2. b. Donner le domaine de définition D

Année universitaire 2013/2014
DST d’automne
DEVUIP
Service
Scolarité
Parcours/Étape : MN101
Code UE : MN1011
Épreuve : Mathématiques
Date : 13 janvier 2014
Heure : 14h
Durée : 3 heures
Documents non autorisés
Épreuve de Jean Roydor et Michael Leguèbe
Exercice 1.
a. Déterminer suivant les valeurs de x le signe du polynôme 2x2 + 3x − 2.
b. Donner le domaine de définition Df de la fonction
p
f (x) = 2x2 + 3x − 2
c. Résoudre l’équation f (x) = 4.
a. Le discriminant du polynôme 2x2 + 3x − 2 vaut ∆ = 32 − 4 × 2 × (−2) = 25 > 0. Ce
polynôme a deux racines x = −2 et x = 1/2. Son signe est celui de 2x2 à l’extérieur
des racines, et l’opposé entre.
b. La racine est définie pour tous les x tels que 2x2 + 3x − 2 est positif ou nul, c’està-dire sur ] − ∞, −2] ∪ [1/2, +∞[.
c.
p
2x2 + 3x − 2 = 4,
2x2 + 3x − 2 = 16,
2x2 + 3x − 18 = 0.
Les racines de ce polynôme valent
√
√
3
3
x1 = − (1 + 17) et x2 = (−1 + 17).
4
4
Elles sont toutes les deux dans le domaine de définition de f (x), donc sont des
solutions valables de l’équation.
Exercice 2. Les fonctions suivantes sont-elles paires ? impaires ? ni l’un ni l’autre ?
f1 (x) = cos(x),
f2 (x) =
x2
1
,
+1
f3 (x) = 2x2 − 3x − 1
Une fonction paire est telle que f (−x) = x pour tout x de son domaine de définition.
Les fonctions impaires sont telles que f (−x) = −f (x).
— cos(−x) = cos(x). f est paire (propriété du cours).
1
1
— f2 (−x) =
= 2
= f2 (x). f2 est paire.
2
(−x) + 1
x +1
— f3 (−x) = 2x2 + 3x − 1 6= f3 (x) et f3 (−x) 6= −f3 (x). f3 n’est ni paire, ni impaire.
Attention, un exemple avec une seule valeur de x ne suffit pas pour déterminer la parité
d’une fonction !
Exercice 3. Pour chacune des fonctions suivantes,
a. Donner son domaine de dérivabilité.
b. Donner sa fonction dérivée.
f1 (x) = (x − 4)4 ,
f1 est dérivable sur R et
f2 (x) =
x2 + x + 1
x−4
f10 (x) = 4(x − 4)3 .
C’est une dérivée de la forme (un )0 = nu0 un−1 .
f2 est dérivable sur R \ {4} (le dénominateur s’annule en x = 4) et
(2x + 1)(x − 4) − (x2 + x + 1)
,
(x − 4)2
2x2 + x − 8x − 4 − x2 − x − 1
=
,
(x − 4)2
x2 − 8x − 5
.
=
(x − 4)2
f2 (x) =
C’est une dérivée de la forme
u 0
v
=
u0 v−uv 0
.
v2
Exercice 4. Étude de fonction. Soit f définie sur R par
p
f (x) = x2 + 1
a. Calculer sa fonction dérivée f 0 et donner le signe de f 0 en fonction de x.
b. Quelles sont les limites de f en +∞ et en −∞ ?
c. Dresser le tableau des variations de f .
d. Donner l’équation de la tangente à la courbe de f en x = 0.
Nous allons maintenant étudier le comportement de f en +∞.
p
e. Déterminer la fonction g(x) telle que f (x) = x 1 + g(x).
f. Montrer alors que la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe de f en +∞.
Donner la position de cette asymptote par rapport à la courbe.
Page 2
x
. La dérivée est du signe de x et s’annule
+1 √
u0
donc en x = 0. La dérivée est de la forme ( u)0 = 2√
. Ne pas oublier u0 !
u
a. f 0 est dérivable sur R et f 0 (x) = √
b.
x2
lim f (x) = lim f (x) = +∞.
x→+∞
x→−∞
c.
−∞
+∞
x
f (x)
0
&
+∞
+∞
%
1
d. La formule générale d’une tangente en x0 est y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) (ici on
demande la tangente au minimum de f , elle est donc horizontale). En appliquant
la formule on obtient y = 1.
Les questions suivantes rapportent des point BONUS.
e. Pour x positif on a
p
x2 + 1,
s 1
2
=
x 1+ 2 ,
x
r
r
1
1
= x 1 + 2 . (x > 0, sinon |x| 1 + 2 )
x
x
f (x) =
f. Pour vérifier que la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe on calcule
r
1
lim f (x) − x = lim x 1 + 2 − x,
x→+∞
x→+∞
x
= lim x − x,
x→+∞
= 0.
De plus, pour tout x
1
>
x2
1
1+ 2 >
x
r
1
1+ 2 >
x
r
1
x 1+ 2 >
x
r
1
x 1+ 2 −x>
x
0,
1,
1,
x,
0.
Donc pour tout x la courbe de f est au dessus de la droite d’équation y = x.
