Calcul littéral - Collège Théophile Gautier

Année académique 2013-2014
Collège Théophile Gautier
Classe de 3e
Calcul littéral
1
Introduction
Le calcul littéral est très important dans les mathématiques. Par exemple, il permet :
– La généralisation de certains résultats numériques. Lorsque l’on utilise une formule littérale, le but est de
résoudre un problème avec des données numériques différentes.
– La résolution d’équation par l’introduction d’une inconnue "x".
Et bien d’autres choses...
1.1
Exemples
En guise d’illustration, voici deux exemples :
• Calculer la diagonale du carré d’un coté de longueur c.
Ici, ce résultat nous premettra de toujours connaître la valeur de la diagonale du carré quelque soit la
donnée. On fait un dessin pour illustrer.
?
C
C
On pose x la longueur de la diagonale à calculer.
Selon Pythagore, on a x2 = c2 + c2 . Donc
x2
x
=
=
2√× c2
2c2
On ne prend pas les solutions négatives car nous calculons des distances.
√
√
√
x = c2 × 2 = c 2
√
La diagonale d’un carré de coté c vaut c 2 .
• Résolution d’une équation à partir d’un problème concret.
Deux villes villes A et B souhaitent construire une gare pour améliorer leurs infrastructures. La voie ferrée
passe respectivement à 2 km de A et 3,5 km de B à vol d’oiseau. Entre ces deux points, la portion de voie
ferrée est longue de 6 km. Les deux maires se sont mis d’accord sur le fait que les deux gares doivent être
situées à égale distance des deux villes à vol d’oiseau. Où va-t-on construire cette gare ?
1
B
A
4 km
2 km
A0
x
B0
M
6 km
On pose x la distance A0 M . On veut absolument que AM = BM pour résoudre ce problème. On devra
utiliser deux fois Pythagore pour connaître ces deux distances qui sont également les hypoténuses respectives des triangles rectangles A0 AM et B 0 BM . Enfin, si x est la distance A0 M alors B 0 M = x − 6. Ce qui
donne :
Grâce au théorème de Pythagore dans les triangles rectangles A0 AM et B 0 BM en A0 et B 0 . On a :
• AM 2 = A0 M 2 + AA02
• BM 2 = B 0 M 2 + BB 02
Or, sachant que AM = BM , on a AM 2 = BM 2 et donc, A0 M 2 + AA02 = B 0 M 2 + BB 02 . On doit donc
résoudre l’équation suivante.
x2 + 22 = (x − 6)2 + 42
x2 + 4
x2 + 4
x2 + 4
x2 + 4
4
12x
= (x − 6)(x − 6) + 16
= x2 − 6x − 6x − 6 × (−6) + 16
= x2 − 12x + 36 + 16
= x2 − 12x + 52
= 52 − 12x
= 52 − 4 = 48
D’où
x=
48
=4
12
La gare devra donc se situer à 4km de A0 sur la voie ferrée.
2
2.1
A
A
A
A
Développement et Factorisation
Développement
= (x − 1)(2x + 5)
= x × 2x + x × 5 − 1 × 2x − 1 × 5
= 2x2 + 5x − 2x − 5
= 2x2 + 3x − 5
B
B
B
√
= 5x(3x + 2) √
= 5x × 3x +√
5x × 2
= 15x2 + 5x 2
C
C
C
C
2
(x + 3)(x2 + 3x − 2)
x × x2 + x × 3x + x × (−2) + 3 × x2
+3 × 3x + 3 × (−2)
= x3 + 3x2 − 2x + 3x2 + 9x − 6
= x3 + 6x2 + 7x − 6
=
=
2.2
D
=
(a + b)(a − b)
D
=
a2 + a × (−b) + b × a + b × (−b)
D
=
a2 − ab + ab − b2
D
=
a2 − b2
F
=
F
=
F
=
F
=
F
=
√
( 3 − 2)(5 3 + 4)
√
√
√
5( 3)2 + 4 3 − 2 × 5 3 − 2 × 4
√
√
5 × 3 + 4 3 − 10 3 − 8
√
15 − 8 − 6 3
√
7−6 3
√
2
−x
5
=
E
=
2
2 2
1 2 1
x × + x × (−x) + × + × (−x)
3
5 3
4 5 4
E
=
4
2
2
1
x − x2 +
− x
15
3
20 4
E
=
1
4
1
2
+ x − x − x2
10 15
4
3
E
=
1
16
15
2
+ x − x − x2
10 60
60
3
E
=
1
2
1
+ x − x2
10 60
3
√
3 1
+
3
2
G =
√
3 1
−
3
2
√
√ 2 √
2
3
3
3
1
1
1
G =
+
× −
+ ×
−
3
3
2
2
3
2
G =
√
√
3
3 1 1
3 1
−
× + ×
−
9
3
2 2
3
4
G =
4
3
1
1 1
− =
−
=
3 4
12 12
12
Factorisation
A = 2x(x + 1) − 5x(2x + 7)
A = x[2(x + 1) − 5(2x + 7)]
A = x[2x + 2 − 10x − 35]
A
x(−8x − 33)
D
D
D
D
3
2
1
x+
3
4
E
= (x − 1)(5x + 2) − (3x + 4)(x − 1) C
= (x − 1)[(5x + 2) − (3x + 4)]
C
= (x − 1)(5x + 2 − 3x − 4)
C
= (x − 1)(2x − 2)
= (x − 1) × 2 × (x − 1)
= 2(x − 1)2
B
B
B
B
B
B
= 9x(x − 3) + 9x(10 + 3x)
= 9x[(x − 3) + (10 + 3x)]
= 9x(x − 3 + 10 + 3x)
= 9x(4x + 7)
E
E
E
E
E
E
E
=
=
=
=
=
=
=
= 4x2 + 7x
= x × (4x + 7)
= x(4x + 7)
(x − 7)(2x + 1) − (5x − 2)(6x + 3)
(x − 7)(2x + 1) − (5x − 2)(3 × 2x + 3 × 1)
(x − 7)(2x + 1) − (5x − 2) × 3(2x + 1)
(2x + 1)[(x − 7) − (5x + 2) × 3]
(2x + 1)[x − 7 − (15x + 6)]
(2x + 1)(x − 7 − 15x − 6)
(2x + 1)(−15x − 13)
Identités remarquables
(a + b)2 =
(a − b)2 =
(a − b)(a + b) =
a2 + 2ab + b2
a2 − 2ab + b2
a2 − b2
Remarque 3.1. Dans les trois égalités précédentes, il faut savoir reconnaître la forme factorisée de l’expression
à gauche du signe égal et la forme développée située à droite du signe égal.
