire
de différencier la série 3 fois. Le test de Dickey-Fuller acceptant les deux premières différenciations
nous avons étudié la première et la troisième différenciation.
Identification du modèle
L’identification du modèle consiste à déterminer les paramètres de la série temporelle ARMA et
donc de donner les valeurs de p et q. Pour cela, nous observons les fonctions d’autocorrélation et
d’autocorrélation partielle. Lorsque la fonction d'autocorrélation partielle (pafc) devient très petite, nous
obtenons l’ordre p de la partie « AR » de la série tandis que lorsque la fonction d'autocorrélation (afc)
devient très petite, nous obtenons l’ordre q de la partie « MA » de la série.
Figure 59 : Fonctions d'autocorrélation et d'autocorrélation partielles de la série différenciée une fois.
113
Xavier Brugirard
Pour la différence première, la fonction d’autocorrélation partielle est négligeable, nous
choisissons donc p=0 tandis que la fonction d’autocorrélation devient négligeable après la première
valeur donc q=1.
Figure 60 : Fonctions d'autocorrélation et d'autocorrélation partielles de la série différenciée une fois.
Pour la différence troisième, la fonction d’autocorrélation partielle est négligeable après les deux
premières valeurs, nous choisissons donc p=2 tandis que la fonction d’autocorrélation devient
négligeable après la première valeur donc q=1.
Une méthode alternative pour déterminer les paramètres de la série temporelle consiste à
utiliser la fonction dédiée par R « auto.arima ».
> auto.arima(CM_d1,max.p=15, max.q=15,d=0,trace=FALSE,test="adf",stationary=F)
ARIMA(0,0,2) with zero mean
> auto.arima(CM_d3,max.p=15, max.q=15,d=0,trace=FALSE,test="adf",stationary=F)
ARIMA(2,0,1) with zero mean
Cette fonction nous donne les mêmes résultats pour la différenciation d’ordre 3 mais pas pour la
différenciation d’ordre 1. Les deux tests précédents ayant confirmé que la différence troisième était la
meilleure différenciation, c’est celle que nous avons étudiée. De cette façon, la série « confiance des
ménages » différenciée 3 fois est un ARMA(2,1). Nous pouvons donc écrire le modèle comme un
mélange d’un modèle MA(1) et AR(2) de la façon suivante.
,
et
La suite ( )
(i)
(ii)
(iii)
des coefficients dans ℝ
un bruit blanc faible, c'est-à-dire une série qui vérifie :
( )
( )
(
)
la variance de la trajectoire ( )
114
Xavier Brugirard
Estimation des paramètres
Voici les coefficients obtenus par R :
Coefficient
Estimate
Std. Error
-0,640245
0,064865
-0,190450
0,064983
-0,970630
0,013188
5,039
Figure 61 : Coefficients de la série temporelle ARMA(2,1)
À partir de cette paramétrisation, nous pouvons trouver le scénario central pour la « confiance
des ménages » puis générer des scénarios en se servant de la volatilité de la série ( ) .
115
Xavier Brugirard
Annexe 5 : Méthodes alternatives de modélisation des
rachats dynamiques et idées à développer
Durant le temps imparti pour rédiger ce mémoire, nous avons eu l’occasion de tester des
méthodes diverses et variées avant d’aboutir à la méthode exposée dans le mémoire. Dans cette partie,
nous allons exposer certaines d’entre elles et proposer des pistes d’étude alternatives ou
complémentaires au présent travail.
La Régression Logistique
Nous avons observé, à la lecture des mémoires traitant des rachats dynamiques ([7] et [10]),
que presque tous utilisaient la régression logistique pour trouver un modèle de régression, ou tout du
moins les variables les plus explicatives dans le modèle.
La régression logistique est une technique classique de classification. Une approche de la
classification probabiliste consiste à identifier les fonctions de régression des indicatrices de classe. Le
modèle logistique est le mieux adapté à ce travail, il permet en effet d’estimer des probabilités a
posteriori très puissante. Généralement, la Régression logistique est utilisée pour des problèmes à
deux classes mais elle peut être étendue au cas multi-classes si chacune des classes est assez
représentative. Les prédicateurs sont les variables indépendantes qui sont utilisées dans la régression.
Elles peuvent être numériques ou nominales.
Dans notre problème, on imagine aisément l’application d’une régression logistique à deux
classes : Y=1 si rachat et Y=0 sinon. Cependant, deux problèmes surviennent :

La proportion de modalités égales à 1 de la variable explicative (Y=1 si rachat) doit être d’au
moins 5%. Si l’on compte simplement le nombre de lignes ou la variable explicative est égale à
1 par rapport aux lignes ou elle est égale à 0, nous observons que ce rapport est inférieur à
3,5%. Les résultats d’une telle régression ne seraient donc pas assez robustes.

