Nombres fractionnaires Hexadécimaux

Nombres Fractionnaires hexadé cimaux
TS MAI
Nombres fractionnaires en HEXADECIMAL
1 Nombres fractionnaires en virgule fixe
1.1
Généralités
Un nombre fractionnaire comporte deux parties :
!"Une valeur entière,
!"Suivie d’une valeur fractionnaire.
Les deux parties sont séparées par une virgule qui se place à droite du chiffre le moins significatif de
la partie entière (chiffre de poids unité).
EXEMPLE :
Le nombre π est un nombre fractionnaire, il s’écrit :
3,1416
Valeur
entière
1.2
Valeur
fractionnaire
Pondération de la partie fractionnaire
De même que le système de numération décimal, le système de numération Hexadécimal est un
système pondéré. Comme nous l’avons vu pour la représentation des nombres entiers, chaque digit
d’un nombre hexadécimal a un poids fonction de son rang (Numération et représentation des
nombres). La pondération d’un nombre fractionnaire hexadécimal se décompose comme suit :
…
,
16 4 16 3 16 2 161 16 0 16 −1 16 −2 16 −3 16 −4 16 −5 …
Partie entière
Partie fractionnaire
,E42
Exemple : Soit le nombre hexadécimal 3F
Rang
Poids
3
16
Nombre
2
3
16
1
2
16
3
0
1
16
F
-1
0
16
-2
−1
E
16
−2
4
-3
16
−3
-4
16
−4
-5
16 −5
2
Position de la virgule
Partie entière
Partie fractionnaire
(3 × 16 ) + ( F × 16 )
48 + 15
63
1
0
( E × 16 −1 ) + ( 4 × 16 −2 ) + ( 2 × 16 −3 )
(14 × 0.0625) + ( 4 × 0.00390625) + (2 × 0.000244140625)
0.875 + 0.015625 + 0.00048828125
0.89111328125
3F , E 42 (16 ) = 63,89111328125(10 )
Philippe HOARAU
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Nombres Fractionnaires hexadé cimaux
TS MAI
2 Conversions
2.1
Conversion Hexadécimal / Décimal
La conversion Binaire / Décimal se fait en additionnant les produits des digits par leurs poids
respectifs comme développé dans le chapitre précédent.
2.2
Conversion Décimal / Hexadécimal
Effectuer des multiplications successives par 16 de la partie fractionnaire en conservant à chaque fois
la partie entière du résultat :
Exemple : soit le nombre 3,141à convertir en Hexadécimal :
Partie entière (3)
Partie fractionnaire (0.14)
0,141 . 16 = 2,256 = 2 + 0,256
0,256 . 16 = 4,096 = 4 + 0,096
0,096 . 16 = 1,536 = 1 + 0,536
3(10) = 3(16 )
3,141(10 ) = 3,241(16 )
On voit immédiatement que, contrairement à la partie entière, la partie fractionnaire peut s’exprimer
par une suite non finie, ce qui impose de définir un critère d’arrêt. Ce critère est la précision qui doit
être équivalente dans les deux bases. Dans l’exemple précédent, la précision décimale étant de
± 5.10 −4 , le développement en puissance de 16 −1 doit donc s’arrêter au nième terme tel que :
16 − n < 5.10 −4 soit 16 n > 0,2.10 4
Log (16 n ) > Log ( 2000)
nLog (16) > Log ( 2000)
Log ( 2000)
n>
Log (16)
n > 2,7
éme
On s’arrêtera donc au 3
Vérification :
Partie entière
3(16) = 3(10 )
Partie fractionnaire
241
rang
= (2x0,0625)+(4x0,00390625)+(1x0,000244140625)
= 0,1408
La précision attendue est bien obtenue.
Philippe HOARAU
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1
Nombres fractionnaires en virgule fixe ............................................................................................. 1
1.1
Généralités ................................................................................................................................ 1
1.2
Pondération de la partie fractionnaire ....................................................................................... 1
2 Conversions...................................................................................................................................... 2
2.1
Conversion Hexadécimal / Décimal .......................................................................................... 2
2.2
Conversion Décimal / Hexadécimal .......................................................................................... 2
Philippe HOARAU
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