Les pourcentages

Les pourcentages – les proportions – les taux d’évolution
1. Présentation à partir du document ressource 1ère STG (mai 2006)
Le langage courant et les média utilisent le mot «
pourcentage » avec des sens divers, ce qui entraîne
bien souvent confusions et incompréhensions chez les
élèves comme chez beaucoup d'adultes. Il suffit pour
s'en convaincre de comparer les phrases suivantes :
« Le pourcentage de filles est 25 % dans le lycée » ;
« Le nombre de filles a augmenté de 25 % » ;
« Le pourcentage de filles a augmenté de 25 % » ;
« le pourcentage de filles a augmenté de 25 points ».
En soi,
le pourcentage n'est rien d'autre qu'une façon
d'écrire les nombres décimaux ( z % 
z
).
100
On l'utilise couramment pour écrire les fréquences et
les taux d'évolution (et bien d'autres choses,
notamment les multiples ratios de l'analyse
économique (part de budget, taux d'épargne, taux
d'autofinancement, taux d'imposition, taux de
couverture des importations par les exportations), ou
encore les probabilités...).
Mais
ce sont les propriétés des fréquences et des taux
d'évolution qui doivent être explicitées.
On note que ces deux propriétés n'ont rien à voir
avec les pourcentages : elles restent vraies si p et p'
sont écrits sous forme décimale ou fractionnaire.
Un usage tenace consiste pourtant à les appeler
respectivement « addition de pourcentages » et «
pourcentage de pourcentage ».
La propriété (a) admet deux extensions :
- D'une part elle s'étend à un nombre quelconque de
sous-populations deux à deux disjointes.
Notamment dans le cas d'une partition, elle conduit
à  fi  1 ;
- D'autre part elle permet d'établir que, dans tous les
cas, f E  A  B   f E  A  f E  B   f E ( A  B) : propriété
plus précise que la simple remarque « si les souspopulations ne sont pas disjointes, les proportions
ne s'ajoutent pas ». […]
2) Taux d'évolution (ou variation relative).
Les économistes l'appellent souvent taux de
croissance, ce qui peut déconcerter dans le cas où sa
valeur est négative.
L'expression
variation relative qui désigne
Traiter ensemble ces deux notions très différentes, sous
prétexte qu'elles s'écrivent toutes deux sous forme de
pourcentage, conduit à des acrobaties de langage qui
ne font qu'entretenir la confusion. C'est pourquoi le
programme a nettement séparé les deux chapitres «
fréquences » et « taux d'évolution ».
1) Fréquence (ou proportion)
La fréquence de A dans E peut éventuellement se
noter f E ( A) , ce qui préparera la notation des
fréquences conditionnelles et des probabilités.
Elle a des propriétés simples, notamment :
(a) Si p est la proportion de A dans E, et p' la
proportion de B dans E, et si A et B sont
disjoints, alors p  p' est la proportion de
A  B dans E.
(b) Si p est la proportion de A dans E, et p' la
proportion de E dans F, alors pp' est la
proportion de A dans F.
Journées coordonnateurs 2012
y2  y1
y1
vise à la distinguer de la
variation absolue y2  y1 .
Dans cette définition, y1 et y2 sont deux nombres réels
strictement positifs : en pratique ce sont deux valeurs
successives d'une même grandeur, mesurées avec la
même unité.
Par suite, la variation relative est sans unité,
contrairement à la variation absolue. Par exemple, la
variation relative est la même pour une masse passant
de 20 g à 25 g et pour une masse passant de 20 kg à 25
kg.
Qu'elle soit relative ou absolue, une variation positive
est une augmentation (ou hausse) ; une variation
négative est une diminution (ou baisse).
Par exemple un taux d'évolution 0,2 est une
augmentation relative de 20 %, un taux d'évolution
0, 2 est une baisse relative de 20 %. Mais parfois ce
sont d'autres expressions qui sont employées : le
Pourcentages
Page 1 sur 5
salaire des cadres dépasse de 60 % (ou est supérieur de
60 % à) celui des employés …
Une variation relative peut s'exprimer sous forme
décimale, ou de fraction, ou de pourcentage. Mais par
convention, une variation exprimée en pourcentage est
toujours une variation relative.
Il est pourtant usuel de parler de « pourcentages
successifs » et de « pourcentage réciproque ».
