Transformations de Fourier et de Laplace

Transformations de Fourier et de Laplace
Fonctions sommables ou de carré sommable sur IR . La transformée de Fourier de f est
notée F(f ) ou fˆ. La transformation de Fourier inverse de g est notée F −1 (g) ou F̄(g) ou ǧ
Z
1
2
f et g ∈ L (IR)∪L (IR)
Z
+∞
f (x) e
F(f (x))(ν) =
−2iπνx
dx
F
−1
+∞
(g(x))(ν) =
−∞
g(x) e+2iπνx dx
−∞
Si fˆ ∈ L1 (IR) ou L2 (IR) on peut retrouver f (au moins au sens presque partout)
pp
f et fˆ ∈ L1 (IR) ∪ L2 (IR)
F −1 F(f )(x) = f (x) ou ∀x
F −1 F(f )(x) =
f (x+ ) + f (x− )
2
Soit h = f ∗ g le produit de convolution de 2 fonctions définies sur IR tout entier :
Z
+∞
h(x) =
f (x − y)g(y)dy
on a F(f ∗ g) = F(f ).F(g) et F(f.g) = F(f ) ∗ F(g)
−∞
Fonctions causales. En notant U(x) la fonction échelon, une fonction causale est de la forme
f (x)U(x) et sa transformée de Laplace est notée L(f )(p) ou F (p).
Z
+∞
L(f (x)U(x))(p) =
f (x) e−px dx
0
Si f et g sont causales alors le produit de convolution h = f ∗ g est aussi causal et on a
Z
x
h(x) = U(x)
f (x − y)g(y)dy
on a L(f ∗ g) = L(f ).L(g) et L(f.g) = L(f ) ∗ L(g)
0
Fonction causale de L1 (IR)∪L2 (IR) . On passe de la transformées de Laplace à celle de Fourier en
remplaçant p par 2iπν . Ceci explique que les propriétés des 2 tranformation soient très similaires.
f (x) U(x)
F (p)
f (x)
fˆ(ν)
f (x − a) U(x − a)
F (p)e−ap
f (x − a)
fˆ(ν)e−2iπνa
f (x)e−ax U(x)
F (p + a)
f (x)e−2iπax
fˆ(ν + a)
f 0 (x) U(x)
pF (p) − f (0+ )
f 0 (x) si f ∈ C 1 (R)
2iπν fˆ(ν)
f ”(x) U(x)
p2 F (p) − pf (0+ ) − f 0 (0+ )
f ”(x)
(2iπν)2 fˆ(ν)
f
xf (x) U(x)
−F 0 (p)
xn f (x) U(x)
(−1)n F
f (ax) U(x)
p
1
aF(a)
Rx
0
f (y) U(y) dy
(n) (p)
(n) (x)
(2iπν)n fˆ(ν)
xf (x)
1 ˆ0
− 2iπ
f (ν)
xn f (x)
¡ 1 ¢n (n)
fˆ (ν)
− 2iπ
f (ax)
1 ˆ ν
|a| f ( a )
F (p)
p
Tab. 1 – Propriétés des transformées de Laplace et de Fourier
1
f (x)
fˆ(ν)
Pa (x) = 1[− a2 , a2 ] (x)
´
³
1[−a,a] (x)
∆a (x) = 1 − |x|
a
a sin c(πaν) = a sin(πaν)
πaν
´2
³
a sin(πaν)
πaν
e−|ax|
2a
a2 +(2πν)2
pπ
2
−
ae
e−ax
√1
σ 2π
2
x
exp(− 2σ
2)
π2 ν 2
a
exp(−2π 2 ν 2 a2 )
Tab. 2 – Transformées de Fourier des fonctions usuelles
T
T̂
δ = δ0 = δ(x)
1
δa = δ(x − a)
e−2iπνa
1
δ
e2iπxa
δa
cos(2πax)
1
2
sin(2πax)
1
2i
δ0
2iπν
x
1 0
− 2iπ
δ
δ (n)
(2iπν)n
xn
¡ 1 ¢n (n)
− 2iπ δ
P
1
θ
δ(x − nθ)
n∈Z
(δa + δ−a )
(δa − δ−a )
P
n∈Z
δ(x − nθ )
sgn(x)
1
1
iπ P f ν
U(x)
1
2
P f x1
−iπ sgn(ν)
¡
δ+
1
1
iπ P f ν
¢
Tab. 3 – Transformées de Fourier des distributions
2
f (x) u(x)
F (p)
u(x)
1
p
p>0
x u(x)
1
p2
p>0
n!
pn+1
p>0
1
p+a
p > −a
n!
(p+a)n+1
p > −a
sin(ωx) u(x)
ω
p2 +ω 2
p>0
cos(ωx) u(x)
p
p2 +ω 2
p>0
n∈N
xn u(x)
e−ax u(x)
n∈N
√1
x
xn e−ax u(x)
q
u(x)
π
p
p>0
Tab. 4 – Transformées de Laplace des fonctions usuelles
3