Si l’on garde la base de données brute, nous devons travailler sur une table d’environ 35Go.
S’en suit des problèmes de temps de traitement.

Étant donné la taille de nos bases, on pense à agréger des lignes en fonction par exemple de
l’âge du client ou de l’ancienneté du contrat. Nous calculons ensuite un taux de rachat total
pour chacune des nouvelles lignes obtenues. La régression logistique n’est donc plus
applicable étant donné que chacun des taux obtenu est différent et donc entre dans une
nouvelle classe, non représentative (une seule observation par classe, c’est moins de 5%).
Une solution à ce problème pourrait être de catégoriser les variables quantitatives explicatives
avec des tranches les plus fines possibles mais possédant suffisamment d’observations. Il faut ensuite
effectuer une régression sur chacune de ces classes. Ceci reste cependant difficile à interpréter et
encore plus délicat à intégrer dans le cadre du modèle d’un assureur sous Solvabilité II.
116
Xavier Brugirard
Quelques autres variables intéressantes à étudier
Les variables dont nous nous sommes principalement servies dans ce mémoire sont les
suivantes :

Volatilité du CAC 40 (plusieurs calculs avec ou sans décalage)

Cotation « BBB-AAA »

Confiance des ménages et des industries.

Une étude des périodes de crise entre janvier 2007 et mars 2012.
Nous avons fait le choix de ces variables avec l’équipe d’ingénierie financière de chez Cardif.
Cependant, il aurait été possible de choisir d’autres variables pour notre problématique. Voici quelques
exemples de variables intéressantes à étudier mais que nous n’avons pas retenues soit parce que nous
en avons fait l’étude trop tard dans la rédaction du mémoire, soit parce que leur corrélation avec les
taux de rachats est inférieure à celle des variables sélectionnées :
 Le taux de chômage INSEE. Cette variable peut être assimilée à la confiance des ménages.
Nous pouvons imaginer que la confiance des ménages envers les marchés financiers est
inversement proportionnelle au taux de chômage. Cependant, notre étude est basée sur une
population particulière, à savoir les épargnants en assurance vie possédant un contrat chez
BNP Parias Cardif. Ce taux a des chances d’expliquer partiellement les rachats effectués par

les clients « Retail » mais probablement pas les clients « BPF » possédant un avoir important.
La différence entre le taux souverain 10 ans et le spread accordé pour des entreprises
notées BBB (notons « Taux souverain 10ans – BBB »). Cette variable, au même titre que la
variable « BBB-AAA » permet de prendre en compte le marché obligataire dans l’étude.
Cependant, la variable « Taux souverain 10ans – BBB » prend en compte en plus le taux
souverain et donc la qualité du pays dans lequel l’étude est faite. L’observation de cette
variable améliorera probablement la qualité d’interprétation des résultats dans le cas où le pays
d’observation change de note au cours de l’historique d’observation. Cette variable aurait donc
pu avoir un impact entre janvier 2012 et mars 2012 (la note de la France ayant été dégradée de

AAA à AA+).
La différence entre le taux du livret A et le taux OAT 10 ans, de la même façon. Cet
indicateur illustre les arbitrages des ménages de façon limitée, l’avoir des particuliers déposé
sur leurs contrats d’assurance vie dépassant assez vite le plafond du livret A, cet indicateur

