Devoir 1 du cours EDO et EDP d`ordre 1

Devoir 1 du cours EDO et EDP d’ordre 1
à rendre pour le 15 mars 2011
Exercice 1 : démonstration du Théorème 11 du cours
On considère un champ de vecteurs V ∈ C r (Ω, Rn ), où r ≥ 1 et Ω est un ouvert de Rn . Pour tout
x ∈ Ω, on note X(·, x) la solution maximale de l’EDO
∂X
(s, x) = V (X(s, x))
∂s
(1)
vérifiant la CI X(0, x) = x. Cette solution est définie sur un voisinage Ix de zéro. Le flot X est
continu et défini sur un ouvert de R × Ω contenant {0} × Ω. On va démontrer
Théorème 1 Si le champ de vecteurs V est C r sur Ω alors le flot (t, x) 7→ X(t, x) est C r sur son
ensemble de définition.
La preuve est basée sur le théorème des fonctions implicites. Nous allons en fait redémontrer
l’existence du flot pour un champ de vecteurs au moins C 1 (et non pas seulement Lipschitz) et
directement obtenir la régularité énoncée.
Question 1
Soit γ : [−α, α] → Rn une application continue telle que γ(0) = 0. On rappelle que s 7→ x + γ(s)
est solution de (1) si et seulement si
• x + γ est à valeurs dans Ω,
Rs
• γ(s) = 0 V (x + γ(τ ))dτ .
Notez que α est une inconnue. Pour donner une forme plus agréable au α (et ne considérer que des
chemins définis sur [−1, 1]), on fait un éclatement du temps. En particulier, on pose t = αθ et on
définit Γ : [−1, 1] → Rn , θ 7→ γ(αθ).
Montrez que t 7→ x + Γ(t/α) est solution de (1) sur [−α, α] ssi
• x + Γ est à valeurs dans Ω,
•
θ
Z
Γ(θ) = α
V (x + Γ(τ ))dτ.
(2)
0
Question 2
L’équation (2) est une équation de point fixe pour Γ dans l’espace de Banach Λ = C 0 ([−1, 1], Rn )
muni de la convergence uniforme. Pour Γ ∈ Λ, x ∈ Ω et α ∈ R on définit H(Λ, x, α) ∈ Λ par
Z
H(Γ, x, α) : θ ∈ [−1, 1] 7→ Γ(θ) − α
θ
V (x + Γ(τ ))dτ.
0
Montrer que l’application H est définie sur un U ouvert de Λ × Rn × R (indication : utiliser que
x + Γ doit être à valeurs dans Ω).
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Question 3
Pour résoudre (2), on va étudier l’équation H(Γ, x, α) = 0. Montrer que H : U → Λ est de classe
C r . On pourra utiliser (à bon escient) le lemme suivant :
Lemme 1 Soit f : E → F une fonction de classe C r pour E et F deux espaces de Banach. On
note E = C 0 ([0, 1], E) et F = C 0 ([0, 1], F ) qu’on munit de la norme du supremum. On considère
l’application de composition c : E → F, g 7→ f ◦ g. Celle-ci est de classe C r et sa différentielle est
donnée par
Dc(g)(h) = (Df ◦ g)(h) := [t 7→ Df (g(t))(h(t))].
Question 4
∂H
(Γ, x, 0) = IdΛ . En déduire une preuve du Théorème (1) en
Monrer que H(0, x, 0) = 0 et
∂Γ
utilisant le théorème des fonctions implicites.
Question 5
On considère maintenant le cas où V dépend aussi du temps, comme dans le cours. En considérant
le système
∂X
∂s (s, x) = V (τ, X(x, τ ))
dτ
ds (s) = 1
montrer qu’on se ramène au cas autonome en dimension n + 1 (vérifier bien les hypothèses sur le
champ de vecteurs), et que le théorème est encore valide.
