Première S2 Chapitre 15 : applications du produit scalaire

Première S2
2007 2008
Chapitre 15 : applications du produit scalaire.
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Au XIX e siècle, le mathématicien allemand Grassmann ( 1809 - 1877 ) étudiant le phénomène des marées,
développe le calcul vectoriel et définit le produit scalaire. Ce nouveau concept a de nombreuses applications en
mécanique et en électromagnétisme. En mathématiques, il permet de caractériser l'orthogonalité et d'établir
aisément des relations entre les angles ou les longueurs des côtés d'un triangle. Ces relations connues depuis
l'antiquité au moins, permirent aux astronomes Delambre et Méchain de calculer, à la révolution française, la
mesure d'un arc de méridienne donnant ainsi naissance à une nouvelle unité : le mètre.
1 Equations de droites.
Définition :
Soit D une droite.
Soit Å
u un vecteur non nul.
Å
u est un vecteur normal à la droite D si et seulement si
Å
u est un vecteur orthogonal à un vecteur directeur de la droite D.
Dessin : voir feuille annexe.
Propriété : équation d'une droite à l'aide d'un vecteur normal.
Soit D une droite.
Soit Å
n ( a ; b ) un vecteur normal à la droite D.
Alors une équation cartésienne de D s'écrit : ax + by + c = 0.
Réciproque :
Soient a et b deux nombres non nuls,
Alors l'équation ax + by + c = 0 est une équation d'une droite D ayant Å
n ( a ; b ) pour vecteur normal.
Démonstration : voir feuille annexe.
E1 Savoir déterminer des équations de droites.
P 235 n ° 31 ; n ° 32 b ) ; n ° 33 et n ° 67 a ).
2 Equations de cercles.
Propriété : le cercle de diamètre [ AB ] est l'ensemble des points M tels que Ä
AM . Ä
BM = 0.
Exemple :
Soient A ( - 1 ; 3 ) et B ( 2 ; 2 ) deux points du plan. Trouver une équation du cercle de diamètre [ AB ].
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Propriété : équation d'un cercle. Soit M ( x ; y ) un point du plan.
Soit C un cercle de centre Ω ( a ; b ) et de rayon R.
Alors M appartient au cercle C si et seulement si ( x − a )² + ( y − b )² = R².
Démonstration : voir feuille annexe.
E2 Savoir déterminer des équations de cercles.
P 235 n ° 35 ; n ° 36 a ) ; n ° 68 ; n ° 69 a ) et n ° 70.
3 Application à la trigonométrie.
Formules d'addition :
Quelques soient les réels a et b : cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
sin ( a − b ) = cos b sin a − sin b cos a
sin ( a + b ) = cos b sin a + sin b cos a
Formules de duplication :
sin ( 2a ) = 2 sin a cos a
cos ( 2a ) = cos ² a − sin ² a
cos ( 2a ) = 2 cos ² ( a ) − 1
cos ( 2a ) = 1 − 2 sin² ( a )
Démonstrations : voir feuille annexe.
E3 Trigonométrie.
P 235 n ° 38 ; n ° 39 ; n ° 40 ; n ° 75 ; n ° 76 ; n ° 77 ; n ° 78 et n ° 79.
4 Quelques exemples simples de détermination de lieux géométriques.
Soient A et B deux points distincts.
Soit Å
u un vecteur fixé. Soit k un nombre réel.
Alors l'ensemble des points M qui vérifient Å
u.Ä
MA = k s'appelle la ligne de niveau k de l'application du plan
dans : M a Å
u .Ä
MA .
Cet ensemble est une droite admettant Å
u comme vecteur normal.
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Soient A et B deux points distincts. Soit I le milieu du segment [ AB ]. Soit k un nombre réel.
Alors l'ensemble des points M qui vérifient Ä
MA . Ä
MB = k s'appelle la ligne de niveau k de l'application du plan
dans : M a Ä
MA . Ä
MB .
Cet ensemble est un cercle de centre I , le point I ou l'ensemble vide, selon les valeurs de k.
Soient A et B deux points distincts. Soit k un nombre réel.
Alors l'ensemble des points M qui vérifient MA² − MB² = k s'appelle la ligne de niveau k de
l'application du plan dans : M a MA² − MB². Cet ensemble est une droite perpendiculaire à la droite ( AB ).
Soient A et B deux points distincts.
Soit I le milieu du segment [ AB ].
Soit k un nombre réel.
Alors l'ensemble des points M qui vérifient MA² + MB² = k s'appelle la ligne de niveau k de
l'application du plan dans : M a MA² + MB²
Cet ensemble est un cercle de centre I , le point I ou l'ensemble vide, selon les valeurs de k.
A et B sont deux points fixés.
AB = 6 cm.
Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que Ä
AM. Ä
AB = 3.
E4 Recherche d'ensembles de points.
P 239 n ° 81. a. et b.
A et B sont deux points du plan tels que AB = 4.
1)
2)
3)
Construire la ligne de niveau MA² − MB² = 32.
Quel est l'ensemble des points M du plan vérifiant Ä
AM. Ä
BM = 32 ?
Quel est l'ensemble des points M du plan vérifiant MA² + MB² = 32 ?
Test de compréhension du chapitre 15.
1)
Donner la définition d'un vecteur normal à une droite D.
2)
Donner une équation cartésienne d'une droite à l'aide des coordonnées de son vecteur normal.
3)
Déterminer à l'aide d'un produit scalaire le cercle de diamètre [ AB ].
4)
Donner une équation cartésienne d'un cercle de centre A et de rayon R.