D'ailleurs,
Cette convention universelle a entraîné un
glissement de sens du mot « pourcentage » : on dit
couramment « pourcentage d'augmentation » pour
désigner une augmentation relative exprimée en
pourcentage.
par exemple pour compenser une augmentation de
moitié, il faut une diminution d'un tiers.
Un travail très utile est de débusquer l'implicite dans
les expressions courantes : une augmentation de 10 %
est une augmentation relative, une augmentation de 0,1
est une augmentation absolue, une augmentation d'un
dixième peut être absolue ou relative selon le contexte

Une phrase comme la suivante (Nouvel Observateur, 8
mars 2004) mérite un travail de décryptage :
Aujourd'hui, l'écart moyen de rémunération entre les
sexes reste de 25 %, alors que les femmes représentent
45 % de la population active. Par ailleurs, 80 % des
smicards sont des femmes et le taux de chômage
féminin est environ de deux points supérieur à celui
des hommes.
La première affirmation notamment est ambiguë :
veut-on dire que la rémunération des hommes est
supérieure de 25 % à celle des femmes, ou bien que
celle des femmes est inférieure de 25 % à celle des
hommes ? Les deux assertions ne sont pas
équivalentes.
Elle a aussi engendré des pièges :
- « Si on augmente de 5 m le côté d'un carré, son aire
augmente de 10 %. » : la première expression «
augmente de » renvoie à une augmentation absolue,
alors que la deuxième renvoie à une augmentation
relative !
- « La cote de popularité du président passe de 40 % à
50 % : quel est le pourcentage de hausse ? » S'il s'agit
de hausse relative, la réponse est 25 % ; s'il s'agit de
hausse absolue, la réponse est 10 % : mais cette
deuxième réponse contredirait la convention ci-dessus,
on parlera donc d'une hausse de 10 points.
Le taux d'évolution a une propriété essentielle, qui
découle immédiatement de la définition :
dans certains cas, le langage des fractions peut
être plus évocateur que celui des pourcentages :
Dire que t est le taux d'évolution entre y1 et y2
équivaut à dire que y2  y1 (1  t ) .
Autrement dit :
y2
 1 t .
y1
Il est commode d'appeler ce nombre 1  t coefficient
multiplicateur, ou plus simplement multiplicateur, et
de s'habituer à l'utiliser systématiquement. Il est en
effet très efficace pour étudier les évolutions
successives et les évolutions réciproques, permettant
notamment de démontrer que :
- si t est le taux d'évolution de y1 à y2 , et t' le taux
d'évolution de y2 à y3 , alors le taux d'évolution
de y1 à y3 est 1  t  1  t   1 .
- si t est le taux d'évolution de y1 à y2 , alors le
taux d'évolution de y2 à y1 est
1
1 .
1 t
On note à nouveau que ces propriétés n'ont rien à
voir avec les pourcentages : elles restent vraies si t
et t' sont écrits sous forme décimale ou
fractionnaire.
Journées coordonnateurs 2012
Pourcentages
Page 2 sur 5
2. Dans les programmes de collège
Sixième
Pourcentages
- Appliquer un taux de
pourcentage
Cinquième
Pourcentages
- Mettre en œuvre la
proportionnalité dans les cas
suivants :
- comparer des proportions,
- utiliser un pourcentage,
- * calculer un pourcentage,
- * utiliser l’échelle d’une carte
ou d’un dessin,
- calculer l’échelle d’une carte ou
d’un dessin,
- Déterminer le pourcentage
relatif à un caractère d’un groupe
constitué de la réunion de deux
groupes dont les effectifs et les
pourcentages relatifs à ce
caractère sont connus.
- Calculer des effectifs,
- * Calculer des fréquences.
- Regrouper des données en
classes d’égale amplitude.
Quatrième
1.1 Utilisation de la
proportionnalité
Calculs faisant
intervenir des
pourcentages.
1.4 Représentation
et traitement de
données
Effectifs.
*Fréquences.
Classes.
Troisième
Fonction linéaire.
Coefficient directeur
de la droite
représentant une
fonction linéaire.