renseignera sur les arbitrages faits en dehors des contrats d’assurance vie.
L’observation du taux d’intérêt dit « réel », qui est la différence entre le taux nominal et le
3
taux d’inflation (ce taux découle de l’équation de Fisher ) peut aussi être intéressante puisqu’il
ne prend pas en compte l’impact de l’inflation.
Ces variables sont intéressantes à étudier mais ne donnent pas toute des résultats
satisfaisants, c’est pour cette raison que nous ne les avons pas retenues.
Les modèles VAR (Vectoriels AutoRégressifs)
La première alternative au modèle de régression logistique est le modèle VAR (Vectoriels
AutoRégressif). Ce modèle est l’un des plus puissants et flexibles si l’on souhaite analyser des séries
temporelles multivariées. C’est d’ailleurs l’extension multivariée des séries temporelles univariées
(ARMA) développées en annexe pour la projection de la série « confiance des ménages ». Le modèle
3
Theory of Interest, publié en 1907 puis republié en 1930
117
Xavier Brugirard
4
VAR a fait ses preuves en termes de description et de prévisions de séries dynamiques d’indicateurs
économiques et financiers. Ce modèle semble mieux adapté que la régression logistique étant donné
que la prédiction prend en compte véritablement l’évolution temporelle des variables sous-jacentes.
Cependant, cette modélisation reste éloignée de la façon dont les rachats dynamiques sont
actuellement codés dans le modèle de projection des flux de BNP Paribas Cardif.
Les modèles linéaires rencontrent le même problème mais nous avons tout de même choisi de
développer la méthodologie d’approche de modélisation de ceux-ci pour enrichir les méthodes
abordées dans le mémoire.
Les Modèles linéaires
Les modèles linéaires semblent être parfaitement adaptés, en théorie tout du moins, à la
création de lois de rachats dynamiques. C’est pourquoi nous allons développer rapidement la marche à
suivre pour trouver un modèle de régression linéaire liant les variables explicatives au taux de rachats
dynamiques. De la même façon que dans notre étude, il est nécessaire de calibrer six modèles linéaires
pour les taux de rachats partiels et totaux subdivisés pour « BPF », « Retail » et tout « BDDF ».
Les variables, test de linéarité
Avant tout travail sur des modèles linéaires, il est nécessaire de vérifier la linéarité des variables
injectés dans le modèle par rapport à la variable de régression, ici le taux de rachats. Pour cela, nous
avons effectuées un test de covariance. Les variables pour lesquelles le test est refusé doivent être
découpées en morceaux linéaires.
Prenons par exemple l’ancienneté du contrat. Cette variable n’est pas linéaire dans le temps
par rapport au taux de rachats, on pense notamment aux pics à 4 et 8 ans nettement visibles sur la
figure 8 de la partie 2, III.1.2. Notons néanmoins que l’étude de cette variable est un cas particulier
puisqu’elle n’est même pas linéaire par morceaux. Il ne nous est donc pas possible d’intégrer la variable
ancienneté telle quelle dans le modèle, c’est pourquoi nous avons créé des « variables design » pour
l’ancienneté. L’étude précédente du taux de rachats en fonction de l’ancienneté a mis en lumière qu’audessus de 20 ans d’ancienneté, nous n’avons pas assez de données et donc nous obtenons des
résultats aberrants. C’est pour cela que nous allons découper notre ancienneté en 20 variables design.
Nous avons codé la variable de la façon suivante pour une date fixée :
Variables
anc_1
anc_2
anc_ 3
anc_4
anc_5
…
anc_20_supp
0
0
0
0
0
0
…
0
1
1
0
0
0
0
…
0
2
1
1
0
0
0
…
0
design
anc
4
3
1
1
1
0
0
…
0
…
…
…
…
…
…
…
…
20
1
1
1
1
1
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
38
1
1
1
1
1
…
1
L. Ferrara, « Séries Temporelles Avancées, Polycopié de Cours », Université Paris Ouest Nanterre, 2011-2012
118
Xavier Brugirard
Nous avons donc créé 20 « variables design » comme suit :

anc_i pour i[1,19] correspond au passage de anc = i-1 à anc = i

anc_20_sup est la « variable design » qui correspond à toutes les anciennetés
supérieures à 20 ans
Mathématiquement, si nous notons pour simplifier X l’ensemble des variables explicatives du modèle
(hormis l’ancienneté) nous obtenons :
(
)
|
et donc le passage de l’ancienneté i-1 à i correspond à la différence des espérances suivantes :
(
|
)
(
|
)
Les variables et le décalage à appliquer
Pour les variables macroéconomiques telles que le CAC 40, nous avons vu qu’il est nécessaire
de vérifier s’il est opportun d’appliquer un décalage. En effet, les assurés peuvent prendre un certain
temps avant de réagir et d’entamer une procédure de rachat sur leur contrat. La modélisation de ce
décalage peut se faire de deux façons :