Page 3
Exercice 5. Les suites ci-dessous sont-elles convergentes ? Si oui, donner leur limite.
un =
1
,
2n
vn =
n2 + n
√ ,
1+ n
wn = n 4 − n 2 .
1
converge et la limite vaut 0. Les deux autres suites ne convergent pas.
2n
Exercice 6. Soit (un )n∈N la suite définie par : un =
cos(n)
n .
a. La fonction cos est-elle bornée ?
b. En encadrant un par deux suites convergentes, calculer la limite de (un )n∈N .
a. La fonction cosinus est bornée : ses valeurs oscillent entre −1 et 1.
b. Pour tout n ∈ N,
1
1
6 un 6 .
n
n
En appliquant le théorème des gendarmes, on en conclut que la limite de la suite
vaut 0.
−
Exercice 7. On donne les points A(4, 3), B(−7, −1) et C(−2, 1).
a. Écrire une équation cartésienne de la droite (AB).
b. Le point C est-il sur la droite (AB) ? Justifiez par le calcul.
−−→
a. Si un point M est sur la droite (AB), alors les vecteurs AM =
11
sont colinéaires. Donc
4
−−→
x−4
et AB =
y−3
4(x − 4) − 11(y − 3) = 0,
4x − 16 − 11y + 33 = 0,
Une équation de (AB) est alors 4x − 11y + 17 = 0.
b. 4 × (−2) − 11 × 1 + 17 6= 0. Donc C n’est pas sur (AB).
Exercice 8. Soit m un nombre réel, on considère les droites D et Dm d’équations respectives
2x − 3y + 4 = 0 et mx − 2y + 2 = 0.
a. Donner un vecteur directeur de D et de Dm .
Page 4
b. Déterminer le nombre m pour que les droites D et Dm soient parallèles.
−3
−2
a.
et
sont des vecteurs directeurs respectivement de D et D0 .
−2
−m
b. Pour que les droites soient parallèles, ces vecteurs directeurs doivent être colinéaires.
C’est-à-dire 3m − (−2) × (−2) = 0, m = 4/3.
Exercice 9. On considère la droite D d’équation cartésienne : 4x + y + 17 = 0
a. Déterminer ~n un vecteur normal à D, puis calculer sa norme k~nk.
b. Notons O(0, 0) l’origine du plan et B le point de coordonnées B(0, −17). Le point B
−−→
est-il sur la droite D ? Calculer le produit scalaire BO.~n. En déduire la distance de O
à la droite D.
On rappelle qu’un vecteur est dit normal à une droite si il est orthogonal à un vecteur directeur
de cette droite.
√
√
4
−
et k→
n k = 42 + 1 = 17.
1
b. B ∈ D car 4 × 0 − 17 + 17 = 0.
−−→ −
n
BO.→
√
17
d(0, D) =
= √ = 17.
→
−
knk
17
−
a. →
n =
Exercice 10. Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés à quatre faces, un vert et
un rouge, parfaitement équilibrés, portant les numéros de 1 à 4.
a. Décrire Ω, l’univers des issues possibles. Combien y a-t-il d’issues possibles ?
b. On note S la variable aléatoire qui donne le résultat de la somme du nombre vert et du
nombre rouge. Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable S. Déterminer la
loi de probabilité de S (on pourra l’écrire sous forme de tableau).
c. Calculez l’espérance de S.
a.
Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} .
Cela fait donc 16 issues possibles.
Page 5
b. S ∈ {2, . . . , 8}.
x
2
3
4
5
6
7
8
P (S = x)
1
16
1
8
3
16
1
4
3
16
1
8
1
16
Pour vérifier, la somme des probabilités fait bien 1.
c.
E(S) = 2 ×
1
1
3
1
3
1
1
+3× +4×
+5× +6×
+7× +8× ,
16
8
16
4
16
8
16
80
,
16
= 5.
=
Exercice 11. Une urne contient six boules : trois vertes, deux oranges et une rouge. Un joueur
tire successivement, sans remise, deux boules de l’urne. Une boule verte rapporte deux euros,
une boule orange un euro et une boule rouge fait perdre deux euros.
a1. Dessiner l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire (en indiquant bien les probabilités).
a2. En déduire la probabilité de chaque issue.
b. On note G la variable aléatoire qui indique le gain (positif ou négatif) du joueur. Quelles
valeurs peut prendre la variable G. Déterminer la loi de probabilité de G (on pourra
l’écrire sous forme de tableau).
c. Calculer l’espérance et la variance de G.
a.
Page 6
2/5
2/5
1/5
V
V
1/5
O
1/5
R
1/10
V
1/5
O
1/15
R
1/15
V
1/10
O
1/15
1/2
1/3
3/5
1/5
1/5
O
1/6
3/5
2/5
R
b.
x
4
3
2
0
−1
P (G = x) 1/5 2/5 1/15 1/5 2/15
c.
E(G) = 4 ×
1
2
1
2
+3× +2×
− ,
5
5
15 15
= 2.
V (G) = E((G − E(G))2 ),
2
1
= (4 − 2)2 × + (3 − 2)2 ×
5
5
1
1
2
2
2
+ (2 − 2) ×
+ (0 − 2) × + (−1 − 2)2 ,
15
5
15
1 2
1
2
= 4× + +4× +9× ,
5 5
5
15
16
=
= 3, 2.
5
Page 7