3. A propos du symbole %
Référence : les pages wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pourcent et
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pourcentage
On trouve dans la brochure « Le Système international
d'unités » du bureau international des poids et mesure
(Pavillon de Breteuil à
Sèvres)http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_
8_fr.pdf
en haut de la page 46
Dans les expressions mathématiques, le symbole %
(pourcent), reconnu internationalement, peut être utilisé avec
le SI pour représenter le nombre 0,01. Ainsi, il peut être
utilisé pour exprimer les valeurs des grandeurs sans
dimension. Quand il est utilisé, il convient de mettre un
espace entre le nombre et le symbole %. Lorsque l’on
exprime les valeurs des grandeurs sans dimension de cette
manière, il est préférable d’utiliser le symbole % plutôt que
le nom « pourcent ».
Dans un texte écrit, le symbole % signifie en général « un
pour cent ». Les expressions telles que « pourcentage de
masse », « pourcentage de volume », « pourcentage de
quantité de matière », ne doivent pas être utilisées ; les
informations sur la grandeur en question doivent être
données par le nom et le symbole de la grandeur.
Journées coordonnateurs 2012
Les élèves doivent connaître le sens de l’expression « …% de
» et savoir l’utiliser dans des cas simples où aucune technique
n’est nécessaire.
Un travail doit être conduit sur la comparaison relative
d’effectifs dans des populations différentes ou de proportions
dans un mélange. Il s’articule avec l’utilisation de l’écriture
fractionnaire pour exprimer une proportion.
Des situations issues de la vie courante ou des autres
disciplines permettent de mettre en œuvre un coefficient de
proportionnalité exprimé sous forme de pourcentage.
Dans le cadre du socle commun, utiliser l’échelle d’une carte
pour calculer une distance, calculer un pourcentage
deviennent exigibles.
Les élèves sont entraînés à lire, interpréter et représenter des
données en utilisant un vocabulaire adéquat dans des
contextes qui leur sont familiers. Le calcul d’effectifs
cumulés n’est pas un attendu.
* Les écritures 4/10, 2/5, 0,4 40 % sont utilisées pour
désigner une fréquence : elles permettent d’insister sur les
diverses représentations d’un même nombre.
L’utilisation de tableaux de proportionnalité permet de mettre
en place le fait que le processus de correspondance est décrit
par une formulation du type « je multiplie par a ». Cette
formulation est reliée à x ax .
Pour des pourcentages d’augmentation ou de diminution, le
fait que, par exemple, augmenter de 5 % c’est multiplier par
1,05 et diminuer de 5 % c’est multiplier par 0,95 est établi.
Lorsque l’on exprime les valeurs de fractions sans
dimension (par exemple fraction massique, fraction
volumique, incertitude relative etc.), il est parfois utile
d’employer le rapport entre deux unités de même nature.
Florian Cajori, A History of Mathematical Notations
http://www.archive.org/details/historyofmathema031756mbp
section 274 p. 312.
Pourcentages
Page 3 sur 5
4. Les compétences à construire au collège, en lien avec les quotients et les
pourcentages
Extrait du document ressource : le calcul numérique au collège
Classe de 6
ème
Calcul automatisé
- connaître les équivalences d’écriture :
1
1
1
; 0, 001 
;
0,1  ; 0, 01 
10
1000
100
1
1
3
1
0,5  ; 0, 25  ; 0, 75  ; 1,5  1 
2
4
4
2
1
1
et
,
10 100
1
1
1
1
entre
et
, entre (0,25) et (0,5)
100 1000
4
2
- connaître les relations entre
- donner ou reconnaître une écriture
fractionnaire d’un entier simple
- écrire une fraction simple sous la forme de
la somme d’un entier et d’une fraction
7
1
inférieure à 1, comme par exemple  2 
3
3
- comparer un nombre en écriture
fractionnaire à 1
- comparer deux nombres en écriture
fractionnaire de même dénominateur ou de
même numérateur
- connaître les écritures, décimale et
fractionnaire, des pourcentages suivants :
5 %, 10 %, 50 %, 25 %, 75 %
Classe de 5ème
Calcul automatisé
- additionner ou soustraire deux nombres
simples en écriture fractionnaire de même
dénominateur.
L’oral joue un rôle déterminant dans
l’automatisation de la procédure : « 3
septièmes + 5 septièmes = 8 septièmes »
1 1 3
1 3
  , 1 
4 4
2 4 4
- produire ou reconnaître dans des cas
simples une écriture fractionnaire d’un même
nombre, lui-même en écriture fractionnaire
- effectuer le produit de deux nombres
simples en écriture fractionnaire, comme par
- savoir que
Journées coordonnateurs 2012
Calcul réfléchi
- reconnaître dans des cas simples que deux écritures
fractionnaires sont celles d’un même nombre, comme par
1 3 2
6
exemple et , et
21
4 12 7
- multiplier un nombre entier ou décimal simple par un
3
nombre en écriture fractionnaire comme 100 ;
4
3
2
100 ; 3,5  .