Exercice 2 : Formule de Duhamel
Soit v ∈ Rn , σ ∈ C 1 (R+ × Rn ), f in ∈ C 1 (Rn ) et S ∈ C 1 (R+ × Rn ). L’objectif de l’exercice est de
montrer que l’unique solution f ∈ C 1 (R+ × Rn ) de l’équation de transport à coefficients constants
(∂t + v · ∇)f (t, x) + σ(t, x)f (t, x) = S(t, x),
(3)
f (0, ·) = f in ,
s’écrit
f (t, x) = f in (x − tv)e−
Rt
0
σ(t−s,x−sv)ds
Z
+
t
e−
Rτ
0
σ(t−s,x−sv)ds
S(t − τ, x − τ v)dτ.
(4)
0
Question 6
On commence par prendre σ ≡ 0. En utilisant la méthode des caractéristiques, c’est-à-dire en
posant φ(t) := f (t, x + tv) et en utilisant l’équation de transport
(∂t + v · ∇)f (t, x) = S(t, x),
(5)
f (0, ·) = f in ,
obtenir une EDO pour φ. Intégrez-la et en déduire une formule pour la solution de (5).
Question 7
On considère maintenant le cas σ 6≡ 0 et on prend pour simplifier S ≡ 0. En procédant comme
à la question 6, obtenez une EDO pour φ. Faites le changement de fonction inconnue : f (t, x) =
f˜(t, x) exp(g(t, x)), injectez la formule dans l’EDO et choisissez g de façon à ce que f˜ satisfasse
l’équation de transport
(∂t + v · ∇)f˜(t, x) = 0.
Quelle est la condition initiale pour f˜ ? En déduire une formule pour f .
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Question 8
Traitez le cas de la question 7 dans la cas général en utilisant la méthode de variation de la
constante et, montrez que toute solution C 1 de (3) s’écrit nécessairement sous la forme (4).
Question 9
Réciproquement, montrez que f définie par (4) est une solution C 1 de (3).
Exercice 3
On considère l’équation de transport (3) sur [0, T ]×Rn avec cette fois v ∈ Rn , σ ∈ L1 ([0, T ], L∞ (Rn )),
f in ∈ Lp (Rn ) et S ∈ L1 ([0, T ], Lp (Rn )), où T > 0 et 1 ≤ p < +∞ :
(∂t + v · ∇)f (t, x) + σ(t, x)f (t, x) = S(t, x),
(6)
f (0, ·) = f in ,
L’objectif est de montrer que (6) admet une unique solution f ∈ L∞ ([0, T ], Lp (Rn )) (dont la norme
p
est notée L∞
t (Lx )) au sens des distributions et qu’elle satisfait l’estimation
p
kf kL∞
≤ e
t (Lx )
kσkL1 (L∞ )
t
x
(kf in kLpx + kSkL1t (Lpx ) ).
(7)
Question 10
Régulariser σ, f in et S (on notera les versions régularisées σε , fεin et Sε ) et montrer que l’équation
de transport associée admet une unique solution fε donnée par la formule de Duhamel.
Question 11
Pour tout t ∈ [0, T ] et tout x ∈ Rn , en déduire une estimation de |fε (t, x)|, puis de kfε (t, ·)kLpx .
Montrer qu’elle implique une estimation de type (7) pour fε .
Question 12
Ecrire l’équation satisfaite par fε au sens des distributions (multiplier l’équation par des fonctions
régulières à support compact et intégrer par parties sur [0, T ] × Rn ). En utilisant la question
p
précédente, en déduire qu’il existe f ∈ L∞
t (Lx ) qui satisfait (6) au sens des distributions et (7).
Question 13
Montrer que si f in ≡ 0 alors toute solution f ∈ L∞ ([0, T ], Lp (Rn )) de (6) au sens des distributions
0
satisfait la formulation faible pour toute fonction-test φ ∈ L1 ([0, T ], Lp (Rn )) avec 1/p0 + 1/p =
1. En se servant de cette propriété, démontrer une version du théorème de Holmgren, où les
0
solutions sont cherchées dans L∞ ([0, T ], Lp (Rn )) et les fonctions-tests sont dans L1 ([0, T ], Lp (Rn )).
En déduire l’unicité des solutions distributionnelles de (6) de classe L∞ ([0, T ], Lp (Rn )).
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