Remarque 3.2. Grâce à ce paragraphe, on doit maintenant savoir reconnaître ces identités remarquables écrites
sous la forme factorisée et sous la forme développée.
3
Remarque 3.3. Les expressions D et G calculées dans le paragraphe précédent correspondent à la troisième
identité remarquable également appelée, la différence de deux carrés.
Exemple 3.4. Illustrons ces propriétés par quelques exemples.
1. Développer les expressions suivantes :
• (x + 1)2
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
• (3x − 7)2
(3x − 7)2 = 9x2 − 2 × 3x × 7 + 49 = 9x2 − 42x + 49
• (5y −
√
3)(5y +
√
3)
(5y −
√
3)(5y +
√
√
3) = (5y)2 − ( 3)2 = 25y 2 − 3
2. Factoriser les expressions suivantes :
• x2 + 6x + 9
On pose a = x et b = 3, si le produit 2ab correspond au terme central, alors la factorisation est possible.
2 × x × 3 = 6x. On a donc :
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
• 4x2 − 24x + 36
On pose a = 2x et b = 6. On a bien −2ab = −2 × 2x × 6 = −24x, donc :
2x2 − 24x + 36 = (2x − 6)2
• 2x2 − 64
√
On reconnaît ici la différence de deux carrés. On pose a = x 2 et b = 8. Ce qui donne :
√
√
2x2 − 64 = (x 2 − 8)(x 2 + 8)
4
Equations produits
Voyons dans ce paragraphe, une méthode nouvelle et très efficace pour résoudre des équations.
Tout d’abord remarquons ensemble que lorsque l’on récite les tables de multiplications, seuls les calculs où
l’un des facteurs est nul donnent un résultat nul. Autrement dit, on ne peut obtenir une multiplication égale à
zéro que lorsque tous les termes sont différents de zéro. Ce résultat est en fait applicable à tous les calculs, en
particulier valable dans ce chapitre sur les calculs littéraux.
Théorème 4.1. Si un produit est nul alors l’un au moins de ces facteurs est nul.
Remarque 4.2. On peut également énoncer ce théorème de manière algébrique :
A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0
Remarque 4.3. "Si et seulement si" signifie que le résultat est valable dans les deux sens.
– Si A × B = 0 alors A = 0 ou B = 0.
4
– Si A = 0 ou B = 0 alors A × B = 0
On écrit plus simplement cette expression ssi .
Remarque 4.4. Lorsque l’on résout ce type d’équation, il est donc nécessaire de rendre notre équation égale
à zéro afin que les conditions du théorème soient validées.
Application
Déterminer une valeur de x telle que la surface d’un parallélogramme de base (4x − 5) et de hauteur 7 soit
égale à l’aire d’un rectangle de longueur (3x + 1) et de largeur (4x − 5).
1. Mise en place du problème.
Aparallélogramme
=
Arectangle
base × hauteur
=
L×l
7 × (4x − 5)
=
(3x + 1) × (4x − 5)
2. Résolution de l’équation.
7 × (4x − 5)
=
(3x + 1) × (4x − 5)
7 × (4x − 5) − (3x + 1) × (4x − 5)
=
0
(4x − 5) × (7 − (3x + 1))
=
0
(4x − 5)(7 − 3x − 1)
=
0
(4x − 5)(6 − 3x)
=
0
Nous avons maintenant une équation produit, nous pouvons ainsi la résoudre grâce au théorème.
(4x − 5)(6 − 3x) = 0
A × B = 0 ssi A = 0 ou B = 0
4x − 5
=
0
ou
6 − 3x
=
0
4x
=
5
ou
6
=
3x
x
=
5
4
ou
x =
S =
5
5
;2
4
6
3
=2