cours calcul numérique

3ème
Cours calcul numérique
I Ecritures fractionnaires
a) Quotients égaux – égalité des produits en croix
Quotients égaux
Propriété :
On ne change pas un quotient en multipliant ou en divisant son numérateur et
son dénominateur par un même nombre non nul.
Exemples :
x 10
:7
− 3,7 − 37
=
0,4
4
− 35 (−5) × 7 − 5
=
=
42
6×7
6
x 10
:7
Egalité des produits en croix
Propriété :
Si a, b, c et d désignent des nombres relatifs avec b ≠ 0 et d ≠ 0,
a c
dire que = revient à dire que a×d = b×c.
b d
b) Addition et soustraction
Les dénominateurs sont les mêmes.
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire
de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on
garde le même dénominateur.
si k≠0, on a donc :
exemple :
a b a+b
+ =
k k
k
et
a b a−b
− =
b k
k
− 7 0,5 − 7 + 0,5 − 6,5
6,5
+
=
=
=−
3
3
3
3
3
1
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Les dénominateurs sont différents
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire
de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur en utilisant la
propriété des quotients égaux.
− 1 5 − 2 15 13
+ =
+
=
3 2
6
6
6
(on remplace chaque quotient par un quotient égal de dénominateur 6)
exemples :
c) Multiplication
Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Si a, b, c, d désignent des nombres (b ≠ 0 et d ≠ 0), alors :
a c a×c
× =
b d b×d
Exemple :
7  −8 
7×8
7× 4× 2
14
×  = −
=−
=−
4  3 
4×3
4×3
3
Il faut penser à simplifier avant d’effectuer les produits.
d) Nombres inverses - Division
Nombres inverses
Définition et propriétés :
Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.
1
( 2 et 0,5 ; 10 et 0,1 ; 3 et ; -5 et –0,2 …..)
3
1
L’inverse d’un nombre relatif a non nul ( ≠ 0) est le nombre .
a
-1
On le note aussi a .
2
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a et b désignant des nombres relatifs non nuls, l’inverse de
a
b
est .
b
a
Exemples :
L’inverse de 10 est
1
1
1
( soit 0,1) ; l’inverse de -6 est
ou - .( en effet –6 × 10
-6
6
1 -6
=
= 1 .)
6 -6
3-1 7
3
7
L’inverse de ; est . On peut noter   = .
7
3
3
7
On peut calculer la valeur approchée de l’inverse d’un nombre avec la calculatrice
en utilisant la touche x-1 ou 1/x
Attention : Il ne faut pas confondre inverse et opposé : l’inverse de 4 est
1
;
4
son opposé est – 4.
Division
Pour diviser par
c
d
(avec c≠0 et d≠0) on multiplie par son inverse
.
d
c
On a donc :
a
b a d
= ×
c b c
d
avec b≠0, c≠0 et d≠0.
Exemples :
•
•
− 5 3 − 5 4 − 20
: =
× =
.
7 4
7 3
21
2  7 2  3
6
÷−  = ×−  = −
5  3 5  7
35
3
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e) Méthode : Conduire un calcul
Exemple :Calculer B =
5 1 3  1
−  + × 2 ÷
4 8 8  2
4
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II Puissances d'un nombre relatif
a) Définition
Soit a un nombre non nul et n un entier positif :
on note " a exposant n" le nombre noté an égal à : an = a × a × a × ……. × a
n fois
n s'appelle l'exposant.
Exemples : 63 = 6 × 6 × 6 = 216
(-2)4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16.
b) Puissance et calculatrice
Les puissances de nombres peuvent se calculer à la machine ; il suffit d'utiliser
la touche
xy
ou
yx
ou
↑
ou
^
c) Cas particuliers
On admet les propriétés suivantes :
 0
1
1
-n
= n
 a = 1, a = a , a
a

1
…..
6²
exemples : 30 = 1 ; 171 = 17 ; 6-2 =
5
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d) Règles sur les puissances
Règle
Exemples
3
a × a = a
m
n
m + n
am
m – n
n = a
a
( am )n
= am × n
( a × b)n = an × bn
an an
  = n
b
b
4
3+4
7
=3
3 ×3 =3
3
2² × 3 : la règle ne s'applique pas
43
3-5
= 4-2
5 = 4
4
62
7
2-(-5)
=6
-5 = 6
6
(23)5 = 23×5 = 215
( 5 × 7)4 = 54 × 74
27 27
  = 7
5 5
e) Ecriture scientifique
Définition
Mettre un nombre sous forme scientifique, c'est l'écrire sous la forme a × 10n
ou -a × 10n , avec
1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
Exemples :
4503 = 4,503 × 103
0,081 = 8,1 × 10-2
182 = 1,82 × 10²
-0,00023 = -2,3 × 10-4
Application :
Mettre sous forme scientifique les nombres suivants :
433219 = 4,33219 x 105;
50000 = 5 x 104;
0,06 × 103 = 6 x 101;
405 × 10-10 = 4,05 x 10-8
6
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f) Ordre de grandeur
Exemple :
La France a environ 60 000 000 d’habitants ; 60 000 000 = 6 x 107
La population de la France se compte en dizaines de millions d’habitants ;
107 est l’ordre de grandeur de cette population.
g) Préfixes & puissances de 10
Puissance
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
préfixe
kilomégagigatérapétaexazettayotta-
symbole
K
M
G
T
P
E
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
millimicronanopicofemtoattozeptoyocto-
m
µ
exemple
kilogramme
mégatonne ; mégaoctet
gigawatt
térawatt ( puissance centrale nucléaire )
masse Neptune ≈ 1026 Kg
n
p
f
a
millilitre
microgramme
nanomètre ( taille des virus )
picomètre ( atomes )
femtomètre
structure de la matière: ex :
masse électron : 9,1 × 10-31 Kg
…………
cas particulier : l'angstrom : Ă ( 10-10 mètre )
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