Soit en intégrant plusieurs variables dans le modèle linéaire, à savoir la variable elle-même,
puis décalée d’un mois, de deux mois…

Soit en modélisant le décalage directement grâce à des modèles mixtes.
Les modèles mixtes étant lourds à mettre en œuvre pour une table de cette taille, nous avons
injecté dans le modèle toutes les variables macroéconomiques ainsi que plusieurs décalages.
L’observation étape par étape de la p-value nous permettra de sélectionner les variables explicatives.
Les variables macroéconomiques
L’ensemble des variables de marché disponibles sont les suivantes :

Le CAC 40 avec un et deux mois de décalage et sans décalage.

La Variation mensuelle du CAC 40 avec un et deux mois de décalage et sans décalage.

La Volatilité mensuelle du CAC 40 calculée par la méthode 1 (avec et sans décalage)

La Volatilité de Parkinson mensuelle du CAC 40 (avec et sans décalage)

La Volatilité de Garman et Klass mensuelle du CAC 40 (avec et sans décalage)

Cotation « BBB-AAA »

Confiance des ménages et confiance des industries
Méthode
Dans un premier temps, nous avons testé les 3 différentes volatilités et sélectionné celle pour
laquelle le modèle a le critère de AIC le plus faible. Nous avons ensuite effectué une sélection
descendante des variables et éliminé la variable obtenant la plus grande ρ-value si celle-ci est
supérieure à 20%.
119
Xavier Brugirard
La volatilité de Garman et Klass minimise l’AIC, c’est donc ce calcul qui sera retenu dans le
modèle interne final. Dans un premier temps, le modèle s’écrira donc :
∑
∑
(
)
(
∑
)
é
(
)
∑
Où
di le décalage de i mois
, , , , , et des constantes de
ℝ pour i=1,2 et j=1…20.
Prenons par exemple les rachats partiels en montant. Le modèle linéaire obtenu après sélection
des variables ayant une ρ-value supérieure à 20% est le suivant.
∑
∑
(
)
∑
Les variables suivantes ont été retirées du modèle linéaire sont :

Volatilité du CAC 40 (GK) décalée d’un mois

La confiance des ménages

BBB-AAA
Test des résidus
Lors d’une modélisation, il est important d’examiner la qualité des résultats en comparant les
données observées et les valeurs prédites. Nous allons effectuer une analyse des résidus pour étudier
cela puisque les résidus sont par définition la différence entre les données et les valeurs prédites par le
modèle. Notre modèle suppose que la régression sous-jacente est linéaire et donc que les erreurs sont
indépendantes et issues d’une loi normale de variance constante.
Fondamentalement, l’analyse que l’on effectue sur les résidus d’une modélisation linéaire
consiste à étudier la distribution de ceux-ci. Un modèle peut être considéré comme bon lorsque les
résidus vérifient des propriétés de normalité, linéarité, homoscedasticité et indépendance.
Test de normalité globale des résidus
Dans un modèle parfait, les résidus sont dus à une erreur de mesure des données. L’ensemble
des résidus doit donc respecter une distribution normale centrée réduite. Nous pouvons tout d’abord
effectuer une observation graphique : les résidus doivent être symétriquement distribués autour de 0,
en cloche avec un aplatissement régulier des extrémités.
120
Xavier Brugirard
Test Graphique
Après avoir ordonné les résidus, leur répartition est proche d’une normale comme nous
pouvons l’observer sur l’histogramme de ses valeurs
Figure 62 : Graphiques de la distribution des résidus du modèle linéaire pour les rachats partiels en montants
Diagramme Quantile - Quantile
Le diagramme Quantile-Quantile (ou Q-Q plot) est un outil graphique proposé par les logiciels
statistiques permettant d’évaluer la pertinence d’un ajustement d’une distribution de données à un
modèle théorique. Ce diagramme compare la position théorique et réelle des quantiles.
Concrètement, il s’agit de 4 étapes

Trier les données de taux de rachats de façon croissante, notons la série r(i). Pour un
r(i), on associe la fonction de répartition empirique
5


