Transformée de Laplace

Transformée de Laplace
1
1.1
Définition
Soit f une fonction nulle en dehors de R+ . On appelle transformée de Laplace de f la fonction F définie
+∞
e−pt f (t)dt.
sur R+ par F (p) =
0
1.2
On peut écrire aussi L(f )(p) au lieu de F (p)
1.3
Toutes les fonctions n’ont pas nécéssairement une transformée de Laplace, il faut que l’intégrale précédente
existe...
1.4
La transformée de Laplace est linéaire : si a est un réel, si f et g possèdent une transformée de Laplace,
alors L(af + g) = aL(f ) + L(g)
1.5
Exemple:
Calculons la transformée de Laplace de f (t) = sin(wt)
2
Propriétés
Dans toute la suite, on suppose que f et g sont deux fonctions qui possèdent une transformée de Laplace F
et G
2.1
Dérivation: Si f est dérivable, alors L(f )(p) = pL(f ) − f (0+ )
2.2
Intégration: Si f possède une primitive φ, alors L(φ)(p) = 1p F (p)
2.3
• Similitude : pour a = 0, L(f (ax)) = a1 F ( ap )
• Translation : pour a = 0, L(f (x − a)) = e−ap F (p)
• Amortissement : pour a = 0, L(f (x)e−ax ) = F (p + a)
• Valeur initiale : Si les limites suivantes existent, lim pF (p) = lim f (x)
p→+∞
x→0+
• Valeur finale : Si les limites suivantes existent, lim pF (p) = lim f (x)
p→0+
x→+∞
2.4
L(f ∗ g) = L(f )L(g), où ∗ désigne le produit de convolution.
Rappel :
On appelle produit de convolution de f par g la fonction f ∗ g(x) =
3
3.1
R
f (x − t)g(t)dt
Intérêt
L’intérêt de la transformée de Laplace est de transformer un système d’équations différentielles en système
d’équations rationnelles :
Exemple:
Soit l’équation différentielle
y (t) − y (t) = sin(2t)
y(0) = y (0) = 1
Trouver l’équation vérifiée par Y (p) la transformée de Laplace de y(t). En déduire Y (p)
3.2
Il faut donc être capable , étant donnée une fonction F (p), de trouver la fonction f (t) qui possède F comme
transformée de Laplace
3.3
Il existe une formule pour cela, mais elle est difficile d’emploi :
+∞
F (p)ept dp
f (t) =
−∞
3.4
On préfère donc, étant donnée une fonction F (p), la décomposer comme une somme de fonctions Fi (p) dont
on connait la fonction temporelle associée. Ces fonctions Fi sont contenues dans le tableau donné en annexe.
3.5
Exemple:
Utiliser le tableau pour résoudre l’équation précédente
y (t) − y (t) = sin(2t)
y(0) = y (0) = 1
et trouver y(t).
2
Fonction ( définie sur R+ )
Transformée de Laplace
δ(t)
1
A
A
p
At
A
p2
tn−1
(n − 1)!
A
pn
1 −t
e a
a
1
1 + ap
a2
(1 + ap)2
t
te− a
cos(at)
p2
p
+ a2
sin(at)
p2
a
+ a2
p2 − a2
(p2 + a2 )2
tcos(at)
1
tsin(at)
2a
(p2
p
+ a2 )2
1 bt
e sin(at)
a
1
(p − b)2 + a2
ebt cos(at)
p−b
(p − b)2 + a2
3