2. Transformée de Laplace
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2. Transformée de Laplace
Faculté des Sciences et Techniques de Limoges 2007-08 e Licence de Biologie, 3 semestre S. Vinatier Compléments de Mathématiques 2. Transformée de Laplace Définition 1 Soient f une fonction définie sur [0, +∞[ et s ∈ R. L’intégrale de Laplace de f en s est, lorsqu’elle R +∞ existe, l’intégrale 0 f (x)e−sx dx. La transformée de Laplace de f est la fonction L(f ), définie aux valeurs de s pour lesquelles l’intégrale de Laplace existe par : Z +∞ f (x)e−sx dx . L(f )(s) = 0 Exercice 1 (Exemples) Pour chacune des fonctions suivantes, dire pour quelles valeurs de s la transformée de Laplace est définie et la calculer : (a) la fonction constante égale à 1 ; (b) la fonction qui vaut 0 pour x < a (a est un réel positif fixé) et qui vaut 1 pour x ≥ a ; (c) e−bx , où b ∈ R ; (d) eiωx , où ω est un nombre réel. On pourra remarquer que e(iω−s)t = e−st . (e) En déduire la transformée de Laplace de cos(ωx) et sin(ωx). Exercice 2 (Linéarité) Soient f et g des fonctions pour lesquelles les transformées de Laplace L(f ) et L(g) existent. (a) Montrer que L(f + g) = L(f ) + L(g) et que L(bf ) = b L(f ) pour tout b ∈ R. a (b) Soient a et b des réels, en déduire que L(a + bf ) = + b L(f ). s On rappelle que la fonction a + bf est définie par (a + bf )(x) = a + bf (x). (c) Calculer L(1 + 2e−5x ). Exercice 3 (Dérivées et primitives) (a) Supposons f dérivable, montrer que : L(f 0 )(s) = s L(f )(s) − f (0) On rappelle la formule d’intégration par parties : Rb a u0 (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba − (b) En déduire la formule suivante : L(f 00 ) = s2 L(f )(s) − sf (0) − f 0 (0) . Rb a u(x)v 0 (x)dx. (c) Calculer de deux manières L(g 0 ) où g(x) = 1 + 2e−5x . (d) Soit F la primitive de f qui vaut 0 en 0, déduire de ce qui précède : 1 L(f )(s) . s Soit Fa la primitive de f qui vaut a en 0, montrer que : L(F )(s) = 1 L(Fa )(s) = (a + L(f )(s)) . s (e) Calculer de deux manières L(G1 ) où G1 est la primitive de g qui vaut 1 en 0. Exercice 4 (Dérivation) Soit f une fonction dont la transformée de Laplace L(f ) existe. On admet que celle-ci est dérivable et que sa dérivée par rapport à s est donnée par : Z +∞ 0 f (x)(e−sx )0 dx . L(f ) (s) = 0 (a) Montrer que L(f )0 = − L(xf (x)). (b) En déduire que L(f )00 = L(x2 f (x)), L(f )000 = − L(x3 f (x)),... (c) Calculer L(x), L(x2 ),... puis L(1/x) (à une constante près). Exercice 5 (Equation différentielle) On considère l’équation différentielle : y 0 (x) + 3y(x) = 1 + 2e−5x , (1) avec comme condition initiale y(0) = 0. (a) Ecrire la transformée de Laplace de (1). On posera Y = L(y). 3s + 5 (b) En déduire : Y = . s(s + 3)(s + 5) 3s + 5 α β γ (c) Décomposer la fraction en éléments simples : = + + . s(s + 3)(s + 5) s s+3 s+5 (d) A l’aide des transformées de Laplace calculées dans l’exercice 1, en déduire la solution de (1). (e) Retrouver cette solution par la méthode habituelle (solution générale de l’équation sans second membre + solution particulière). Exercice 6 Résoudre l’équation différentielle : y 00 (x) + y 0 (x) − 2y(x) = x2 − 3x + 1 , avec comme conditions initiales y(0) = y 0 (0) = 0. On donne la forme de la décomposition en éléments simples de la fraction qui apparaı̂t : s−2 α β γ δ = + 2+ 3+ , + 2) s s s s+2 s3 (s pour laquelle on devra déterminer les nombres α, β, γ, δ. (2)