Calculer les quantiles q(i) d’ordre Fi de la loi normale centrée réduite
()
Enfin, on dénormalise les données en ( )
̅ pour observer ces résultats
plus aisément. Nous allons donc tracer les points d’abscisse ( ) et d’ordonnées ( ). Cette
droite est appelée droite de Henry.
5
G. Saporta, « Probabilités, analyse des données et statistique », édition révisée 2011 page 361.
121
Xavier Brugirard
L'appréciation de l'alignement des points le long de la bissectrice peut être considérée comme
subjective. Toutes les déviations par rapport à l’alignement peuvent être repérées et analysées. Ici,
nous remarquons que l’intervalle centré en la moyenne (= 0) et de longueur égale à 3 fois l’écart-type
contient la quasi-totalité des valeurs. De plus, malgré un écart de plus en plus important à partir de 1,5,
la boîte de distribution est à peu près symétrique, les valeurs les plus élevées n’étant pas aberrantes
Nous choisissons donc de ne pas rejeter l’ajustement par une loi Normale centrée réduite des résidus.
Remarquons que cette hypothèse est la moins importante car le modèle linéaire est robuste à la
normalité et les résidus suivent asymptotiquement une loi normale (i.e. pour des grands échantillons).
Comme notre échantillon est grand, on peut accepter cette hypothèse.
Test de normalité des résidus en fonction des valeurs prédites
Nous observons un nuage de points obtenu avec les données prédites en abscisse et les
résidus en ordonnées.
La théorie de Tabachnick et Fidell (1996) dit que« si toutes les hypothèses sont vérifiées, les
résidus seront distribués presque rectangulairement avec une concentration de scores le long du centre
» (p. 137). Tout le problème est de quantifier le « presque ». Dans notre cas, les données sont bien
concentrées le long du centre, mais en revanche il y a des valeurs aberrantes mais en quantité
modérée. Nous ne rejetons donc pas l’hypothèse de normalité des résidus en fonction des valeurs
prédites.
Linéarité de la relation
Nous reprenons le graphique précédent des résidus en fonction des prédictions. Pour avoir une
bonne linéarité il ne doit pas exister de relation évidente entre les résidus et les prédictions. Nous
trouvons une relation légèrement incurvée, il manque donc probablement un prédicateur non linéaire
dans le modèle.
122
Xavier Brugirard
Homoscédasticité / hétéroscédasticité
Homoscédasticité des résidus signifie que leur dispersion est homogène tout au long de la
prédiction. Sur le graphique précédent, la dispersion des résidus est représentée par la courbe rouge.
Cette droite devrait être parallèle à l’axe des abscisses. C’est notre cas sur la première moitié du
graphique mais pas sur la seconde. Il semble donc y avoir hétéroscédasticité de nos résidus.
L’hétéroscédasticité peut apparaître dans plusieurs cas :

Lorsque l’une des deux variables n’est pas normale. Nous avons déjà vérifié et validé
cette hypothèse.

Lorsqu’il existe une relation particulière entre deux variables : C’est le cas du CAC 40 et
de sa volatilité par exemple, ou alors du taux de rachat qui est très fortement corrélé à
l’ancienneté (on pensera aux pics de 4 et 8 ans).

Si l’erreur de mesure change selon le niveau d’une ou plusieurs des variables. Nous
n’avons pas ce problème, l’ensemble des données étant enregistré de la même façon.
Résultats et implémentation dans le modèle
Nous avons décrit la construction d’un modèle linéaire reliant les taux de rachats à des
variables dynamiques tels que le cours du CAC 40. Cette méthode est en annexe car dans le modèle
actuel développé par Cardif, une loi de ce type ne peut pas être implantée. Cela demanderait beaucoup
de modification du modèle pour un impact probablement modéré. Il faut bien sûr mesurer l’impact d’une
telle loi sur le SCR ou le BEL, de la même façon que nous l’avons fait pour nos lois de rachats
dynamiques.
Pour améliorer la modélisation linéaire, nous pouvons modéliser l’écart de taux entre la
moyenne des rachats et les taux réels. Cette modélisation se base sur l’hypothèse que l’espérance des
taux de rachats est égale au taux de rachats structurels. Et donc que toute déviation de cette valeur
« moyenne » est due à la composante dynamique de ces même taux.
123

MEMOIRE BRUGIRARD Xavier

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