4
5
- prendre une fraction simple d’une quantité, comme par
2
5
exemple de 125 g, de 15 L
3
5
- entretenir et développer les compétences travaillées à
l’école primaire et relatives au calcul, exact ou approché,
d’une somme, d’une différence de nombres entiers ou
décimaux, du produit d’un décimal par un entier, d’un
quotient de deux entiers
- appliquer un taux de pourcentage sur des nombres simples
comme par exemple 12 % de 350 ou 25 % de 120.
Plusieurs démarches sont possibles :
- en décomposant 350 en 300 + 50 et en utilisant le fait que
300 est le triple de 100 et 50 la moitié de 100
- en multipliant 350 par 12, en recourant à la distributivité
de la multiplication par rapport à l’addition, et en divisant
le résultat par 100
- en multipliant 3,5 par 12 et en utilisant pour cela le fait
que 3,5  2  7 et que 12  2  6 :
3,5 12  3,5  2  6  7  6 .
Pour 25% de 120, il est intéressant de savoir que 25% c’est
un quart.
Calcul réfléchi
- effectuer un calcul du type : 3  4  2,5 ; 3  4  2,5 ;
2,5
3
;
3
45
5
- multiplier un nombre positif par 0,25 ; par 0,5 en
1
1
s’appuyant sur les égalités 0, 25 
; 0,5  .
4
2
- effectuer la somme de deux nombres simples en écriture
fractionnaire dont le dénominateur de l’un est multiple de
1 1 2 3
l’autre comme  , 
3 6 7 14
- réduire au même dénominateur deux nombres simples en
écriture fractionnaire
- utiliser les expressions fractionnaires correspondantes pour
calculer 10 %, 25 %, 50 % d’une quantité
Pourcentages
Page 4 sur 5
exemple
.
Classe de 4ème
Calcul automatisé
- effectuer le produit de deux
nombres simples en écriture
fractionnaire où numérateurs et
dénominateurs sont des entiers
relatifs
- déterminer l’inverse d’un nombre
entier ou en écriture fractionnaire
- calculer un pourcentage dans des cas où les nombres sont
des entiers ou des décimaux simples et le rapport entre les
nombres est simple.
- utiliser les correspondances entre unités de longueur pour
traduire l’information donnée par une échelle sous forme
facilement exploitable comme par exemple pour une
1
échelle
, 1cm représente 2 km et inversement.
200 000
Calcul réfléchi
- déterminer une valeur approchée entière d’un quotient de deux
nombres décimaux (positifs ou négatifs)
3
10
- comparer deux nombres en écriture fractionnaire comme et
,
21
7
5
4 9 6
et
,
et
6
9 12 8
- effectuer la somme de deux nombres en écriture fractionnaire de
3 10
dénominateurs différents dans des cas simples comme  ;
7 21
3 1 9 6
 ;  .
4 6 12 8
2 1
- effectuer des calculs du type
 2;
3 6
- donner une écriture fractionnaire d’un quotient de deux nombres en
2 3 3
écriture fractionnaire simples comme par exemple 3 ; 4 ; 2 .
3 5 2
4 5
- déterminer une quatrième proportionnelle dans des cas simples.
Différentes stratégies sont possibles :
- identifier et utiliser le coefficient multiplicateur existant entre les
numérateurs ou les dénominateurs
- identifier et utiliser le coefficient multiplicateur entre le numérateur
et le dénominateur d’un des quotients
- utiliser le produit en croix
Classe de 3ème
Calcul automatisé
- déterminer le pourcentage de l’ancien prix que
représente le nouveau prix après une augmentation
ou une diminution de a%
Calcul réfléchi
- rendre irréductible une fraction dont numérateur et
dénominateur sont inférieurs à 100
- savoir que :
augmenter de 100 %, c’est multiplier par 2
augmenter de 50 %, c’est augmenter de moitié, c’est
multiplier par 1,5
diminuer de 50 %, c’est diminuer de moitié, c’est
diviser par 2 diminuer de 25 %, c’est diminuer d’un
quart, c’est multiplier par .
Journées coordonnateurs 2012
Pourcentages
Page 5 sur 5